应力与应变间的关系

压应力为负。 z
前面
(b)三个剪应力分量: 若正面(外法线与坐标轴
正向一致的平面)上剪应力矢 的指向与坐标轴正向一致, 或 负面(外法线与坐标轴负向一 致的平面)上剪应力矢的指向 与坐标轴负向一致，则该剪 应力为正, 反之为负。
y
o
z σz
σy
τ yx τ yz τ zy τ zx
上面
τ xy
右侧面
)

y

0.34(1 0.34) 1- 0.342
(30)
-15.5MPa
铜块的主应力为
σ1 σ2 15.5MPa , σ3 30MPa
体积应变和最大剪应力分别为


1 2
E
(1
2
3)

1.95 104
max

1 2
(1


3
)
7.25MPa
（1）概念:构件每单位体积的体积变化, 称为 体积应变用θ表示。
（2）各向同性材料在空间应力状态下的 体积应变
公式推导
2
设单元体的三对平面为主平面, 其 三个边长为d x, d y, d z 变形后的边 长分别为 d x(1+ , d y(1+2 , d z(1+3 , 因此变形后单元体的体 积为:
y

1 E
[ y
( z
x )]
z

1 E
[ z
( x
y )]
(2)剪应变的推导
剪应变 xy , yz ,zx与剪应力xy ,yz ,zx之间的关系为

xy

xy
G

yz

yz
G

zx

zx
G
公式的适用范围 : 在线弹性范围内, 小变形条件下, 各向同性材料。
1

1 E
( 1


2)

2

1 E
(
2

1)
3 E ( 1 2)
材料的三个弹性常数E, G, 间存在如下关系: G E 2(1 v)
例题7-6 已知一受力构件自由表面上的两主应变数值为
1 240106 , 3 160106 。构件材料为Q235钢，其弹
性模量E=210GPa，泊松比=0。3。求该点处的主应力值，
并求该点处另一主应变2的数值和方向。
ε2
物体表面 σ 2 =0
ε1
σ1
ε3
σ3
解： 1, 2, 3与1, 2, 3 一，一对应。
由于构件自由表面，所以主应力2=0。 所以该点为平面应力状态。
由 解得
1

1 E
( 1

x

1 E
x
( y
z)
y

1 E
[
y

( z
x )]
z

1 E
[ z
( x

y )]

xy

xy
G

yz

yz
G

zx

zx
G
公式的适用范围 : 在线弹性范围内,小
变形条件下, 各向同性材 料。
3、 特例
（1）平面应力状态下(假设 Z = 0 )
§7-7 应力与应变间的关系
一、单向应力状态下应力与应变的关系
1

1
E
σ1
σ1
E 为材料的弹性模量，单位为N/m2.
横向线应变2,3与纵向线应变 1 成
正比，比值为泊松比γ，而符号相反。
2

3


1
二、纯剪切应力状态下应力与应变的关系
G 或

G
τ
γ
γ
τ
G 为剪切弹性模量，单位为N/m2.

x

1 E
(
x


y)

y

1 E
(
y


x)

z



E
(
x


y)

xy

xy
G
（2） 广义胡克定律用主应力和主应变表示时 三向应力状态下：
1

1 E
[
1

(
2


3)]

2

1 E
[
2

(
3

1)]
3

1 E
[
3

(
1


2)]
(7-7-6)
平面应力状态下 设 3 = 0, 则

3)
3

1 E
(
3

1)

1

E
1
2
(
1



3)

44.3
MPa

3

E
1
2
(
3



1)

20.3MPa
该点处另一主应变2的数值为

2



E
(
1


3)

34.3106
2是缩短的主应变，其方向必与1和3垂直，即沿构件的 外法线方向。
四、各向同性材料的体积应变
例题9-8 壁厚 t =10mm , 外径 D=60mm 的薄壁圆筒, 在表面上 k 点 处与其轴线成 45°和135° 角即 x, y 两方向分别贴上应变片,然后在 圆筒两端作用矩为 m 的扭转力偶,如图 所示已知圆筒材料的弹性模 量为 E = 200GPa 和 = 0.3 ,若该圆筒的变形在弹性范围内,且 max = 80MPa , 试求k点处的线应变 x ,y 以及变形后的筒壁厚度。
P a
y
z
x
y 解：铜块上截面上的压应力为
y


