7.5三角形内角和定理
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已知:如图△ABC. 求证:∠A+∠B+∠C=1800.
证明:作BC的延长线CD,过点C作CE∥AB,则
∠1=∠A(两直线平行,内错角相等), ∠2= ∠B(两直线平行,同位角相等),
又∵∠1+∠2+∠3=1800 (平角的定义), ∴ ∠A+∠B+∠ACB=1800 (等量代换). 说明：为了证明三个角的和为180°，把问题转化 为一个平角，这种转化思想是数学中的常用方法;
∴ ∠BAC=180°- 38°-62°= 80°（等式的性质）
∵ AD平分∠BAC（已知）
∴ ∠BAD= ∠CAD =
（角平分线的定义）
在△ABD中， ∠B+ ∠BA12D+BA∠CAD12B=188000°4(0三0 角形内角和定理)
∵ ∠B=38°(已知),∠BAD=40°(已证)
∴ ∠ADB= 180°- 38°-40°= 102°
随堂练习
做一做
△ABC内角的一条边与另一条边的 反向延长线组成的夹角，称为△ABC 的外角。如图7-17，∠1是△ABC的
∠ABC的外角。你能在图中画出其它 外角吗？
议一议
在图7-17中，∠1与其它角有什么 关系？你能证明你的结论吗？
三角形的一个外角等于与它不相 邻的两个内角和。
三角形的一个外角大于任何一个 与它不相邻的内角。
情景探究
已知:如图△ABC. 求证:∠A+∠B+∠C=1800.
证明:过C作AB的平行线EF,即EF∥AB,则 ∠ACE=∠A(两直线平行,内错角相等) ∠BCF= ∠B(两直线平行,内错角相等)
又∵∠ACE+∠BCF+∠ACB=1800 (平角的定义) ∴ ∠A+∠B+∠ACB=1800 (等量代换)
例题讲解
例题讲解
随堂练习
拓展提升
1、如图，在△ABC中，CE，BF是两条高，若
∠A=70°，∠BCE=30°，则∠EBF的度数是 20°， ∠FBC的度数是 40° 。
拓展提升
2、如图，在△ABC中，两条角平分线BD和CE 相交于点O，若∠BOC=116°，那么∠A的度数
是 58° 。
课堂小结
情景探究
已知:如图△ABC. 求证:∠A+∠B+∠C=1800.
证明:过点C作CE∥AB,则
∠ACE=∠A(两直线平行,内错角相等) ∠B+∠BCE=1800(两直线平行,同旁内角互补) 即∠B+∠BCA+∠ACE=1800 ∴ ∠B+∠BCA+∠A=1800 (等量代换)
说明：为了证明三个角的和为180°，把问题转化 为互补的两个角求解;
归纳总结
三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于1800.
数学语言 如图，△ABC中 ∠A+∠B+∠C=1800
例题讲解
பைடு நூலகம்
如图，在△ABC中，∠B=38°，∠C=62°AD
是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数。
解： 在△ABC中，∠B+ ∠C+ ∠BAC=180°(三角形内角和定理)
∵ ∠B=38°,∠C=62°（已知）
情景探究
我们知道，三角形内角和等于180°， 你还记得这个结论的探索过程吗？
（1）如图7-12，如果我们只把∠A移 到∠1的位置，你能说明这个结论吗？ 如果不移动∠A，那么你还有什么方法 可以达到同样的效果？
情景探究
情景探究
（2）根据前面给出的基本事实和定理，你能用自己的 语言说一说这一结论的证明思路吗？你能用比较简洁 的语言写出这一证明过程吗？与同伴交流
北师大版八年级 上册数学
第七章 平行线的证明
7.5三角形内角和定理
温故知新
1. 平行线的性质有哪些？
(1)两直线平行，同位角相等. (2)两直线平行，内错角相等. (3)两直线平行，同旁内角互补.
