《计算机数值方法教学课件》数值计算方法绪论共33页
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这种概括一方面能很好地反映客观规律， 另一方面也存在误差。我们把数学模型与实际
问题之间的误差称为模型误差。
例1：自由落体问题。我们用
s t 1 gt2
2
来描述自由落体下落时，距 离与时间的关系。
若自由落体在时间t的实际下落 距离为：S% t
则 s%t s(t ) 就是模型误差。
t0
s% t
t1
时间复杂性
秦九韶算法， 1247年（Horner算法，1819）
P (x )= a n x n+ a n -1 x n -1 + ...a 1 x + a 0 = ( a n x n - 1 + a n - 1 x n - 2 + a n - 2 x n - 3 + ...+ a 1 )x + a 0 = ( ( a n x + a n - 1 )x + a n - 2 )x + ...+ a 1 )x + a 0
授课内容安排
第一章 线性代数方程组数值解法 第二章 常微分方程数值解法 第三章 偏微分方程的数学性质 第四章 有限差分法的基本概念 第五章 线性偏微分方程的有限差分法 第六章 流体力学控制方程的有限差分法
教材I
《计算机数值方法》.施吉林,刘淑珍,陈桂芝 编. 高等教育出版社,第三版,2009.
教材II
2
例2：用带毫米刻度的直尺测量某正方形的边长。
012 3 如图示，则该正方形的边长为 2.74 cm。误差小 于 0.05 cm.
(3) 方法误差（Truncation Error）
在解决实际问题时，数学模型往往很复杂， 因而不易获得解析解。这就需要建一套行之有效 的近似方法或数值方法。模型准确解与数值方法
《计算流体力学基础及其应用》John D. Anderson 著，吴颂平 刘赵淼 译. 机械工业出版社，2019.
与教材对应的内容安排
第一章 线性代数方程组数值解法（教材I第2、6章） 第二章 常微分方程数值解法（教材I第5章） 第三章 偏微分方程的数学性质（教材II第3章） 第四章 有限差分法的基本概念（教材II第4章） 第五章 线性偏微分方程的有限差分法（教材II第6章） 第六章 流体力学控制方程的有限差分法（教材II第2、5、9章）
4 《计算方法典型例题与解法》. 高培旺,雷勇军. 国防科技大学出 版社,2019.
5 《计算方法典型题分析解集》. 封建湖,车刚明.西北工业大学出 版社, 2019.
学习要求
预修课程：高等数学、线性代数、空气动力学、 计算机程序设计。
要 求：前6次上课带计算器。 作 业：每章作业交一次。 考试成绩：考试笔试70分＋编程大作业30分。
(2) 观测误差 (Observation Error)
由于仪器的精度、试验手段、环境变化，以 及人的工作状态和能力等因素的影响，而使测量数 据带有误差。把这种因测量因素而引起的原始数据
的不准确称为 观测误差（测量误差）。
例如在测量物体长度和温度等物理量时，均会 存在观测误差（测量误差）。
在例1公式 s t 1 gt 2 中，g, t 都包含有观测误差。
P(x) = vn
空间复杂性
一个n维的对角线矩阵，其元素为4字节整型数据：
a11 0 ... 0
0
a 22 ...
0
... ... ... ...
0
0
...
a
nn
按行列顺序存放，需要n2×4字节的存储空间； 如果只存储对角线，需要n×4字节。
2 数值计算的误差
现
模型 误差
研究 对象
Hale Waihona Puke Baidu
k0
x2k1
2k1
!
方法（截断）误差为：
sin (x)k9 0 1 k2 k x2 k 1 1 !k 1 0 1 k2 k x2 k 1 1 !
