典型周期信号的傅里叶级数

d
X(j)ejt
X(jk0)ej0t
x(t)21 X(j)ejtd1
0
2 T
k 0
0
于是,对非周期信号,有傅里叶变换对:
x(t)
1
2
X( j)ejtd 1
反
X( j)
x(t)e jtdt
2正
(e j t )
复 杂 信 号 ＝ 系 数 （ ） 基 本 信 号 （ ）
系 数 （ ） ＝ 复 杂 信 号 （ 与 ） 基 本 信 号 （ ）
F(j)ejtd
F( ) f(t)ejtdt
也是常用的形式
傅立叶变换的理解
周期信号的叶 指级 f数 T(t数 )型 Fn傅 ejn1t表 里明，
n
周期信号可限 以多 分个 解 n 频 1、 为 复率 无 振为 F幅 n的为 指
数分 ejn1t量 的离散和；
非周期信 傅号 里的 叶变 f(t)换 1
周期矩形脉冲信号的三角形式傅里叶级数为
f(t)E T 1 2 T E 1n 1Sa(n 2 1 )cosn1t
F n1 2(anjn b )1 2anE T 1 S(n a 21 )
f(t)的指数形式的傅里叶级数为
f(t)E S(an 1 )ejn 1t
T1 n
2
2、频谱 c0
E T1
规律收. 敛
例1：试将图示周期矩形脉冲信号 展开为(1)三角型和(2)指数型傅里 叶级数。
T
f (t)
A
T
22
t
解(： 1) f (t)是偶函数，故只含 数有 项常 和余弦项。
T
a0T 1
2 T
f(t)d t 2 T
2AdtA
0
T
2 T
an
2 T
2 T
f (t)cosn0tdtT4
2 Acosn0tdt
四、周期半波余弦信号
E f (t)
0T
4
T
t
EE
4
4
f (t) 2 [cos(1t) 3 cos(21t) 15 cos(41t) ...]
E 2E 1
n
n1 (n2
1)
cos( 2
) cos(n1t)
频谱只含有直流、 基波和偶次谐波频
2 其中1 T1
率分量，谐波以幅 度1/n2规律收敛
与周期信号频谱不混淆 的情况下也称频谱.
2.周期信号频谱是离散的 , 非周期信号是连续的 .
信 号 在 时 域 :连 续 ,周 期 频 谱 在 频 域 :离 散 ,非 周 期
信 号 在 时 域 :连 续 ,非 周 期 频 谱 在 频 域 :连 续 ,非 周 期
周期信号
T
2T
T T
2
非周期信号
x%( t )
0T 2
此信号可以看成是由一
个非周期信号延拓而成
0
2 T
T
2T t
x (t)
此信号可以看成是一个 周期信号的一个周期
0
t
x%( t
)
k
xke
jk 0t
T 2
0
1
x
k
1 T
T
2 T
x%(t )e
jk 0t
2
x% (t)
1
2
Txke
k
jk0t
4
E Fn
T1
2
1 2 1
4
➢ 各谱线的幅度按 Sa ( n ) 包络线变化。过零点
为： 2m
T1
➢ 主要能量在第一过零点内。主带宽度为：
B 2或Bf
1 τ
若 1 T1 4
则 12T1 24 14(2)
2E cn
T1
E
T1
2
12 1
4
因此，第一个零值点之内或两个相邻的零值点之间有3根谱线。
E f (t)
T1
T1 2
2
2
T1 2
t
T1
一个周期 [T1 , T1 ]内 22
E f (t)
0
(t (t
)
2
)
E[u(t
)
2
u(t
)]
2
2
1、傅立叶级数
T1
E f (t)
T1 2
2
2
T1 2
t
T1
bn 0
2 T1
2 E
a0T1 02
f(t)d t 2Ed t
复习
4、函数的对称性与傅里叶系数的关系
周期偶函数只含直流和 ancons1t
周期奇函数只含正弦项 奇谐函数的偶次谐波的系数为0，只含有奇次谐波分量。 5 、吉布斯现象:当选取的傅里叶项数越多,合成波形中出现的峰起越靠近f(t)的不 连续点。当项数N很大时,峰起值趋于一个常数,约为总跳变值的9%,并从不连续 点开始以起伏振荡的形式逐渐衰减下去。无论N多大，这个超量不变。 但是在不连续点附近波峰宽度趋近于零，所以波峰下面积也趋近于零，因而 在能量的意义下部分和的波形收敛于原波形。
吉布斯现象MATLAB程序集\LT3_1.m
本次课的主要内容
