大学物理学上下册中国科学技术大学出版社课后习题与答案

x 3 2 2 m
一个细玻璃棒被弯成半径为 R 的半圆形，沿其上半部分均匀分布有电荷 Q ，沿其下


9.8
半部分均匀分布有电荷 Q ，如题图 9.4 所示．试求圆心 O 处的电场强度．
y
+Q
dq
y
R O
－Q 题图 9.4
x
d

x
R O
解：把所有电荷都当作正电荷处理. 在 处取微小电荷 dq dl 2Qd / ，它在 O 处 产生场强
qint
0

d 。 0
（2）如图建立一维坐标系，坐标原点与圆心重合。在带电导线上坐标为 x 处取长度为 dx 的 带电元，其所带电荷量为 dq dx ， dq 在 P 点产生的电场强度为
dE
P 点的电场强度为
dq dx ˆ ˆ i i 2 4 0 ( R x) 4 0 ( R x) 2
E
(2) 过 P 点垂直平板作一柱形高斯面，底面为 S．设该处场强为 E ，如图所示．按高 斯定理有：
kb2 ， (板外两侧) 4 0
E E S
得到：
2 (3) E 0 ，必须是 x
kS
0

x
0
xdx
kSx 2 kx 2 E E 2 0 2 0
E
d 2
d 2
ˆ dE i
d 2
dx
4 0 ( R x)2
R d 2
d 2

ˆ d 2 d ( R x) ˆ Rd 2 dy i i 4 0 d 2 ( R x)2 4 0 Rd 2 y 2
1 1 R d 2 R d 2
解：如图建立坐标系。根据题意可知
E
x
0

Q 4 0 a
2

cos 600 0 2 0 a
9.10 如题图 9.6 所示，一电荷面密度为 的“无限大”平面，在距离平面 a 处的一点的场强 大小的一半是由平面上的一个半径为 R 的圆面积范围内的电荷所产生的．试求该圆半径的 大小．


解： 挖去电荷体密度为 的小球， 以形成球腔时的求电场问题， 可在不挖时求出电场 E1 ， 而另在挖去处放上电荷体密度为 的同样大小的球体，求出电场 E2 ，并令任意点的场强 为此二者的矢量叠加，即： E0 E1 E2 。






P E1P
O O
E1O’
P
O
E2P
O r - E2O’=0
即：
1
x 1
2
2

(2)
x
2 x 1 2 x 2 2 x 1 0
x 1
2
0 x 1 2 x 1 0
2 2
x2 6x 1 0 x (3 2 2)m 。
因 x 3 2 点处于 q、－2q 两点电荷之间，该处场强不可能为零．故舍去．得
/ 2 Ex 2 sin d sin d 0 2 0 R 2 0 /2 /2 Q Q Ey 2 cos d cos d 2 2 2 0 R 0 0R2 /2
N
9.6 已知某电场的电场线分布情况如题图 9.3 所示．现观察到一负电荷从 M 点移到 N 点．有 人根据这个图作出下列几点结论，其中哪点是正确的？ (A) 电场强度 EM EN ． (B) 电势 U M U N ． (C) 电势能 WM WN ． 二、计算题 9.7 电荷为 q 和 2q 的两个点电荷分别置于 x 1m 和 x 1m 处． 一试验电荷置于 x 轴上 何处，它受到的合力等于零？ x (D) 电场力的功 A＞0． ［C］
［D，VO 0 ］
C
-q
M O
+q N
题图 9.2
D
P
9.5 静电场中某点电势的数值等于 (A)试验电荷 q0 置于该点时具有的电势能． (B)单位试验电荷置于该点时具有的电势能． (C)单位正电荷置于该点时具有的电势能． (D)把单位正电荷从该点移到电势零点外力所作的功．
［C］
-q M
题图 9.3
习题九
一、选择题 9.1 关于高斯定理的理解有下面几种说法，其中正确的是： (A) 如果高斯面上 E 处处为零，则该面内必无电荷． (B) 如果高斯面内无电荷，则高斯面上 E 处处为零． (C) 如果高斯面上 E 处处不为零，则高斯面内必有电荷． (D) 如果高斯面内有净电荷，则通过高斯面的电场强度通量必不为零． ［A(本章中不涉及导体)、 D ］ 9.2 有一边长为 a 的正方形平面，在其中垂线上距中心 O 点 a/2 处，有一电荷为 q 的正点电 荷，如图所示，则通过该平面的电场强度通量为 (A)
2q
q
q0
解：设试验电荷 q0 置于 x 处所受合力为零，根据电力叠加原理可得
q (2q) ˆ (2q) q0 i ˆ 0 i 0 2 2 2 4 0 x 1 4 0 x 1 4 0 x 1 4 0 x 1
2
q q0
解：设闭合面内包含净电荷为 Q．因场强只有 x 分量不为零，故只是二个垂直于 x 轴的 平面上电场强度通量不为零．由高斯定理得：
E1S1 E2 S2
则
Q
0
, ( S1 S2 S )
Q 0 S (E2 E1 ) 0 Sb( x2 x1 ) 0a2b(2a a) 0a3b 8.851012 C
1 a a a 1 1 ， 1 2 2 2 2 2 2 2 0 2 a R 4 0 a R 2 a R 2a a2 R2 4a2 a2 R2 R 3a 。
9.11 如题图 9.7 所示，一均匀带电直导线长为 d ，电荷线密度为 。过导线中点 O 作一 半径为 R [ R d 2 ]的球面 S ， P 为带电直导线的延长线与球面 S 的交点。求： （1） 、通过该球面的电场强度通量 E 。 （2） 、 P 处电场强度的大小和方向。 解： （1）利用静电场的高斯定理即可得： E
QBaidu Nhomakorabea
所以
E Ex i E y j
Q j。 2 0 R 2
9.9 如图 9.5 所示，一电荷线密度为 的无限长带电直导线垂直纸面通过 A 点；附近有一 电量为 Q 的均匀带电球体，其球心位于 O 点。 AOP 是边长为 a 的等边三角形。已知 P 处 场强方向垂直于 OP ，求: 和 Q 间的关系。
dER
2 0 a 2 r 2

