系统重构、预测技术与应用

基于非线性混沌时序的系统重构、预测技术及其应用1

马军海2

（天津大学治理学院, 300072）

盛昭瀚

（南京大学治理科学与工程研究院, 210096）

摘要如何认识具有复杂结构的系统存在两个差不多

的困难,一是系统本身的复杂性，二是我们往往只能通

过某种“观测器”采集到系统某一状态的混沌时刻序

列，如此，就需要一种技术，它能够在专门大程度上

通过系统整体行为的一维“投影”来“还原”系统的

整体行为。本文将介绍作者近年来在实现这一技术路

线中所开展的若干工作。

关键词非线性混沌时序分形相空间重构参数辨

1国家自然科学基金资助项目( 79990510)

2马军海, 男， 65生，山东莱阳人,教授,二站博士(后)，已在国内外核心期刊发表论文三十余篇，要紧研究方向:复杂非线性动力系统、复杂混沌时序重构及其工程应用。

识预测技术

1 引言

从系统科学的角度看，直接建立一个系统的完备的解析形式的数学模型，无疑地能够认为是“完全完全地”了解了这一系统，然而事实上，第一由于系统运行机理与系统结构本身的复杂性，第二由于即使已知一个解析模型，其解析解也还不易求得，因此常常需要我们解决如何在无法获得系统模型的情况下认识系统的本质特征，一个最常遇到的问题便是通过某种“观测器”采集到系统的某一状态的时刻序列，显然，这一序列是系统整体行为的一维“投影”，而我们又只能通过它来“还原”系统的整体行为[1~30]，特不是随着混沌现象的发觉，人们逐渐认识到系统整体行为中某些本质特征往往不是随机缘故而是非线性动力学的缘故造成的，一般地，在排除了由高维或无穷维动力系统所产生的行为以及由随机过程产生的行为外，一个混沌时刻序列就可视为一个确定性动力系统的结果。一个重要的反问题即如何由混沌时刻序列来恢复原动力系统[1,7,8,10,11,14,16,20.21]，具体地讲，要解决以下几个问题：

(1) 确定时刻序列的混沌特性及其所在动力系统的维数

[2~4,!3~15,19,22~30];

(2) 建立那个动力系统的坐标框架[4,9,10,11,13,];

(3) 在此框架下分离噪声、刻画并恢复原复杂非线性动力学系统并进行预测、调控等工作[4,6,17,18]。

本文将介绍作者近年来在实现这一技术路线中所开展的若

干工作与成果。

2 时刻序列混沌特征的判定

如何判定时序的混沌或随机特性一直是国内外学者研究的重点，从决定论的角度动身，已有了许多检测确定性混沌的方法。如Tsay[22]的非线性检验方法；Engle[23]的ARCH模型的检验方法；相空间图、递归图、关联维数、Lyapunov 指数、相关系数、频谱图、Poincare截面以及分谐波频闪观测器等、检验独立性的双谱方法、基于BDS统计量的非线性检验方法等。文献[19,24,25]给出了对现实的时序不同特性问题的判不的差不多方法，即相位随机化方法。马军海、盛昭瀚[32]利用相位随机化方法，研究了服

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从不同分布的随机化方法对判定实测数据特性归属的阻碍，并将其成功地用于经济时序的非线性特征判定，为对时序建立合适的预测模型提供了指南。

3 分形维数的相关特性分析研究

分维是描述具有复杂性的系统结构的一个重要特征量，分维的定义有专门多种，而且依照不同的定义算得的其最终值也稍有差不。通过近几年的研究，常用的较多的分维要紧有: Hausdorff 维数D H , 计盒维数D 0, 信息维数D 1,关联维数D 2, 广义维数D q 。能够证得[4,13]嵌入维数与分维数之间的关系式:

2222)(...)1()(d m D q D q D ≈≈≈+≈

(1)

即计算D 2时略去噪声阻碍,只要取最少的嵌入维数大于或等于分

维数，从理论上都可不能对D 2产生阻碍。

能够证得[4,13]2d 的极大似然可能为: 1102ln 1ˆ-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑M j j r r M d

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00r r j ≤< (2)

由(6)式得2d 的方差为: ()M d d d X f E d Var 2222222,ln )ˆ(=⎥⎦⎤⎢⎣

⎡∂∂-= (3)

由于实际问题中N 的取值不可能无穷大而要受到诸多的限制，取j i ij x x r -=

则2d 的极大似然可能为:

1021ˆ->⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑M j i ij ij r r w M d ,)(0ij ij r r H w -=,∑>=N

j i ij w L (4)

由(3)式知值 )ˆ(2

d Var 与所取的样本的个数成反比，实际问题中适当的取样本大一些可减少)ˆ(2d Var ，以便使2

d 的可能值更准确。采纳G-P 算法计算动力系统实测数据吸引子的关联维数时，诸多因素可能阻碍可能精度。对误差的来源的详细讨论见文献[4,13]。

4 混沌时序动力系统的非线性重构技术

定量刻画复杂非线性动力系统复杂性的两个最常用的量确实

是分维数和李雅普诺夫指数，它们分不度量了非线性动力系统在其相空间的几何结构的规则性或复杂性程度。相空间重构法是依照有限的实测数据来重构吸引子以研究系统动力行为的方法，其差不多思想是：系统中任一重量的演化差不多上由与之相互作用着的其它重量所决定的，因此这些相关重量的信息就隐藏在任一重量的进展过程中，为了重构一个等价的状态空间只需考察一个重量，并将它在某些固定的时刻延迟点上的测量作为新维处理，即延迟值被看成是新的坐标，它们确定了某个多维状态空间中的一点。重复这一过程并测量相关于不同时刻的各延迟量，就能够产生出许多如此的点，它能够将吸引子的许多性质保存下来，即用系统的一个观看量能够重构出原动力系统模型，能够初步确定系统的真实相空间的维数。

为了能够从“一维”时刻序列中“还原”动力系统相空间的几何结构, Jone F.Gibson[16] 等人采纳时刻延迟技术重构相空间.他们把一维时刻序列嵌入到m维空间中：