3.3 典型周期信号的傅里叶级数
周期矩形脉冲信号 周期锯齿脉冲信号 周期半波余弦信号 周期全波余弦信号
3.4 傅里叶变换
周期三角脉冲信号
频谱密度函数的概念 傅立叶变换对 傅立叶存在的条件
3.3 典型周期信号的傅里叶级数
一、周期矩形脉冲信号
T1 0
T1
a n T 4 10 T 2 1f( t)c o s n 1 td t T 4 10 2 E c o s n 1 td t 2 T E 1S a ( n 2 1) c n
周期矩形脉冲信号的三角形式傅里叶级数为
f(t)E T 1 2 T E 1n 1Sa(n 2 1 )cosn1t
f (t)
E
E cn
2
T1
f (t)
E
E
t
4
2
2T1
1
4
E cn
4
E
8
t
1
2
T1
2T1
( 1 :) 主峰 A T T 1 ； 高 过度 2 零 ； 谱 点线 0 1 2 T间 不 ； 隔 变
T1
对称矩形脉冲信号的傅里叶级数
f (t)
E
f (t) E/2
T1
t
T1
2T1
T1 4
三、周期三角脉冲信号
f (t) E
t
T1 T 1 0
T1
T1
2
2
f (t) E2 4E2 [cos(1t)312 cos3(1t)512 cos5(1t)...]
E 4E 1
2
n 2 n1 2
sin2(n2)cosn(1t)
1 频谱只含有直 基流 波,及奇次谐波谐分波量幅.度n2以规律收敛
X(j) 2 T 1 连续时间的
<一般规律>
3.4 傅里叶变换
周期信号
2
T
X(j)k0
x(t)
1
2
Txke jk0t
k
0
Txk x(t)e jk0tdt
T
0 0
T
非周期信号
x(t)
1
2
X( j)ejtd
X( j)
x(t)e jtd
X(jk0)X(j)k0
3.4 傅里叶变换
复习
上次课主要介绍了周期信号的傅立叶级数分 析,介绍了三角形式和指数形式的傅立叶级 数表示方法,两种频谱的结构特点等了分析, 再对偶函数,奇函数,奇谐函数的级数特点作 为分析.最后介绍了吉布斯现象.
复习
1、周期信号两种三角函数形式的傅里叶级数
f (t ) a 0 (a n cos n 1t bn sin n 1t ), 1 2直ff、流((指tt分))数量形cd0式0:a的n 0 n 1傅1cd立Tn1n1c叶stot0级i0 nTs数1nn((f(1t1tt) dt nn))
E f (t)
五、周期全波余弦信号
f(t)E|cos0t)(|
T 0 T
t
2
2E 4E
4E
4
f (t)
3
cos( t)
0
15
cos(2 t)
0
35
cos(40t)
...]
2E
4E
(1)n
n1
1
1 (4n2 1)
cos(2n0t)
2 其中0
T0
频谱包含直流分 0的量基及波和各次谐; 波分量
或者说直流分 0的 量偶 及次谐波.谐分波量幅度 n12以
2
T1
单 余正3 边 弦弦、f分分周(频 t量量期)单 单 谱 幅幅 函边 边 度度数n 相 幅 的 nF 1频位 :度 :neba其谱nn频 j频 c中n：n n1~~t谱 T谱 Tnnn22 1 1 11)（ )（ ttt0t1000 ,2F TT11,n.双 .f f..((T t1 t边 1 ))sctit0 on0频 sTn1双 双 nf谱 (1t边 边 1t)dtedt t幅 相 jn1t度 位 dt频 F 频 nn ~~谱 谱 nn11（ （ ))
cn2T E 1S(n a 21 )2 n Esi(n n 21 )
Fn
E
T1
Sa(n1)
2
2E cn
T1
E
T1
2
12 1
4
2E cn
T1 E
T1
12 1 2
4
n
2
4
E Fn
T1
2
1 2 1
4
E Fn
T1
2
1 2 1
4
n
4
2
2
4
E f (t)
频谱分析表明
T1
T1 2
2
cn
E
1
E cn
3 1
7 1
5 1
1
3 1
5 1 7 1
n
1
3 1
5 1
7 1
二、周期锯齿脉冲信号
f (t)
E
2
T1
2
T1
0
t
2
E
2
f(t)E[sin(1t)12sin2(1t)13sin3(1t)14sin4(1t)...]
