创新设计高中理科数学
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第6讲 双曲线
诊断·基础知识
突破·高频考点
培养·解题能力
[最新考纲] 1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几
何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)． 2．了解双曲线的实际背景及双曲线的简单应用． 3．理解数形结合的思想.
诊断·基础知识
突破·高频考点
培养·解题能力
知识梳理 1．双曲线的定义
诊断·基础知识
突破·高频考点
培养·解题能力
2．对双曲线的标准方程和几何性质的理解
(3)方程xm2－yn2＝1(mn＜0)表示焦点在x轴上的双曲线．(×)
(4)(2013·新课标全国Ⅰ卷改编)已知双曲线C：
y2 a2
－
x2 b2
＝1(a＞
0，b＞0)的离心率为 25，则C的渐近线方程为y＝±12x.(×)
一支；如(2)中应为两条射线．
2．二个防范
一是双曲线
x2 a2
－
y2 b2
＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方
程为y＝±bax，而双曲线ay22－bx22＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为
y＝±abx即x＝±bay，应注意其区别与联系，如(4)； 二是直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线
平面内动点P与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离之差的 绝对值为常数 2a (2a＜2c)，则点P的轨迹叫双曲线．这两个 定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距．
诊断·基础知识
突破·高频考点
培养·解题能力
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准 方程
ax22－by22＝1(a>0，b>0)
( )．
A．4
B．12
C．4或12
D．6
(2)已知F为双曲线C：
x2 9
－
y2 16
＝1的左焦点，P，Q为C上的
点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上，则△
PQF的周长为________．
诊断·基础知识
突破·高频考点
培养·解题能力
解析 (1)由题意知c＝ 4＋12 ＝4，设双曲线的左焦点为F1(－ 4,0)，右焦点为F2(4,0)，且|PF2|＝8.当P点在双曲线右支上时， |PF1|－|PF2|＝4，解得|PF1|＝12；当P点在双曲线左支上时， |PF2|－|PF1|＝4，解得|PF1|＝4，所以|PF1|＝4或12，即P到它 的左焦点的距离为4或12.
A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a)
y＝±bax
y＝±abx
c e＝ a ，e∈(1，＋∞)，其中c＝ a2＋b2
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a； 线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a 叫做双曲线的半实轴长，b叫做双曲线的半虚轴长
(2)如图所示，设双曲线的右焦点为E，则E(4,0)．由双曲线的定 义及标准方程得|PF|－|PE|＝4，则|PF|＋|PA|＝4＋|PE|＋|PA|.由 图可得，当A，P、E三点共线时，(|PE|＋|PA|)min＝|AE|＝5，从 而|PF|＋|PA|的最小值为9. 答案 (1)B (2)D
ay22－bx22＝1(a>0，b>0)
图 形
诊断解题能力
标准方程
范围 对称性
顶点
渐近线 性
离心率 质
实虚轴
a，b，c 的关系
续表
ax22－by22＝1(a>0，b>0)
ay22－bx22＝1(a>0，b>0)
x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a
对称轴： 坐标轴 ；对称中心： 原点
支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为
( )．
A．5
B．5＋4 3
C．7
D．9
诊断·基础知识
突破·高频考点
培养·解题能力
解析 (1)由双曲线定义||PF1|－|PF2||＝8，又|PF1|＝9，∴|PF2|＝ 1或17，但应注意双曲线的右顶点到右焦点距离最小为c－a＝6 －4＝2>1，∴|PF2|＝17.
