函数概念学习困难原因分析及教学策略研究

出 了 函数 的 定 义 ：对 ａ ≤ｂ 的 每一 个 Ｘ ，ｙ 有 完 全确 定 ≤ｘ 间 值 总 的值 与 之 对 应 ，则ｖ 的函 数 。 是ｘ 第 五 次 扩 张 是 在 康 托 尔 创 立 集 合 论 之 后 ，在 此 基 础 上 ， 近 世 代 数 定 义 的产 生 。在 近 代 集 合 论 的 基 础 上 ， 函数 定 义 为 ：设 Ｍ Ｎ 两 个 集 合 ，ｆ 一 个 法 则 。若 对 集 合 Ｍ中 和 是 是
发 展 中也 发 挥 着 重 要 的 作 用 。 但 是 ，函 数 概 念 也 是 学 生 学
习 有 困难 的 一 个 概 念 ，是 什 么 原 因 引起 的？ 教 学 中应 采 取 怎样 的教 学 策 略 呢 ？ 这 是 值得 研 究 的一 个 课 题 。
一
、
函数 概 念 学 习困 难 的原 因 分 析
量 都 可 以 叫做 ｘ 函数 。另 外 ，大 数 学 家 欧拉 在他 的 《 穷 的 无
帮 助 。实 际 上 ， “ 量 ” 的关 键 在 于 “ ” ，而 “ ” 在 变 变 变
现 实 中 与 时 空 相 关 ，但 数 学 中 对 时 、 空 是 没 有 定 义 的 ，因
Fra Baidu bibliotek
小分析 引论 》中给 出了这 样的 函数 定义 ： “ 变量 的函数是
的每个元素ｘ ，由法 则 ｘ 有 集 合Ｎ中的 确 定 元 素Ｙ 之 对 应 ， 总 与 则 称伪 定 义在 集 合 Ｍ上 的一 个 函数 。
识 有 直 接 的 联 系 ，函 数 也 是 微 积 分 学 研 究 的 对 象 。 函数 知
识 的学 习 对 学 生 思 维 能 力 的 发 展 具 有 重 要 意 义 ，在 学 生 的
一
此 在 引 入 函 数 概 念之 前 ，需 要 完 成 从 常 量 到 变量 的转 变 。
个 解 析 表 达 式 ，它 是 由 这 个 变 量 和 一 些 常 量 以 任 何 方 式
３由函 数 概 念 表 示 方 式 的 多 样 化 及 符 号 的 抽 象 性 所 引 ．
起 。 函 数 概 念 表 示 方 法 具 有 多 样 性 ， 它 可 以 用 图 像 、表 格 、对 应 解 析 式 等 方 法 表 示 ，从 每 一 种 表 示 中都 可 以 独 立
中 图分 类 号 ：Ｇ６ ３５ 文 献 标 识 码 ：Ａ 文 章 编 号 ：１ ７ ０ ６ ２ １ ）２ — ０ ３ ０ ２． ６ 卜 ５ ８（ ０ １ ４ ０ ４ — ４
函 数 概 念 是 一 个 在 历 史 上 演 进 了 两 百 余 年 的 数 学 概
的生 动 过 程 。
念 ，是 一个学 生在初 中、高中直 至大学都要 学习 的重要 概
“ 量 说 ” 。 后 来 由 于 积 分 学 的 产 生 与 发 展 ， 函 数 概 念 一 变
共 经 过 了五 次 扩 张 。
争论不 休 。因此 ，函数概 念必然是 一个学 习起来 比较 困难
的 概 念川 。 ２由学 生 对 变 量 的 认识 不 足所 引起 。 “ 量 ”概 念 又 具 － 变
１由函 数 概 念不 断深 化 所 引起 。 函数 概 念 的 演 进 有 两 百 ．
函 数 概 念 共 经 过 了 以 上 五 次 扩 展 ，最 后 才 真 正 建 立 了 清 晰 、准 确 、 完 美 的 函 数 定 义 ，从 而 结 束 了 长 达２ ０ 年 的 ０多
余 年 的历 史 ，它 经 历 了 萌 芽 、 产 生 和发 展 的过 程 。 在 其 萌 芽 时 期 ，用 “ 函数 ” 表 示 依 赖 于 一 个 变 量 的 量 ，那 时 将 这 种 用 函数 表 示 与 已 知 变 量 同 时 变 动 的 变 数 ， 称 为 函 数 的
有 它 本 身 的 复 杂 性 ，有 的教 师 将 “ 量 ”解 释 为 “ 化 的 变 变
量 ” ， 显 然 这 是 同 义 反 复 ， 于 学 生 理 解 变 量 的 意 义 并 没 有
第 一 次 扩 张 主 要 是 解 析 扩 张 。 瑞 士 数 学 家 约 翰 ・ 努 伯
利 给 出 了 函数 新 的 定 义 ： 由 变量 Ｘ 常 量 用 任 何 方 式 构 成 的 和
教 学 实践 表 明 ， 函数 概 念 是 一 个 学 生 学 习起 来 比较 困难 的 概 念 。 因此 ， 对 函 数 概 念 学 习 困难 的 原 因 以及 针 对 这 些 困难 应 采 取 怎 样 的 教 学 策略 等 问题 进 行研 究 是 具 有 重 要 意 义 的 。
关 键 词 ：函数 概 念 ； 变量 ； 学 习 困难 ；原 因 ；教 学 策 略
值 域 表 示 的 多 样 性 ，可 以 用 集 合 、区 间 、不 等 式 等 不 同 形 式 表 示 。 函 数 概 念 之 所 以 比 其 他 数 学 概 念 复 杂 ，是 由 于 它
≮科 研 在 绒
；
… … — — 一 ， 一
函数概念学 习困难原 因分析及教学策略研 究
郑 小娟
（ 江省衢州市衢 江 区杜泽镇初 中，浙 江 衢 州 ３ ４ １ 浙 ２ ０ ７）
摘 要 ：函 数 概 念 是 数 学 中最 重 要 的基 本概 念 之 一 ， 函数 也 是 中 学数 学 的核 心 内容 ，是 代 数 的 “ 带 ” ， 纽
组 成 的 。 ” 这 两 种 定 义 当 中 的 “ 何 方 式 ”都 包 括 了 代 数 任
式 和 超 越 式 。 总 之 ，这 次 扩 张 占主 要 地 位 的 观点 是 把 函 数 理 解为 一 个 解 析 表 达式 。
地抽象 出 函数概 念来 。另外 ，该 多样性还 表现在定 义域 、
念 ，是 中学 数 学 的 核 心 内 容 ，是 代 数 的 “ 带 ” 。 代 数 纽 式 、方 程 、不 等 式 、数 列 、排 列 组 合 、极 限 等 都 与 函 数 知
函数概 念的第 四次扩张 ，是科学 函数的定义 进入精确
化 的 阶 段 。德 国数 学 家 狄 利 克 雷 提 出 了 “ 应 说 ” ，并 给 对