巧用数形结合法解数学题

巧用数形结合法解数学题

中央广播电视大学人才培养模式改革和开放教育试点数学与应用数学专业毕业论文

巧用数形结合法解数学题

姓名：刘嘉杭

学校：中央广播电视大学

学号：081170407

指导教师：赵学海

完稿日期：2010年3月18日

目录

提纲 (1)

题目 (2)

论文摘要 (2)

关键词 (2)

正文.............................................. 2-9

1、以数解形 (2)

2、以“形”助“数” (4)

参考文献 (9)

提纲

一、题目：巧用数形结合法解数学题

二、论点：数形结合是研究数学问题的过程中，实现问题的模型转换的一种基本思想和方法。

三、思路

1、以数解形

（1）用代数法解几何问题

（2）用解析法解几何问题

2、以形助数

（1）用几何法解代数问题

（2）用解析法解代数问题

（3）借助函数图象解数学问题

巧用数形结合法解数学题

刘嘉杭

【论文摘要】数形结合是一种重要的数学思想方法，在解题中以形表达数量关系，借数解析形，数形结合，可以达到直观又入微；提高数形结合的灵活性，可有助于思维能力的培养，有利一提高解题能力。

【关键词】数形结合以数解形以形助数

所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，大家都知道数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学，数和形是客观事物不可分离的两个数学表象，它们既是对立的，又是统一的，每一个几何图形中都蕴含着与它们的形状、大小、位置密切相关的数量关系；因此数形结合的实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合起来，在解决代数问题时，想到它的图形，从而启发思维，找到解题之路；或者在研究图形时，利用代数的性质，解决几何的问题。实现抽象概念与具体形象的联系和转化，化难为易，化抽象为直观。数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”。充分体现了数形结合的必要性。正由于数形的密切关系，我们常把代数式的精确刻画与几何图形的直观描述结合起来，从而使代数问题几何化，几何问题代数化，并进而把抽象思维和形象思维结合起来，使许多复杂问题获得简捷解法。

通常数形结合体现为“以形助数”、“以数解形”、“借助函数图像”，通过“以形助数”、“以数解形”、“借助函数图像”，可使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而达到优化解题途径的目的。

1、以数解形

几何问题通过“形向数”的转化更简便，如采用代数方法、解析法、复数方法、向量方法去解决几何问题，解题思路比较明确，规律性强，不象几何证法需要特殊技巧，因此也就容易找到解题途径，下面举例说明。

1.1 用代数方法解几何问题

研究某些度量关系的几何问题时，可将有关线段、角度、面积用未知数表示，根据已知条件建立相应的关系式，然后用代数中的恒等变换或解方程得出。

【例1】如图1,已经⊙O 的三条弦PP 1、QQ 1、RR 1两两相交，交点分别为A 、B 、C ，且AP ＝BQ ＝CR ，AR 1＝BP 1＝CQ 1。

求证 △ABC 是正三角形

思路分析：此题用代数法解极为简单。设：

BC ＝x ，CA ＝y ，AB ＝z ，AP ＝BQ ＝CR ＝m ，AR 1＝BP 1＝CQ 1＝n ，

相交弦定理可列出议程组()()()()()()m x n n z m m y n n x m m z n n y m +=+⎧⎪

+=+⎨⎪+=+⎩

化简后得mx nz my nx mz ny =⎧⎪

=⎨⎪=⎩

三式相加得m （x ＋y ＋z ）＝n （x ＋y ＋z ），由m ＝n 可推出x ＝y ＝z ，所以△ABC

是等边三角形。

1.2 用解析法解几何问题

解析法是笛卡儿推崇的数学思想方法，是数形结合的典范，它的优势主要在解题的规范化，其解题步骤主要是：通过建立坐标系，设定所给图形上有关点的坐标和曲线的方程后，便可将几何问题转化为代数问题；然后运用代数知识求解，再赋予几何意义，从而获得对几何问题的解答。

【例2】在△ABC 中，已经AD 是BC 边上的高，P 是AD 上任一点，BP 、CP 延长线交AC ，AB 于E 、F 。求证∠ADE ＝∠ADF.

思路分析：此题如用几何法无需较高技巧，我们试用解析法来证明。建立直角坐标系，如图2,则只须证明DE ，DF 的斜率互为反数就可以了。

设A 、B 、C 、P 四点坐标分别为（0,a ），（b,0），（c,0），（0,p ），由截距式可求出AB 、CP ，AC ，BP 的直线方程为：

AB ：1x y

b a

+= (1)

· P A

C B Q P1

R

y E P F A(0

图O

CP ：1x y

c p

+= (2)

AC ：1x y

c a += (3)

BP ：1x y

b p

+= (4)

联立（3）、（4），求出E 点坐标为（()bc a p ab cp

--，()

ap b c ab cp --）联立（1）、（2），求

出F 点的坐标为（()bc a p ac bp --，()ap b c bp ac --）所以直线DE 的斜率K DE ＝()

()

ap b c bc a p --直线DF

的斜率K DF ＝

()

()

ap b c bc a p --由此得K DE ＝K DF 所以∠ADE ＝∠ADF 。

由上述例子可见，解析法证几何题，思路明确，有规可循，而且可以减少或避免添加辅助线，可以减少“寻求隐含条件”的困难，使用时要注意的是坐标系的选取要适当，这样可以简化计算。

2、以“形”助“数”

以“形”助“数”即以图形或图象之关系反映相应的代数关系，并解决有关代数问题，根据解题的需要，常把数量关系的问题转化为图形的性质问题来讨论，即把抽象为直观，通过对图形的研究，常能发现问题的隐含条件，诱发解题线索，使求解过程变得简捷直观。

2.1 用几何法解代数问题

【例3】已知正数a 、b 、c 、A 、B 、C 满足a ＋A ＝b ＋B ＝c ＋C ＝k 求证：aB ＋bC ＋cA ＜k 2

思路分析：不等式左边是三个乘积的和，联想到三角形的面积，可以构造以k 为边长的正三角形PQR 如图3在边上取L 、M 、N ，根据已经条件，使QL=A,LR=a ，RM ＝B ，MP ＝b ，PN ＝C ，NQ ＝C ，则S △LRM ＝

1

2

aBsin60° S △MPN ＝

1

2

bCsin60° S △NQL ＝

1

2

cAsin60° 图

P Q R

N

M C b

c B