曲率流的拼挤估计

=
σ
1 k
kn
,
when
k =1,
∂ X ( x, t ) = Hn ,
∂t
where H is the average curvature flow; When k = 2 ,
∂
X ( x,t) =
1
R2n ,
1
R2 is a constant number of
∂t
curvature flows. In this paper, the squeezing estimate is obtained when k = 2 .
∂ ∂x j
vi
+
Γijk vk
。黎曼集合张
量，里奇张量和标量曲率通过高斯方程给定：= Rijkl hik hjl − hil hjk ；= Rik Hhik − hil glj hjk ；=R H 2 − A 2 ，
其中 A 2 = gij g kl hik hjl 。
回忆
Guass-Weingarten
∂hij ∂t
=
∂ ∂t
∂2 X ∂xi∂x j
, n
=
1
∂2 1 ∂xi∂x j R 2 n , n +
∂2 X ∂xi∂x j
,
−
∂R 2 ∂xi
∂X ∂x j
g ij
3) =
1
∂ ∂xi
∂ ∂x j
1
1
R 2 n − R 2 hjk g kl
∂X ∂xl
, n
+
Γikj
∂X ∂xk
2)
∂n = ∂t
1
−∇ j R 2
ห้องสมุดไป่ตู้
∂X ∂x j
= ∂hij ∂t
3)
( ) ( ) −1
R2
hij
−
1 H2
H ∇i hkl − ∇i Hhkl
H ∇ j hkl − ∇ j Hhkl
−
H4 4R
∇i
A2 H2
∇
j
A2 H2
()
+
H
A2 −C
hij
−
2Rhik hkj
( ) 4)
Open Access
1. 引言
在现代微分几何中偏微分方程是一种非常有力的工具。特别的，通过抛物极大值原理作为主要工 具，抛物发展方程(几何热流)已经成功的应用于研究流行的几何量。一些学者已经对平均曲率流的拼挤 估计[1] [2]进行了研究[3]，得出的先验条件[4] [5]，本文对满足先验条件的数量曲率流进行了拼挤估计。
= hij + ∇i∇ j H − g km gln∇i hkl∇ j hmn + ∗
其中：
( ) ( ) ( ) =∗ Hg kl − hkl hij hkm − himhkj hlm + hil hkm − himhkl hmj
=
Hg kl hkm hlm hij
−
hkl hij hkm hlm
X ( x,t) =
Hn ，此时H是平均曲率流；当 k = 2 时，
∂
X ( x,t) =
1
1
R2 n ， R2 是常数量曲率流，本文
∂t
∂t
得到 k = 2 时的拼挤估计。
关键词
平均曲率流，拼挤估计，常数量
Squeezing Estimation of Curvature Flow
Jinpeng Liu, Adila·Abudureyimu, Yawei Mi Xinjiang Normal University, Urumqi Xinjiang
j
1
= −2R 2 hij
DOI: 10.12677/pm.2020.109105
909
理论数学
刘晋鹏 等
∂n ∂t
=
∂n ∂t
,
∂X ∂xi
∂X ∂x j
g ij
2)
=
−
n,
∂ ∂t
∂X ∂xi
∂X ∂x j
g ij
=
−∂ ∂xi
1
R2
∂X ∂x j
g ij
=
1
−∇ j R 2
∂X ∂x j
( ) Hg kl − hkl ∇i∇ j hkl + ∇i H ∇ j H − g km gln∇i hkl∇ j hmn
( ) ( ) ( ) = Hg kl − hkl ∇k ∇l hij + Hg kl − hkl Rikjmhlm + Riklmhmj + ∇i H ∇ j H − g km gln∇i hkl∇ j hmn
Received: Aug. 30th, 2020; accepted: Sep. 20th, 2020; published: Sep. 27th, 2020
Abstract
In this paper, we focus on the estimation of the numerical curvature flow and some related problems.