P A


300 103 0.12
y x
30MPa
x
(b) Z z
1 [ ( )] 0
xE x
y
z
由
1 [ ( )] 0
zE z
x
y
解得
x
z

(1 1 2
y
xm
900
t
450
k
D
y
xm
900
t
450
k
D
y
τ max
x
3
k
τ max
1
解: 从圆筒表面 k 点处取出单元体, 其各面上的应力分量 如图 所示
可求得: y 1 max 80MPa
x 3 max 80MPa
z 2 0
k点处的线应变 x , y 为
1 2 3
1 2 3
将广义胡克定律
1

1 E
[
1

(
2


3)]
2 E1 [ 2 ( 3 1)]
3

1 E
[
3

( 1


2)]
代入得


1 2
E
(1
2
3)
在最一般的空间应力状态下，材料的体积应变
只与三个线应变x ，y， z有关。仿照上述推导有


1 2
E
( x

y
z)
在任意形式的应力状态下, 各向同性材料内一点处的 体积应变与通过该点的任意三个相互垂直的平面上的正 应力之和成正比, 而与剪应力无关。
特例
在平面纯剪切应力状态下：σ1 σ 3 τ xy
代入得


1 2
E
(1
2
3)

1 2
E
( xy

σx
τ xz
x
前面
图中表示的均为正方向
线应变: 以伸长为正,
y
缩短为负。
剪应变: 使直角减小者为正,
增大者为负。
γ xy γ yz γ zx
xOy yOz zox 。
O
z σz
σy
τ yx τ yz τ zy τ zx
上面
τ xy
右侧面
σx
τ xz x
前面
2、各向同性材料的广义胡克定
z
x

1 E
( x
y )

1 E
( max
max
)


(1

E
)

max

5.2 104 (压应变)
y x 5.2 104 (拉应变)
圆筒表面上k点处沿径向 (z轴) 的应变为
z



E
( x
y)



E
( max
max )
律
(1)线应变的推导
σx
在x y z 分别单独存在时, x 方
向的线应变 x 依次为:
σy

x
'
x
E
" y
x
E
"' z
x
E
σz
σy
x
σx
σz
在x y z同时存在时, x方向的线应变x为
x

1 E
x
( y
z)
在x y z同时存在时, y,z方向的线应变为

0
同理可得,圆筒中任一点 (该点到圆筒横截面中心的距离为) 处 的径向应变为
z



E
(
)

0
因此, 该圆筒变形后的厚度并无变化, 仍然为 t =10mm .
dx
3
1
dy
dz
V ' dx(1 1) dy(1 2) dz(1 3)
体积应变为
V 'V
V
dx(1 1) dy(1 2 ) dz(1 3) dxdydz
dxdydz
dxdydz(1 1 2 3) dxdydz
dxdydz
xy

0)
0
σ2 0
可见，材料的体积应变等于零。即在小变形下，剪 应力不引起各向同性材料的体积改变。
例题7-7 边长 a = 0.1m 的铜立方块, 无间隙地放入体积较
大, 变形可略去不计的钢凹槽中, 如图 所示。 已知铜的弹 性模量 E=100GPa, 泊松比 =0.34, 当受到P=300kN 的均布 压力作用时, 求该铜块的主应力. 体积应变以及最大剪应力。
三、复杂应力状态下应力与应变的关系
x y z x y y z z x
y
σy
上面
x y z x y y z z x
1、各向同性材料的广义胡克定律 （1）符号规定
τ yx
τ τ yz
xy
τ τ zy xz
τ zx
右侧面
σx
(a)三个正应力分量：拉应力为正
σz
x
o