高中函数解题技巧方法总结

数学函数知识点总结

1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。

{}{}{}C B A x y y x C x y y B x y x A 、、，，，如：集合lg |),(lg |lg |======

中元素各表示什么

A 表示函数y=lgx 的定义域，

B 表示的是值域，而

C 表示的却是函数上的点的轨迹

2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况 (注重借助于数轴和文氏图解集合问题)

空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。

{}

{}如：集合，A x x x B x ax =--===||22301 若，则实数的值构成的集合为

B A a ?

（答：，，）-?

???1013

显然，这里很容易解出A={-1,3}.而B 最多只有一个元素。故B 只能是-1或者3。根据条件，可以得到a=-1,a=1/3. 但是，这里千万小心，还有一个B 为空集的情况，也就是a=0,不要把它搞忘记了。

3. 注意下列性质：

{}（）集合，，……，的所有子集的个数是；1212a a a n n

要知道它的来历：若B 为A 的子集，则对于元素a 1来说，有2种选择（在或者不在）。

同样，对于元素a 2, a 3,……a n ,都有2种选择，所以，总共有2n 种选择，即集合A 有2n 个子集。

当然，我们也要注意到，这2n 种情况之中，包含了这n 个元素全部在和全部不在的情况，故真子集个数为21n -，非空真子集个数为22n -

；）若（B B A A B A B A =?=?? 2

（3）德摩根定律：

()()()()()()C C C C C C U U

A B A B A B A B =

=，

4. 你会用补集思想解决问题吗（排除法、间接法）

如：已知关于的不等式

的解集为，若且，求实数x ax x a

M M M a --<∈?5

0352 的取值范围。

()（∵，∴

·∵，∴

·，，）335

30555

1539252

2∈--

????M a a M a a

5.熟悉命题的几种形式、

()()().

∨∧?可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”，“且”和“非”

1.若为真，当且仅当、均为真p q p q ∧

2.若为真，当且仅当、至少有一个为真p q p q ∨ 3, 若为真，当且仅当为假?p p

命题的四种形式及其相互关系是什么

答:（互为逆否关系的命题是等价命题。）原命题与逆否命题同真、同假；逆命题

与否命题同真同假。

6.熟悉充要条件的性质（高考经常考） x x A |{=满足条件}p ，x x B |{=满足条件}q ，

若；则p 是q 的充分非必要条件B A _____?；若；则p 是q 的必要非充分条件B A _____?；若；则p 是q 的充要条件B A _____?；

若；则p 是q 的既非充分又非必要条件___________?；

7. 对映射的概念了解吗映射f ：A →B ，是否注意到A 中元素的任意性和B 中与之对应元

素的唯一性，哪几种对应能构成映射

（一对一，多对一，允许B 中有元素无原象。）

注意映射个数的求法。如集合A 中有m 个元素，集合B 中有n 个元素，则从A 到B 的映射个数有n m 个。

如：若}4,3,2,1{=A ，},,{c b a B =；问：A 到B 的映射有个，B 到A 的映射有个；

A 到

B 的函数有个，若}3,2,1{=A ，则A 到B 的一一映射有个。

8.求函数的定义域有哪些常见类型

()()

例：函数的定义域是

y x x x =--432

lg ()()()（答：，，，）022334

函数定义域求法：

（1）.分式中的分母不为零；

（2）.偶次方根下的数（或式）大于或等于零；

（3）.指数式的底数大于零且不等于一；

（4）.对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。

（5）.正切函数x y tan = ??

?∈+≠∈Z π

πk k x R x ,2

,且

（6）.余切函数x y cot = ()Z π∈≠∈k k x R x ,,且 9. 如何求复合函数的定义域

[]的定，则函数，，的定义域是如：函数)()()(0)(x f x f x F a b b a x f -+=>->

义域是_____________。 []（答：，）a a -

复合函数定义域的求法：已知)(x f y =的定义域为[]n m ,，求[])(x g f y =的定义域，可由

n x g m ≤≤)(解出x 的范围，即为[])(x g f y =的定义域。

例：若函数)(x f y =的定义域为??