(4) 舍入误差（Round-off Error） 由于计算机的字长有限，在计算机上运算时
只能用有限位数字进行运算引起的误差称为“舍 入误差”； 例4: 设一台计算机仅能表示6位十进制, 则在该
令： v1=anx+an-1
v 2 = ( ( a n x + a n - 1 )x + a n - 2 v 1 x a n - 2
……
v k = ( ( a n x + a n - 1 ) x + a n - 2 ) x + . . . + a n - k + 1 ) x + a n - k v k - 1 x a n - k
绪论
1 概述 2 数值计算的误差
2.1 误差的来源与分类 2.2 误差基本概念
3 误差定性分析
3.1 病态问题与条件数 3.2 计算方法的数值稳定性 3.3 避免误差危害的若干原则
9
1 概述
计算方法是研究适合于在计算机上使用的 实际可行、理论可靠、计算复杂性好的数值 方法。具体说就是 ：
第一，面向计算机; 第二，要有可靠的理论分析; 第三，要有良好的复杂性及数值试验。
基本内容
针对航空航天领域涉及的多种数值计算方法，参 考 MIT 课 程 《Computational Methods in Aerospace Engineering》内容设置。课程内容非 常丰富。包括线性方程组数值解法、常微分方程数 值解法、偏微分方程的数学性质、有限差分法、有 限元法、概率仿真技术等。
教材I的参考书目
1 《计算方法引论》,徐萃薇.高等教育出版社,1985.
2 《数值分析》,李庆扬,王能超,易大义.华中理工大学出版社, 1986
3《 Numerical Analysis 》, Richard L. Burden, J. Douglas Faires. 高等教育出版社，第七版.
教材I的参考书目
数学模型 的建立
方法 误差
实世界
测量 数据
测量 误差
计算方法 的构成
数值运算 的执行
舍入 误差
结果
2.1 误差的来源与分类
(1) 模型误差 (Model Error) 用数学模型描述实际问题时，往往只抓住本
质的、起主导作用的方面，而忽略非本质的次 要因素，将问题理想化（简化与近似）之后才 进行数学概括。
的准确解之间的误差称为 “方法误差”。
很多时候是用有限过程代替数学模型无限过
程时所产生的误差，所以也叫 “截断误差”。
例3：利用收敛无穷级数的部分和作为无穷级数
sin(x)的逼近，这样就会产生截断误差。
k
sinx 1
k0
x2k1
2k1
!
具体计算时，只能取有限项计算，如取前10项，则有
9
k
sin(x) 1
问题之间的误差称为模型误差。
例1：自由落体问题。我们用
s t 1 gt2
2
来描述自由落体下落时，距 离与时间的关系。
若自由落体在时间t的实际下落 距离为：S% t
则 s%t s(t ) 就是模型误差。
t0
s% t
t1
时间复杂性
秦九韶算法， 1247年（Horner算法，1819）
P (x )= a n x n+ a n -1 x n -1 + ...a 1 x + a 0 = ( a n x n - 1 + a n - 1 x n - 2 + a n - 2 x n - 3 + ...+ a 1 )x + a 0 = ( ( a n x + a n - 1 )x + a n - 2 )x + ...+ a 1 )x + a 0
授课内容安排
第一章 线性代数方程组数值解法 第二章 常微分方程数值解法 第三章 偏微分方程的数学性质 第四章 有限差分法的基本概念 第五章 线性偏微分方程的有限差分法 第六章 流体力学控制方程的有限差分法
教材I
《计算机数值方法》.施吉林,刘淑珍,陈桂芝 编. 高等教育出版社,第三版,2009.
教材II
2
例2：用带毫米刻度的直尺测量某正方形的边长。
012 3 如图示，则该正方形的边长为 2.74 cm。误差小 于 0.05 cm.
(3) 方法误差（Truncation Error）
在解决实际问题时，数学模型往往很复杂， 因而不易获得解析解。这就需要建一套行之有效 的近似方法或数值方法。模型准确解与数值方法
《计算流体力学基础及其应用》John D. Anderson 著，吴颂平 刘赵淼 译. 机械工业出版社，2019.
与教材对应的内容安排
第一章 线性代数方程组数值解法（教材I第2、6章） 第二章 常微分方程数值解法（教材I第5章） 第三章 偏微分方程的数学性质（教材II第3章） 第四章 有限差分法的基本概念（教材II第4章） 第五章 线性偏微分方程的有限差分法（教材II第6章） 第六章 流体力学控制方程的有限差分法（教材II第2、5、9章）
4 《计算方法典型例题与解法》. 高培旺,雷勇军. 国防科技大学出 版社,2019.