2. 平行线的判定有哪些？
(1)同位角相等，两直线平行； (2)内错角相等，两直线平行； （3）同旁内角互补，两直线平行。
证明:作BC的延长线CD,过点C作CE∥AB,则
∠1=∠A(两直线平行,内错角相等), ∠2= ∠B(两直线平行,同位角相等),
又∵∠1+∠2+∠3=1800 (平角的定义), ∴ ∠A+∠B+∠ACB=1800 (等量代换). 说明：为了证明三个角的和为180°，把问题转化 为一个平角，这种转化思想是数学中的常用方法;
∴ ∠BAC=180°- 38°-62°= 80°（等式的性质）
∵ AD平分∠BAC（已知）
∴ ∠BAD= ∠CAD =
（角平分线的定义）
在△ABD中， ∠B+ ∠BA12D+BA∠CAD12B=188000°4(0三0 角形内角和定理)
∵ ∠B=38°(已知),∠BAD=40°(已证)
∴ ∠ADB= 180°- 38°-40°= 102°
随堂练习
做一做
△ABC内角的一条边与另一条边的 反向延长线组成的夹角，称为△ABC 的外角。如图7-17，∠1是△ABC的
∠ABC的外角。你能在图中画出其它 外角吗？
议一议
在图7-17中，∠1与其它角有什么 关系？你能证明你的结论吗？
三角形的一个外角等于与它不相 邻的两个内角和。
三角形的一个外角大于任何一个 与它不相邻的内角。
情景探究
已知:如图△ABC. 求证:∠A+∠B+∠C=1800.
证明:过C作AB的平行线EF,即EF∥AB,则 ∠ACE=∠A(两直线平行,内错角相等) ∠BCF= ∠B(两直线平行,内错角相等)
又∵∠ACE+∠BCF+∠ACB=1800 (平角的定义) ∴ ∠A+∠B+∠ACB=1800 (等量代换)
例题讲解
例题讲解
随堂练习
拓展提升
1、如图，在△ABC中，CE，BF是两条高，若
∠A=70°，∠BCE=30°，则∠EBF的度数是 20°， ∠FBC的度数是 40° 。
拓展提升
2、如图，在△ABC中，两条角平分线BD和CE 相交于点O，若∠BOC=116°，那么∠A的度数
是 58° 。
课堂小结
情景探究
已知:如图△ABC. 求证:∠A+∠B+∠C=1800.
证明:过点C作CE∥AB,则
∠ACE=∠A(两直线平行,内错角相等) ∠B+∠BCE=1800(两直线平行,同旁内角互补) 即∠B+∠BCA+∠ACE=1800 ∴ ∠B+∠BCA+∠A=1800 (等量代换)
说明：为了证明三个角的和为180°，把问题转化 为互补的两个角求解;
归纳总结
三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于1800.
数学语言 如图，△ABC中 ∠A+∠B+∠C=1800
例题讲解
பைடு நூலகம்
如图，在△ABC中，∠B=38°，∠C=62°AD
是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数。
解： 在△ABC中，∠B+ ∠C+ ∠BAC=180°(三角形内角和定理)
∵ ∠B=38°,∠C=62°（已知）
情景探究
我们知道，三角形内角和等于180°， 你还记得这个结论的探索过程吗？
（1）如图7-12，如果我们只把∠A移 到∠1的位置，你能说明这个结论吗？ 如果不移动∠A，那么你还有什么方法 可以达到同样的效果？
情景探究
情景探究
（2）根据前面给出的基本事实和定理，你能用自己的 语言说一说这一结论的证明思路吗？你能用比较简洁 的语言写出这一证明过程吗？与同伴交流
北师大版八年级 上册数学
第七章 平行线的证明
7.5三角形内角和定理
温故知新
1. 平行线的性质有哪些？
(1)两直线平行，同位角相等. (2)两直线平行，内错角相等. (3)两直线平行，同旁内角互补.
2. 平行线的判定有哪些？
(1)同位角相等，两直线平行； (2)内错角相等，两直线平行； （3）同旁内角互补，两直线平行。