ardr
3/ 2
则半径为 R 的圆面积内的电荷在该点的场强为
ER
a 2 0

0
R
a
rdr
2
r
2 3/ 2

2 0
a 1 a2 R2

由题意， ER E / 2 / 4 0 ，得到
(D)
q2 0S 2
[B ] 9.4 如题图 9.2 所示，直线 MN 长为 2l ，弧 OCD 是以 N 点为中心，l 为半径的半圆弧， N 点有正电荷 q ， M 点有负电荷 q ．今将一试验电荷 q0 从 O 点出发沿路径 OCDP 移到 无穷远处，设无穷远处电势为零，则电场力作功 (A) A＜0 , 且为有限常量． (B) A＞0 , 且为有限常量． (C) A＝∞． (D) A＝0．
9.12 题图 9.8 中， 虚线所示为一立方形的高斯面， 已知空间的场强分布为： Ex bx ， Ey 0 , m)．试求该闭合面中包含的净电荷．(真 Ez 0 。高斯面边长 a＝0.1 m，常量 b＝1000 N/(C· 空介电常数 0 ＝8.85× 10-12 C2· N-1· m-2 )
解： (1) 由对称分析知，平板外两侧场强大小处处相等、方向垂直于平面且背离平面．设 场强大小为 E ．作一柱形高斯面垂直于平面．其底面大小为 S，如图所示．
按高斯定理
E ds q
int
0 ，即：
1
2SE
得到：
0

b
0
Sdx
kS
0

b
0
kSb2 xdx 2 0
dE
按 角变化，将 dE 分解成二个分量：
dq Q 2 d 2 4 0 R 2 0 R 2 Q
sin d 2 0 R 2 Q dE y dE cos 2 cos d 2 0 R 2
2
dEx dE sin
对各分量分别积分，积分时考虑到一半是负电荷
Q 0 Q a 。 a
O
dr r
中 O 点为圆心，取半径为 r r dr 的环形面积，其电量为 dq 2 rdr 。它在距离平面 为 a 的一点处产生的场强
解：电荷面密度为 的无限大均匀带电平面在任意点的场强大小为 ： E / 2 0 。以图



q ． 3 0
(B)
q 4 0
a a
(C)
q ． 3 0
(D)
q 6 0
［D］
O a/2
题图 9.1
q
9.3 面积为 S 的空气平行板电容器，极板上分别带电量 q ，若不考虑边缘效应，则两极板 间的相互作用力为 (A)
q2 0S
(B)
q2 2 0 S
(C)
q2 2 0 S 2
(0 x b)
E
k 2 0
2 b2 x 2
b2 0 ， 可得 x b / 2 。 2
9.15 一球体内均匀分布着电荷体密度为 的正电荷，若保持电荷分布不变，在该球体挖去 半径为 r 的一个小球体，球心为 O ，两球心间距离 OO d ，如题图 9.11 所示。 求： (1) 在球形空腔内，球心 O 处的电场强度 E0 ； (2) 在球体内 P 点处的电场强度 E 。设 O 、 O 、 P 三点在同一直径上，且 OP d 。
9.13 体图 9.9 所示，有一带电球壳，内、外半径分别为 a 、 b ，电荷体密度为 A r ，在 球心处有一点电荷 Q 。证明：当 A Q (2a ) 时，球壳区域内电场强度 E 的大小与半径 r 无关。
2

证：用高斯定理求球壳内场强： 而

S
E dS E 4 r 2 Q dV / 0 ,
ˆ 1 ˆ i i 4 0 y R d 2 4 0

ˆ 1 ˆ (4R 2d ) (4R 2d ) i 1 i d ˆ i 0 4R 2d 4R 2d 0 (4R 2d )(4R 2d ) 0 (4R 2 d 2 )
图(b)
图(a)

O O d
E1P

P
EP E2P
EO’=E1 O’
图(c)
图(d)
在图(a)中，以 O 点为球心，d 为半径作球面为高斯面 S，则可求出 O与 P 处场强的大小。
E ds E 4 d
r

Q a b
r
Q a b

图 9.9 要使 E 的大小与 r 无关，则应有 ：

Q 4 0 r 2

Q Aa 2 。 0， 即 A 2 2 a 2 2 0 r
9.14 如题图 9.10 所示，一厚为 b 的 “ 无限大 ” 带电平板，其电荷体密度分布为 kx ( 0 x b )，式中 k 为一正的常量．求： (1) 平板外两侧任一点 P 1和 P 2 处的电场强度大小； (2) 平板内任一点 P 处的电场强度； (3) 场强为零的点在何处？
V


r A 4 r 2 dr 4 A rdr 2 A r 2 a 2 v a r 0 2 2 2 A r a Q Q A Aa 2 E 4 0 r 2 4 0 r 2 4 0 r 2 2 0 2 0 r 2
dV