与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不
是相切；反之，当直线与双曲线相切时， 直线与双曲线仅有
一个交点，如(6)．
诊断·基础知识
突破·高频考点
培养·解题能力
考点一 双曲线的定义及应用
【例1】
(1)若双曲线
x2 4
－
y2 12
＝1上的一点P到它的右焦点的距离为
8，则点P到它的左焦点的距离是
答案 (1)C (2)44
诊断·基础知识
突破·高频考点
培养·解题能力
规律方法 (1)双曲线定义的集合语言：P＝{M|||MF1|－|MF2||＝ 2a,0＜2a＜|F1F2|}是解决与焦点三角形有关的计算问题的关键， 切记对所求结果进行必要的检验．
(2)利用定义解决双曲线上的点与焦点的距离有关问题时，弄清 点在双曲线的哪支上．
(5)(2013·陕西卷改编)双曲线
1x62 －
ym2＝1的离心率为
5 4
，则m等于
9.
(√)
(6)若直线与双曲线交于一点，则直线与双曲线相切．(×)
诊断·基础知识
突破·高频考点
培养·解题能力
[感悟·提升]
1．一点提醒 双曲线定义中的“差”必须是“绝对值的
差”，常数必须小于|F1F2|且大于零，如(1)中应为双曲线的
诊断·基础知识
突破·高频考点
培养·解题能力
【训练1】
(1)(2014·大连模拟)设P是双曲线
x2 16
－
y2 20
＝1上一点，
F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝
( )．
A．1
B．17
C．1或17
D．以上答案均不对
(2)已知F是双曲线
x2 4
－
y2 12
＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右
诊断·基础知识
突破·高频考点
培养·解题能力
(2)由x92－1y62 ＝1得a＝3，b＝4，c＝5. ∴|PQ|＝4b＝16>2a. 又∵A(5,0)在线段PQ上，∴P，Q在双曲线的右支上， 且PQ所在直线过双曲线的右焦点， 由双曲线定义知||PQFF||－－||PQAA|＝|＝22aa＝＝66，， ∴|PF|＋|QF|＝28. ∴△PQF的周长是|PF|＋|QF|＋|PQ|＝28＋16＝44.
c2＝ a2＋b2 (c＞a＞0，c＞b＞0)
诊断·基础知识
突破·高频考点
培养·解题能力
辨析感悟
1．对双曲线定义的认识
(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹
是双曲线．
(×)
(2)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的
点的轨迹是双曲线．
(×)
诊断·基础知识
突破·高频考点
培养·解题能力
[最新考纲] 1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几
何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)． 2．了解双曲线的实际背景及双曲线的简单应用． 3．理解数形结合的思想.
诊断·基础知识
突破·高频考点
培养·解题能力
知识梳理 1．双曲线的定义
诊断·基础知识
突破·高频考点
培养·解题能力
2．对双曲线的标准方程和几何性质的理解
(3)方程xm2－yn2＝1(mn＜0)表示焦点在x轴上的双曲线．(×)
(4)(2013·新课标全国Ⅰ卷改编)已知双曲线C：
y2 a2
－
x2 b2
＝1(a＞
0，b＞0)的离心率为 25，则C的渐近线方程为y＝±12x.(×)
一支；如(2)中应为两条射线．
2．二个防范
一是双曲线
x2 a2
－
y2 b2
＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方
程为y＝±bax，而双曲线ay22－bx22＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为
y＝±abx即x＝±bay，应注意其区别与联系，如(4)； 二是直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线
平面内动点P与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离之差的 绝对值为常数 2a (2a＜2c)，则点P的轨迹叫双曲线．这两个 定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距．
诊断·基础知识
突破·高频考点
培养·解题能力
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准 方程
ax22－by22＝1(a>0，b>0)
( )．
A．4
B．12
C．4或12
D．6
(2)已知F为双曲线C：
x2 9
－
y2 16
＝1的左焦点，P，Q为C上的
点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上，则△
PQF的周长为________．
诊断·基础知识
突破·高频考点
培养·解题能力
解析 (1)由题意知c＝ 4＋12 ＝4，设双曲线的左焦点为F1(－ 4,0)，右焦点为F2(4,0)，且|PF2|＝8.当P点在双曲线右支上时， |PF1|－|PF2|＝4，解得|PF1|＝12；当P点在双曲线左支上时， |PF2|－|PF1|＝4，解得|PF1|＝4，所以|PF1|＝4或12，即P到它 的左焦点的距离为4或12.