3. 主要结论及其证明
根据
∂
X ( x,t ) =
1
R2 n ，为了得到关于超曲面 X (·,t ) 的几何量发展方程，需要下面几个引理：
∂t
DOI: 10.12677/pm.2020.109105
907
理论数学
刘晋鹏 等
( ) 引理
2：
1 2
∇i∇= j R
hij + ∇i H ∇ j H − ∇i hkl∇ j hmn +
2. 预备知识
设 M n 是一个 n 维光滑流形， X (⋅,t ) : M n → Rn+1 是一个 Rn+1 中的光滑浸入超曲面[6]。对于
∂ ∂t
X
( x,t)
=
σ
1 k
kn
，如果
k
=
2
，则
∂ ∂t
X
( x,t)
=
1
R2n
(
x∈M
n
，t
>
0
)。其中
1
R2
和
n 分别是常数量曲率流和
X (·,t ) 的单位法向量。在局部坐标系 {xi} 下， X (·,t ) 的度量和第二基本形式为：
( ) 证明： = − 1 H2
H 2∇i hkl∇ j hkl − 2H ∇ j Hhkl∇i hkl + ∇i H ∇ j H A 2
=
−∇i hkl∇ j hkl −
A2 H2
∇i H∇ j H
+
2
∇jH H
hkl ∇i hkl
( ) 引理 5= ： ∂ H 2 ∂t
−1
R2
H
2
−
2
∇H
2 Hg −h
+
hij
n,
−
∂R 2 ∂xi
∂X ∂x j
g ij
=
1
∂2R2
∂xi∂x j
−
h
jk
g
kl
∂X ∂xl
∂ ∂xi
,
n
−
Γikj
∂X ∂xk
1
,
∂R 2 ∂xi
∂X ∂x j
刘晋鹏 等
Copyright © 2020 by author(s) and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
关系式为
∂2 X ∂xi ∂x
j
= Γikj ∂∂xXk
+
hij n
；
∂n ∂x j
=
−hjl g lm
∂X ∂xm
。
引理 1 (Hamiltion [4] [7])：极大值原理是研究抛物方程的有用的工具。现在我们提出一个关于张量
( ) 的极大值原理。设对称张量 Mij ，如果对所有向量 vi 有 Mijviv j ≥ 0 ，则 Mij ≥ 0 。让 Nij = P Mij , gij 是 Mij
−
Hg kl him hkj hlm
+
hkl him hkj hlm
+
Hg
kl
hil
hkm
h
m j
−
hkl hil hkm hmj
−
Hg kl him hkl hmj
= H A 2 hij − hkl hlmhmk hij − H 2himhmj + A 2 himhmj
( ) = H A 2 − hkl hlmhmk
中的多项式，是 Mij 和它自己的度量的乘积形成的。 假设 0 ≤ t ≤ T ，
∂ ∂t
M ij
=∆M ij
+ uk ∇k M ij
+
Nij
( ) 其中 Nij = P Mij , gij 满足
Nijviv j ≥ 0 ，无论何时 Mijv j = 0
如果在 t = 0 时 Mij ≥ 0 ，则在 0 ≤ t ≤ T 时 Mij ≥ 0 仍然成立。
= 2H H + 2 ∇H Hg−h
所以，
( ) = ∂ H 2 ∂t
2= H ∂ H ∂t
−1
R2
H
2
−
2
∇H
2 Hg −h
−
2 H
H ∇hkl
− ∇Hhkl
2
−
H5 2R
∇
A2 H2
2
+2
H
A2 −C
H
2
定理 1：根据数量曲率流，我们得到下面的发展方程：
∂
1
1) ∂t gij = −2R 2 hij
H A 2 − C hij − Rhimhmj
证明：
1 2
∇i
∇
j
R=
=
=
( ) H∇i∇
jH
+
∇i H∇
j
H
−
1 2
∇i∇
j
g km g ln hkl hmn
Hg kl∇i∇ j hkl − g km g lnhmn∇i∇ j hkl + ∇i H ∇ j H − g km g ln∇i hkl∇ j hmn
