双根法优化解析几何运算

双根法优化解析几何运算
1.双根法使用类型：形如12121212,,()(),()()x x y y x t x t y t y t ++++或者
,MA MB MA MB ⋅⋅（其中1212,,,x x y y 分别为直线与曲线交点,A B 的横纵坐标）
2.双根法理论基础：设12,x x 为一元二次方程2
0ax bx c ++=的两根
则2
12()()ax bx c a x x x x ++=--（其意义为将一个二次多项式进行因式分解）
引例.设椭圆中心在原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左右焦点分别为12,F F ，线段
12,OF OF 中点分别为12,B B ，且12AB B △是面积为4的直角三角形.
（1）求其椭圆的方程
（2）过1B 作直线l 交椭圆于,P Q 两点，使22PB QB ⊥，求直线l 的方程.
解：（1）
22
1204x y +=
（2）易知：直线l 不与轴垂直，则设直线l 方程为：(2)y k x =+，1122(,),(,)P x y Q x y 因为22PB QB ⊥，则22=0PB QB ，
所以2
11221212(2,)(2,)0(2)(2)(2)(2)0
x y x y x x k x x --=⇒--+++=*
现联立22222(2)5(2)200
1204y k x x k x x y =+⎧⎪
⇒++-=⎨+
=⎪⎩
则方程222
5(2)200x k x ++-=可以等价转化212(15)()()0k x x x x +--= 即2222
125(2)20(15)()()
x k x k x x x x ++-=+--
令2x =，22
2
121228016
48020(15)(2)(2)(2)(2)15k k k x x x x k -+-=+
--⇒--=
+
令2x =-，2
12122164020(15)(2)(2)(2)(2)15k x x x x k -+-=+++⇒++=+
结合2
1212(2)(2)(2)(2)0
x x k x x --+++=*化简可得：22
228016160
1515k k k k --+=++
222211
8016160641642k k k k k --=⇒=⇒=∴=±
所以直线l 方程为：1
(2)2
y x =±+.
1.已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>离心率为2，直线20x y -+=与以原点为圆
心，椭圆的短半轴长为半径的的圆相切.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线l 与椭圆交于,A B 两点，若22OA OB OA OB +=-，求直线l 与y 轴交点的纵坐标的取值范围.
2.已知椭圆22
143
x y +=，若直线l 与椭圆交于,A B 两点，（,A B 不是左右顶点），
且以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出定点坐标.
3. 设00(,)P x y 是抛物线2
2y px =上的一个定点，,A B 是抛物线上两点，且PA PB ⊥，
证明：直线AB 恒过定点00(2,)p x y +-.
4.已知椭圆E ：错误！未找到引用源。

22
2210x y a b a b
+=>>（）
的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l: 3y x =-+与椭圆E 有且只有一个公共点T . （I ）求椭圆E 的方程及点T 的坐标；
（II ）设O 是坐标原点，直线l '平行于OT ,与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，且与直线l 交于点P .证明：存在常数λ，使得2
PT PA PB λ=⋅，并求λ的值.
解：（I
）由已知，a =，则椭圆E 的方程为22
2212x y b b
+=.
由方程组22
221,23,x y b b y x ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩
得22
312(182)0x x b -+-=.①
方程①的判别式为2
=24(3)b ∆-，由=0∆，得2=3b ， 此时方程①的解为=2x ，
所以椭圆E 的方程为22
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x y +=. 点T 坐标为（2,1）.
传统解法（II ）由已知可设直线l '的方程为1
(0)2
y x m m =
+≠，
由方程组12
3y x m y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩，， 可得223
21.3m x m y ⎧
=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
， 所以P 点坐标为（222,133
m m
-
+），2
2
8
9
P T
m =
.
所以123
m PA x ==--，
同理223
m
PB x =
--，所以12522(2)(2)433m m PA PB x x ⋅=-
--- 21212522(2)(2)()433
m m
x x x x =
---++ 225224412(2)(2)()43333
m m m m -=----+
2
109m =. 故存在常数45
λ=，使得2
PT PA PB λ=⋅.。