A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a)
y＝±bax
y＝±abx
c e＝ a ，e∈(1，＋∞)，其中c＝ a2＋b2
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a； 线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a 叫做双曲线的半实轴长，b叫做双曲线的半虚轴长
(2)如图所示，设双曲线的右焦点为E，则E(4,0)．由双曲线的定 义及标准方程得|PF|－|PE|＝4，则|PF|＋|PA|＝4＋|PE|＋|PA|.由 图可得，当A，P、E三点共线时，(|PE|＋|PA|)min＝|AE|＝5，从 而|PF|＋|PA|的最小值为9. 答案 (1)B (2)D
ay22－bx22＝1(a>0，b>0)
图 形
诊断解题能力
标准方程
范围 对称性
顶点
渐近线 性
离心率 质
实虚轴
a，b，c 的关系
续表
ax22－by22＝1(a>0，b>0)
ay22－bx22＝1(a>0，b>0)
x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a
对称轴： 坐标轴 ；对称中心： 原点
支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为
( )．
A．5
B．5＋4 3
C．7
D．9
诊断·基础知识
突破·高频考点
培养·解题能力
解析 (1)由双曲线定义||PF1|－|PF2||＝8，又|PF1|＝9，∴|PF2|＝ 1或17，但应注意双曲线的右顶点到右焦点距离最小为c－a＝6 －4＝2>1，∴|PF2|＝17.
与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不
是相切；反之，当直线与双曲线相切时， 直线与双曲线仅有
一个交点，如(6)．
诊断·基础知识
突破·高频考点
培养·解题能力
考点一 双曲线的定义及应用
【例1】
(1)若双曲线
x2 4
－
y2 12
＝1上的一点P到它的右焦点的距离为
8，则点P到它的左焦点的距离是
答案 (1)C (2)44
诊断·基础知识
突破·高频考点
培养·解题能力
规律方法 (1)双曲线定义的集合语言：P＝{M|||MF1|－|MF2||＝ 2a,0＜2a＜|F1F2|}是解决与焦点三角形有关的计算问题的关键， 切记对所求结果进行必要的检验．
(2)利用定义解决双曲线上的点与焦点的距离有关问题时，弄清 点在双曲线的哪支上．
(5)(2013·陕西卷改编)双曲线
1x62 －
ym2＝1的离心率为
5 4
，则m等于
9.
(√)
(6)若直线与双曲线交于一点，则直线与双曲线相切．(×)
诊断·基础知识
突破·高频考点
培养·解题能力
[感悟·提升]
1．一点提醒 双曲线定义中的“差”必须是“绝对值的
差”，常数必须小于|F1F2|且大于零，如(1)中应为双曲线的
诊断·基础知识
突破·高频考点
培养·解题能力
【训练1】
(1)(2014·大连模拟)设P是双曲线
x2 16
－
y2 20
＝1上一点，
F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝
( )．
A．1
B．17
C．1或17
D．以上答案均不对
(2)已知F是双曲线
x2 4
－
y2 12
＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右
诊断·基础知识
突破·高频考点
培养·解题能力
(2)由x92－1y62 ＝1得a＝3，b＝4，c＝5. ∴|PQ|＝4b＝16>2a. 又∵A(5,0)在线段PQ上，∴P，Q在双曲线的右支上， 且PQ所在直线过双曲线的右焦点， 由双曲线定义知||PQFF||－－||PQAA|＝|＝22aa＝＝66，， ∴|PF|＋|QF|＝28. ∴△PQF的周长是|PF|＋|QF|＋|PQ|＝28＋16＝44.
c2＝ a2＋b2 (c＞a＞0，c＞b＞0)
诊断·基础知识
突破·高频考点
培养·解题能力
辨析感悟
1．对双曲线定义的认识
(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹
是双曲线．
(×)
(2)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的
点的轨迹是双曲线．
(×)