Pure Mathematics 理论数学, 2020, 10(9), 906-913 Published Online September 2020 in Hans. http://www.hanspub.org/journal/pm https://doi.org/10.12677/pm.2020.109105
曲率流的拼挤估计
刘晋鹏，阿迪拉·阿布都热依木，米雅薇 新疆师范大学，新疆 乌鲁木齐
收稿日期：2020年8月30日；录用日期：2020年9月20日；发布日期：2020年9月27日
摘要
我们通过对平均曲率流的拼挤估计，得到对一般数量曲率流的拼挤估计。对于
∂ ∂t
X
( x,t)
=
σ
1 k
kn
，当
k
=
1
时，
∂
hij
−
Rhim
h
m j
( ) = H A 2 − C hij − Rhimhmj
引理
3：
−
H
2∇
A2 H2
+
2R ∇H H
=∇R
−H
2∇
A H
2 2
+
2R H
∇H
= −H 2 ∇HA2 2
−
2
A 2 ∇H H3
+
2H 2∇H
−2 H
A2
∇H
证明： = −∇ A 2 + 2H ∇H
( ) = ∇ H 2 − A 2
By means of the mean curvature flow squeezing estimation, we get the squeezing estimation of the
general number of curvature flow squeezing. For
∂ ∂t
X
( x,t)
gij
(
x,
t
)
=
∂X ( x,
∂xi
t
)
,
∂X ( x,
∂x j
t
)
；
hij
(
x,
t
)
=
n
(
x,
t
)
,
∂2 X ( x,t
∂xi∂x j
)
。在
X
(·,
t
)
上的联络系数为
= Γikj
1 2
g kl
∂ ∂xi
g jl
+
∂ ∂x j
g jl
−
∂ ∂xl
gij
；向量
v
在
X
(·,t ) 上的协变导数为 ∇= jvi
∂
1
1
1
R 2 =R 2 R 2 + R
H
A2 −C
∂t
证明：
根据度量的定义、超曲面 X (·,t ) 第二基本形式和 Guass-Weingarten 关系式，我们得到：
∂ ∂t
gij
=
∂ ∂t
∂X ∂xi
,
∂X ∂x j
1)
=
1
2R2
∂n ∂xi
,
∂X ∂x j
=
−2R
1 2
n,
∂X ∂xi ∂x
2
−
H4 4R
A2 2 ∇+
H2
H
A2 −C
H
− 2R
A
2
( ) =
−1
R2
H
−
1 H2
H ∇hkl
− ∇Hhkl
2
−
H4 4R
A2 2 ∇+
H2
H
A2 −C
H
因为，
( ) = H 2 Hgkl − hkl ∇k ∇l H 2 = ( Hgkl − hkl )∇k (2H ∇l H )
= 2 ( Hgkl − hkl ) H ∇k∇l H + 2 ( Hgkl − hkl ) ∇k H ∇l H
−
2 H
H ∇hkl
− ∇Hhkl
2
−
H5 2R
∇
A2 H2
2
+2
H
A2 −C
H
2
DOI: 10.12677/pm.2020.109105
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理论数学
刘晋鹏 等
= ∂ H ∂t
证明：=
∂ ∂t
g ij hij
+
g ij
∂ ∂t
hij
( ) 1
2R2
A
2
+
−1
R2
H
−
1 H2
H ∇hkl
− ∇Hhkl
文章引用: 刘晋鹏, 阿迪拉·阿布都热依木, 米雅薇. 曲率流的拼挤估计[J]. 理论数学, 2020, 10(9): 906-913. DOI: 10.12677/pm.2020.109105
Keywords
Mean Curvature Flows, Crowding Estimation, Often the Number
= ∇R
引理 4：
( )( ) − 1 H2
H ∇i hkl − ∇i Hhkl
H ∇ j hkl − ∇ j Hhkl
=
−∇i hkl ∇ j hkl
−
A2 H2
∇i H∇ j H
+2∇jH H
hkl ∇i hkl
( ) ( ) − 1 H2
H ∇i hkl − ∇i Hhkl
H ∇ j hkl − ∇ j Hhkl