两种反常积分敛散性的判别方法

两种反常积分敛散性的判别方法
定理I 设"P 定义于「1•十•且在任何有械区间［lz ］上町积，则有 (i)
竺
/：：f V F
V I 时*
q 攵敛；
(ii) 当pi 叭厂心皿发敬. 证 寸N+ »便A 匕C « — 1 “订 (1)冈为
!
｛壬一J ' < r < l ，/(j) > 0 , J e ［1・十8).所以
=j V(J ><U + J ：/(K 十 1〉ch 十…+ J ：7<4 +J ?-2)U J
x >d.r + J </(乂 }dx +…十J 严7丿心}山
rA
即F(A) = /(.r)d.r 在[E + oo>上单调递增有上界宀
JI
1 —
J ( JT ) th ■收敛.
/(jJdj .由单调冇界性定理知Hm F(A)
j*l -*4-™
存柱.丙而
⑹因为虫口・卜S 所必卄爪》"
［V(j?>dj = i ： /(jr)d L i L
4-
/{jr)djr + **' + L)J 于 A f + 8 时 M -H- 8
> /(j)dr4- HjJcir F 」1
J 2
/(.r >dj - /(J -+ l)d-rH ---- 1- /(JT + M —3)dx ]'
'
J i
L
A (fl-2)
■而 lim(^-2) /3(k =+8.故 \knF(A)不存在•因而 ■-*8 J ] A-*«
比值判别锂的扱限形戌:
f\L r)dr
发散.
推论I 设f")定文于JCHXO ，在任何有限区何［1』］上可积*且lim
=
r^- +era J I 龙丿
⑴当A < I 时*£"/(x>(k 收埶 (ii)当 A > 1 HL 发散.
1E 因为1血
化+「= A +即V E >0.3M>0.当心M 时.有
A -e <
门；f V A +« ■
⑴当A < 1时・取武=匕二 AOVMi A0・当，r>M t 时吊牛=古<1^<1 T 由定理
(ii)当入〉1 时，取 e = ^-^>0* 3M t >0,当 JT >M J 时•有 f “ > 苇土 > 1 * 由定理
-可编辑修改-
1 知 发
散.
f( r)
I /< r)d.r =
f(_r)dr +『八刃右 + (I)
/( r)d r
定理2 设J （-L >盧文于［l ・ + s>.屮丄，上0.11在枉何有限区何口“］上可积•如黑 2L L ±12I
2
<ii) 3
> 0 I > 科*tn
>r> 1 心皿收敛* 1 •则 /(j)dr 笈散.
/<x+l)-
证 ⑴由丁 fJ ）宦义于［1”十=0）"仃）豪0・且mMAO,当』>W 时*有」［】一心、
心+匸1-工
由真数的黑嶽性却存在实数彷快!</><r, 畤hJ 沖—打•叩记）
J * + *
Lirn j *+*
4一]
1
1-(1-丄)
——=史<1・所以3M>0,当Vf 时.寂 ------------------ -
<】•即
1_7<
（］ _
7）*
⑵
兰F 允分大吋.必仔杜q 旨尽.便% <M +】•由门〕亢池约穴再t
/（j + “<（】—j /（J ） *
< 3
反貝应用d ）式得
1 P 1 t 1 p
+ 1） < p-y ）（】_77?7）…卩一扫）门丄‘，
即/（.r + l ）<•曲于P>】加比较刿別范知J 「F2 + l ）cLr 收«t*因而J 「F （D 壮 收散.
<H> 若 3 xr > 0 .当kA 就时•有 丁< 1 •则
JQ + 1）鼻 ^―ty （j> *
⑷
■J -
当丁充分览时.存在T ff e ［A^./VT + I ）.应旨应用（4）式得：
J f
| |、、」、一1 _r — 2 -r Q — 1 /（x + 1J > ---- ---- … ------ ”心»
j 」—】 J （I
EP 丿心+打步 牛丄八如）”由比较判别仕知『「门工+ 1加工发散.因而「/（"dj 发触”
推论2 设 2、世文于［1，+ oo>./（x>莎叭在任何右眼仪间［1.«］上可积•且 皿匹「1 _
尹：广
「>］ = I •则
<0
> 1时骨f^JUOd-r 收敛骨
J L 当< I 时fCr ）山农散.
由以上m 如比值判别旅埋号护=】时先紅此时血用定理2进-步判别. 刚】求无穷积升［円”
丁⑴丄的敛散性..
lim r-
►十
y £Cr+jD /3
(« _L | UTHll Km
b + ：弋 =-< 1 • fit [tl 推论1知对任您—无警积分
j--»+w
_/ t
C
r- d i 收敛、
例2考緊J 一 厂早士- <-« <
的第散性.
J ： j In J7 解令Inr = /^ f = J 諾亦
.-L Af ±1)- <■
芒厂宀广 -I
A
—丄比f77T -「怛戶吋石匸帀—戶* 披 ⑴当j^>l Bt*A <1 T 无力积分】=「咼匚
收做.
<<i)当p< I 吋J > I +无穷枳分I = I*
舱亂
(iii) 当/> = 1SJ . / = 也.故当1 N 收戏.当q< 1时发fit J r*
的敛散性.
i +77 解 lim W ： +
L 「= lim
1 +
^ = 1 *比值网别法失瓶
—严八
1 + 4 + 1
=lim ---------
---- ―^ ------- = 4~ V ] *
上*少{ J 工 + ]_ + } ( 1 + J_r 丰 T) 2
由推论2知「」_^昭发散.
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