5 《计算方法典型题分析解集》. 封建湖,车刚明.西北工业大学出 版社, 2019.
学习要求
预修课程：高等数学、线性代数、空气动力学、 计算机程序设计。
要 求：前6次上课带计算器。 作 业：每章作业交一次。 考试成绩：考试笔试70分＋编程大作业30分。
(2) 观测误差 (Observation Error)
由于仪器的精度、试验手段、环境变化，以 及人的工作状态和能力等因素的影响，而使测量数 据带有误差。把这种因测量因素而引起的原始数据
的不准确称为 观测误差（测量误差）。
例如在测量物体长度和温度等物理量时，均会 存在观测误差（测量误差）。
在例1公式 s t 1 gt 2 中，g, t 都包含有观测误差。
P(x) = vn
空间复杂性
一个n维的对角线矩阵，其元素为4字节整型数据：
a11 0 ... 0
0
a 22 ...
0
... ... ... ...
0
0
...
a
nn
按行列顺序存放，需要n2×4字节的存储空间； 如果只存储对角线，需要n×4字节。
2 数值计算的误差
现
模型 误差
研究 对象
Hale Waihona Puke Baidu
k0
x2k1
2k1
!
方法（截断）误差为：
sin (x)k9 0 1 k2 k x2 k 1 1 !k 1 0 1 k2 k x2 k 1 1 !
(4) 舍入误差（Round-off Error） 由于计算机的字长有限，在计算机上运算时
只能用有限位数字进行运算引起的误差称为“舍 入误差”； 例4: 设一台计算机仅能表示6位十进制, 则在该
令： v1=anx+an-1
v 2 = ( ( a n x + a n - 1 )x + a n - 2 v 1 x a n - 2
……
v k = ( ( a n x + a n - 1 ) x + a n - 2 ) x + . . . + a n - k + 1 ) x + a n - k v k - 1 x a n - k
绪论
1 概述 2 数值计算的误差
2.1 误差的来源与分类 2.2 误差基本概念
3 误差定性分析
3.1 病态问题与条件数 3.2 计算方法的数值稳定性 3.3 避免误差危害的若干原则
9
1 概述
计算方法是研究适合于在计算机上使用的 实际可行、理论可靠、计算复杂性好的数值 方法。具体说就是 ：
第一，面向计算机; 第二，要有可靠的理论分析; 第三，要有良好的复杂性及数值试验。
基本内容
针对航空航天领域涉及的多种数值计算方法，参 考 MIT 课 程 《Computational Methods in Aerospace Engineering》内容设置。课程内容非 常丰富。包括线性方程组数值解法、常微分方程数 值解法、偏微分方程的数学性质、有限差分法、有 限元法、概率仿真技术等。
教材I的参考书目
1 《计算方法引论》,徐萃薇.高等教育出版社,1985.
2 《数值分析》,李庆扬,王能超,易大义.华中理工大学出版社, 1986
3《 Numerical Analysis 》, Richard L. Burden, J. Douglas Faires. 高等教育出版社，第七版.
教材I的参考书目
数学模型 的建立
方法 误差
实世界
测量 数据
测量 误差
计算方法 的构成
数值运算 的执行
舍入 误差
结果
2.1 误差的来源与分类
(1) 模型误差 (Model Error) 用数学模型描述实际问题时，往往只抓住本
质的、起主导作用的方面，而忽略非本质的次 要因素，将问题理想化（简化与近似）之后才 进行数学概括。
的准确解之间的误差称为 “方法误差”。
很多时候是用有限过程代替数学模型无限过
程时所产生的误差，所以也叫 “截断误差”。
例3：利用收敛无穷级数的部分和作为无穷级数
sin(x)的逼近，这样就会产生截断误差。
k
sinx 1
k0
x2k1
2k1
!
具体计算时，只能取有限项计算，如取前10项，则有
9
k
sin(x) 1