高中数学选修12反证法PPT课件
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是与题设矛盾,与假设矛盾,与已知定义、 公理、定理矛盾，自相矛盾等．
18
推理
合情推理 （归纳、类比）
演绎推理 （三段论）
证明
直接证明 （分析法、综合法）
间接证明 （反证法）
数学—公理化思想 19
备选
1、平面内有四个点，没有三点共线，求证：以任意三个点为顶点
的三角形不可能都是锐角三角形 证明：假设以任意三个点为顶点的三角形都是锐角三角形。记四个
7
引例
证明：在一个三角形中至少 有一个角不小于60°.
已知：∠A， ∠ B， ∠ C是△ABC的内角. 求证： ∠ A， ∠ B， ∠ C中至少有一个
不小于60°
8
已知：∠A， ∠ B， ∠ C是△ABC的内角. 求证： ∠ A， ∠ B， ∠ C中至少有一个
不小于60°
证明： 假设 ABC 的三个内角A，B，C都小于60°，
所以
∠ A < 60°，∠B < 60°， ∠C < 60°
∴ ∠A+∠B+∠C<180°
这与 三角形内角和等于180° 相矛盾.
∴ 假设 不能成立，所求证的结论成立.
9
反证法的一般步骤：
(1)假设命题的结论不成立,即假 反设 设结论的反面成立；
(2)从这个假设出发，经过推理 论证，得出矛盾；
归谬
反证法
1
直接证明： 条件p结论q
(1)综合法—— 由因导果 已知条件 … … 结论
(2)分析法—— 执果索因 结论 … … 已知条件
2Байду номын сангаас
小故事 路边苦李
古时候有个人叫王戎，7岁那年 的某一天和小伙伴在路边玩，看见 一棵李子树上的果实多得把树枝都 快压断了，小伙伴们都跑去摘，只 有王戎站着没动。他说：“李子是 苦的,我不吃。”小伙伴摘来一尝， 李子果然苦得没法吃。
3
小伙伴问王戎:“这就怪了!你又没
有吃,怎么知道李子是苦的啊?”
王戎说:“如果李子是甜的,树 长在路边,李子早就没了！李 子现在还那么多,所以啊,肯定 李子是苦的，不好吃!”
4
例: 小华睡觉前，地上是干的，早晨起来， 看见地上全湿了。小华对婷婷说：“昨 天晚上下雨了。”
您能对小华的判断说出理由吗？
6
发生在身边的例子: 妈妈:小华,听说邻居小芳全家这几天都外出旅游. 小华:不可能,我上午还在学校碰到了她和她妈妈呢!
上述对话中,小华要告诉妈妈的命题是什么? 小芳全家没外出旅游. 他是如何推断该命题的正确性的? 小芳全家没外出旅游，假设小芳全家外出旅游， 那么今天不可能碰到小芳，与上午在学校碰到小 芳和她妈妈矛盾，所以假设不成立，所以小芳全 家没外出旅游．
(3) 由矛盾判定假设不正确， 从而肯定命题的结论正确。
结论
10
归缪矛盾： （1）与已知条件矛盾； （2）与已有公理、定理、定义矛盾； （3）自相矛盾。
反证法： 反设——归谬——存真
¬q ¬p
pq
11
适宜使用反证法的情况 （1）结论以否定形式出现 （2）结论以“至多-------，” ，“至少-----”形式出现 （ 3）唯一性、存在性问题 （4） 结论的反面比原结论更具体更容易
故 假 设 不 成 立 ， 结 论 a >b 成 立 。
16
例2.求证： 2 是无理数。
证 ： 假 设2是 有 理 数 ，
则 存 在 互 质 的 整 数 m ， n 使 得 2=m，
∴ m = 2n ∴m2 =2n2
n
∴ m 2 是 偶 数 ， 从 而 m 必 是 偶 数 ， 故 设 m = 2 k （ k ∈ N ）
研究的命题。
12
常见否定用语
是－－－不是
有－－－没有
等－－－不等
成立－－不成立
都是－－不都是，即至少有一个不是
都有－－不都有，即至少有一个没有
都不是－ －部分或全部是，即至少有一个是
唯一－ －至少有两个
至少有一个有（是）－－全部没有（不是）
至少有一个不－－－－－全部都
13
反馈练习
1、写出用“反证法”证明下列命题的第 一步“假设”. (1)互补的两个角不能都大于90°.
(4)那么,由AB=AC,得∠B=∠C≥90°.即
∠B+∠C≥180°.