E (1)n1
n1
1s n
inn(1t)
频 谱 只 含 有 正 谐弦 波分 幅量 1度 规 .以 律 收 敛 . n
T1 4
E/2
T1
t
周期矩形脉冲信号: f(t)E T 12 T E 1 n 1S(a n2 1)co ns 1 t
令 a00, T12，则有
f(t)En 1S(an2)cons1t
2E(co1st1 3co3 s1t1 5co5 s1t)
f( t) 2 E (c1 t o 1 3 s c3 o1 ts 1 5 c5 o1 ts )
一般情况： 若 1 则 T1 n
第一个零值点之内或两个相邻的零值点之间有n-1根谱线。
3、频谱结构与波形参数的关系（T1, ）
f (t)
E
E cn
2
T1
t
2T1
E
2
4
1
4
➢若 不变，T 1 扩大一倍，即 T14 T18
f (t)
E
E cn
4 E
2
t
T1
8
1
4
➢若 T 1 不变， 减小一半，即 T14 T18
的相似性
于是,有另一种计算傅里叶级数系数的方法:
xk
1 T
X(
3
jk0)
1X(j)
T
k0
0
2 T
x
(t)
F
X ( j)
周期
x(t)的频谱
非周期信号的傅里叶变换
周期信号的傅里叶级数的系数
二、非周期信号的傅立叶变换
F(j)f(t)ejtdt
正变换
f(t)21 F()ejtd
反变换
另外:
f(t)21
2
T1 2
t
T1
2E cn
T1
E
T1
2
12 1
4
E Fn
T1
2
1 2 1
4
➢ 离散频谱，谱线间隔为基波频率，脉冲周期
越大，谱线越密。
➢ 各分量的大小与脉幅成正比，与脉宽成正比， 与周期成反比。
E f (t)
频谱分析表明
T1
T1 2
2
2
T1 2
t
T1
2E cn
T1
E
T1
2
12 1
F(j)ejtd 表明，
2
非周期信号可无 以穷 分多 解个 为频 ，率复为振幅 F(为 )d 2
的虚指数ej分 t 的 量连续和（积分）。
即非周期信号在所有频率上都具有分量。
傅立叶变换的理解
周期、非周期信号两者所不同的是： 周期信号：频谱是离散的，且各频率分量的复振 幅 为Fn有限值； 非周期信号 频谱是连续的，且各频率分量的复振 幅 F为(无) d限小量。
0
2
4A sinn(0) 2Asinn(0)
f(t)n 0A T T2n 2Asin nn (20)co 2n s0t n1
f (t)
A
(2) 指数型傅立叶级数
T
T 22
T
FnT 1
2 f(t)ej
T
n0td t 1
T
2Aej n0tdt
2
2
T Aejjn n 00t 222TAsin nn (2 00)A Ts叶变换
一 傅立叶级数到傅立叶变换
X ( j )
xk
2sin(k0T1) k0T
Txk
2sin(k0T1) k0
2sin(T1)
k0
周期信号
1
T
0
2 T
0
Fs
2 sin T1
2 TX 1 j|k0 of
k0
3.4 傅里叶变换
T,02T0
x(t)
1
非周期信号
T1 T 1
t
F s 2 sin T1
0
Txk
x(t)e jk0tdt
定x % (义t): X2 (1jk ) X ( jkx(t0))e e X jk (j j0 ttd)te20 jt|k0xXk(jT1)X面(k积j0) Xk(j0k30T1)XT(xjkk0)
0
T0
x%(t ) x (t
0
)
令sinx Sa(x) 称为抽样函数或取样函数
x
f(t)
F nej
n0tA
T
S(a n0)ej n0t
2
n
n
t
3.4 傅里叶变换
傅立叶的两个最主要的贡献——
➢ “周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的 加权和”——傅里叶的第一个主要论点
➢ “非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示” ——傅里叶的第二个主要论点
2
所以，对非周期信号来说，仅仅去研究那无限小 量是没有意义的，其频谱不能直接引用复振幅的概 念。
频谱函数F(ω)的物理意义
1.F
( )
lim
T1
T1 Fn