这四个步骤正确的顺序应是( C)
A.(1)(2)(3)(4) B.(3)(4)(2)(1)
C.(3)(4)(1)(2) D.(4)(3)(2)(1)
15
例1.用反证法证明： 如果a>b>0，那么 a > b
证 ： 假 设 a >b 不 成 立 ， 则 a ≤ b 若a= b， 则 a=b,与 已 知 a>b矛 盾 , 若a< b， 则 a<b,与 已 知 a>b矛 盾 ,
假设互补的两个角都大于90°.
(2)△ABC中,最多有一个钝角
假设△ABC中,至少有两个钝角
14
反馈练习
2、“已知: △ABC中,AB=AC.求证:∠B<90°”.
下面写出了用反证法证明这个命题过程中的四
个推理步骤.
(1)所以∠B+∠C+∠A>180°.这与三角形内角和
定理相矛盾.
(2)所以∠B<90°. (3)假设∠B≥90°.
从 而 有 4 k 2= 2 n 2 ， 即 n 2= 2 k 2
∴n2也是偶数，这 与 m ， n 互 质 矛 盾 ！
所 以 假 设 不 成 立 ， 2 是 有 理 数 成 立 。
17
总结提炼
1.用反证法证明命题的一般步骤是什么? ①反设 ②归谬 ③结论
2.用反证法证题,矛盾的主要类型有哪些? 用反证法在归谬中所导出的矛盾可以
如果昨天晚上没有下雨，那么地上应是干的， 这与早晨地上全湿了相矛盾，所以说昨晚下 雨是正确的。
5
反证法 定义:
在证明一个命题时，人们有时先假设命题不成 立，从这样的假设出发，经过推理得出和已知 条件矛盾，或者与定义、公理、定理等矛盾， 从而得出假设命题不成立是错误的，即所求证 的命题正确.这种证明方法叫做反证法。
点为A、B、C、D。考虑点D在 ABC之内或之外两种情况。 (1)如果点D在 ABC 之内，根据假设，
A
AD ,C AD ,BD都为C 锐角三角形
所以 AD A C D B BD 2C 70
D
C 这与一个周角为360°矛盾。
B 20
演练反馈
1、平面内有四个点，没有三点共线，
证明：以任意三个点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形
(1)如果点D在 ABC 之外，根据假设，
A
D AB , A CD , B CA , B DCD
都是锐角三角形，即
B A A D B B C C AD D 3
18
推理
合情推理 （归纳、类比）
演绎推理 （三段论）
证明
直接证明 （分析法、综合法）
间接证明 （反证法）
数学—公理化思想 19
备选
1、平面内有四个点，没有三点共线，求证：以任意三个点为顶点
的三角形不可能都是锐角三角形 证明：假设以任意三个点为顶点的三角形都是锐角三角形。记四个
7
引例
证明：在一个三角形中至少 有一个角不小于60°.
已知：∠A， ∠ B， ∠ C是△ABC的内角. 求证： ∠ A， ∠ B， ∠ C中至少有一个
不小于60°
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已知：∠A， ∠ B， ∠ C是△ABC的内角. 求证： ∠ A， ∠ B， ∠ C中至少有一个
不小于60°
证明： 假设 ABC 的三个内角A，B，C都小于60°，
所以
∠ A < 60°，∠B < 60°， ∠C < 60°
∴ ∠A+∠B+∠C<180°
这与 三角形内角和等于180° 相矛盾.
∴ 假设 不能成立，所求证的结论成立.
9
反证法的一般步骤：
(1)假设命题的结论不成立,即假 反设 设结论的反面成立；
(2)从这个假设出发，经过推理 论证，得出矛盾；
归谬
反证法
1
直接证明： 条件p结论q
(1)综合法—— 由因导果 已知条件 … … 结论
(2)分析法—— 执果索因 结论 … … 已知条件
2Байду номын сангаас
小故事 路边苦李
古时候有个人叫王戎，7岁那年 的某一天和小伙伴在路边玩，看见 一棵李子树上的果实多得把树枝都 快压断了，小伙伴们都跑去摘，只 有王戎站着没动。他说：“李子是 苦的,我不吃。”小伙伴摘来一尝， 李子果然苦得没法吃。
3
小伙伴问王戎:“这就怪了!你又没
有吃,怎么知道李子是苦的啊?”
王戎说:“如果李子是甜的,树 长在路边,李子早就没了！李 子现在还那么多,所以啊,肯定 李子是苦的，不好吃!”
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例: 小华睡觉前，地上是干的，早晨起来， 看见地上全湿了。小华对婷婷说：“昨 天晚上下雨了。”
您能对小华的判断说出理由吗？
6
发生在身边的例子: 妈妈:小华,听说邻居小芳全家这几天都外出旅游. 小华:不可能,我上午还在学校碰到了她和她妈妈呢!
上述对话中,小华要告诉妈妈的命题是什么? 小芳全家没外出旅游. 他是如何推断该命题的正确性的? 小芳全家没外出旅游，假设小芳全家外出旅游， 那么今天不可能碰到小芳，与上午在学校碰到小 芳和她妈妈矛盾，所以假设不成立，所以小芳全 家没外出旅游．
(3) 由矛盾判定假设不正确， 从而肯定命题的结论正确。
结论
10
归缪矛盾： （1）与已知条件矛盾； （2）与已有公理、定理、定义矛盾； （3）自相矛盾。
反证法： 反设——归谬——存真
¬q ¬p
pq
11
适宜使用反证法的情况 （1）结论以否定形式出现 （2）结论以“至多-------，” ，“至少-----”形式出现 （ 3）唯一性、存在性问题 （4） 结论的反面比原结论更具体更容易
故 假 设 不 成 立 ， 结 论 a >b 成 立 。
16
例2.求证： 2 是无理数。
证 ： 假 设2是 有 理 数 ，
则 存 在 互 质 的 整 数 m ， n 使 得 2=m，
∴ m = 2n ∴m2 =2n2
n
∴ m 2 是 偶 数 ， 从 而 m 必 是 偶 数 ， 故 设 m = 2 k （ k ∈ N ）
研究的命题。
12
常见否定用语
是－－－不是
有－－－没有
等－－－不等
成立－－不成立
都是－－不都是，即至少有一个不是
都有－－不都有，即至少有一个没有
都不是－ －部分或全部是，即至少有一个是
唯一－ －至少有两个
至少有一个有（是）－－全部没有（不是）
至少有一个不－－－－－全部都
13
反馈练习
1、写出用“反证法”证明下列命题的第 一步“假设”. (1)互补的两个角不能都大于90°.
(4)那么,由AB=AC,得∠B=∠C≥90°.即
∠B+∠C≥180°.
这四个步骤正确的顺序应是( C)
A.(1)(2)(3)(4) B.(3)(4)(2)(1)
C.(3)(4)(1)(2) D.(4)(3)(2)(1)
15
例1.用反证法证明： 如果a>b>0，那么 a > b
证 ： 假 设 a >b 不 成 立 ， 则 a ≤ b 若a= b， 则 a=b,与 已 知 a>b矛 盾 , 若a< b， 则 a<b,与 已 知 a>b矛 盾 ,
假设互补的两个角都大于90°.
(2)△ABC中,最多有一个钝角
假设△ABC中,至少有两个钝角
14
反馈练习
2、“已知: △ABC中,AB=AC.求证:∠B<90°”.
下面写出了用反证法证明这个命题过程中的四
个推理步骤.
(1)所以∠B+∠C+∠A>180°.这与三角形内角和
定理相矛盾.
(2)所以∠B<90°. (3)假设∠B≥90°.
从 而 有 4 k 2= 2 n 2 ， 即 n 2= 2 k 2
∴n2也是偶数，这 与 m ， n 互 质 矛 盾 ！
所 以 假 设 不 成 立 ， 2 是 有 理 数 成 立 。
17
总结提炼
1.用反证法证明命题的一般步骤是什么? ①反设 ②归谬 ③结论
2.用反证法证题,矛盾的主要类型有哪些? 用反证法在归谬中所导出的矛盾可以
如果昨天晚上没有下雨，那么地上应是干的， 这与早晨地上全湿了相矛盾，所以说昨晚下 雨是正确的。
5
反证法 定义:
在证明一个命题时，人们有时先假设命题不成 立，从这样的假设出发，经过推理得出和已知 条件矛盾，或者与定义、公理、定理等矛盾， 从而得出假设命题不成立是错误的，即所求证 的命题正确.这种证明方法叫做反证法。
点为A、B、C、D。考虑点D在 ABC之内或之外两种情况。 (1)如果点D在 ABC 之内，根据假设，
A
AD ,C AD ,BD都为C 锐角三角形
所以 AD A C D B BD 2C 70
D
C 这与一个周角为360°矛盾。
B 20
演练反馈
1、平面内有四个点，没有三点共线，
证明：以任意三个点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形
(1)如果点D在 ABC 之外，根据假设，
A
D AB , A CD , B CA , B DCD
都是锐角三角形，即
B A A D B B C C AD D 3