???2,21

，则)(log 2x f 的定义域为。分析：由函数)(x f y =的定义域为??

???2,21可知：221

≤≤x ；所以)(log 2x f y =中有2log 2

2≤≤x 。解：依题意知：2log 2

12≤≤x 解之，得：42≤≤x

∴ )(log 2x f 的定义域为{}42|≤≤x x 10．函数值域的求法

（1）、配方法配：求二次函数值域最基本的方法之一。

例、求函数y=2x -2x+5，x ∈[-1，2]的值域。

（2）、判别式法：对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用

（3）、反函数法

直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。

例求函数y=

3++x x 值域。（4）、函数有界性法

直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。

例求函数y=11+-x x e e ，2sin 11sin y θθ-=+，2sin 11cos y θθ

-=+的值域。

110

2sin 11|sin |||1,

1sin 22sin 12sin 1(1cos )

1cos 2sin cos 1)1,sin()sin()11

即又由解不等式，求出，就是要求的答案

x x x e y

y e y e y y y y y y y

x y x x y θθθθθθθ

θθθθθ-+=?=>-+-+=?=≤+--=?-=++-=++=++=

+≤≤

（5）、函数单调性法：通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容

例：求函数y=+-25x log 31-x （2≤x ≤10）的值域

（6）、换元法：通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含

有根式或三角

函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域

中同样发

挥作用。

例：求函数y=x+

1-x 的值域。

（7）、数形结合法：其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式

直线斜率等等，这

类题目若运用数形结合法，往往会更加简单。

例:求函数y=

1362

+-x x

542

++x x

的值域

解：原函数可变形为：y=

)

20()3(2

--+x +

)

10()2(2

+++x

上式可看成x 轴上的点P （x ，0）到两定点A （3，2），B （-2，-1）的距离之和，由图可知当点P 为线段与x 轴的交点时，y m in =∣AB ∣=

)12()

23(2

+++=43，

故：所求函数的值域为[

43，+∞）

。

(8)、不等式法：利用基本不等式a+b ≥2ab ，a+b+c ≥3abc 3（a ，b ，c ∈

），求

函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。

例：

(9).倒数法：有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况

例：求函数y=

++x x 的值域

32011202

201

2时，时，=0

0y x x y y x y y =

++≠==≥?<≤

+=∴≤≤

11. 反函数存在的条件是什么（一一对应函数）

求反函数的步骤：①反解x ；②互换x 、y ；③注明定义域

()

如：求函数的反函数f x x

x x

x ()=+≥-

()()

（答：）f x x x x x -=->--

110()

12. 反函数的性质：1.反函数的定义域是原函数的值域（可扩展为反函数中的x

对

(0)113

322x =x (应用公式a+b+c 者的乘积变成常数）

x x

x x +

>++≥=≥

应原函数中y ）2.反函数的值域是原函数的定义域（可扩展为反函数中的y 对应原函数中的x ）

3.反函数的图像和原函数关于直线=x 对称（难怪点（x,y ）和点（y ，x ）关于直线y=x 对称

①互为反函数的图象关于直线y ＝x 对称； ②保存了原来函数的单调性、奇函数性；

③设的定义域为，值域为，，，则y f(x)A C a A b C f(a)=b f 1=∈∈?=-()b a

[][]

∴====---f f a f b a f f b f a b 111()()()()，

13.如何用定义证明函数的单调性（取值、作差、判正负）判断函数单调性的方法：

根据定义，设任意得x 1,x 2，找出f(x 1),f(x 2)之间的大小关系

可以变形为求

1212()()f x f x x x --的正负号或者12()

()

f x f x 与1的关系

()

如：求的单调区间y x x =-+log 12

（设，由则u x x u x =-+><<22002 ()且，，如图：log 12

11u u x ↓=--+

当，时，，又，∴x u u y ∈↑↓↓(]log 0112

当，时，，又，∴x u u y ∈↓↓↑[)log 1212

∴……）

14.如何利用导数判断函数的单调性

()在区间，内，若总有则为增函数。（在个别点上导数等于

a b f x f x '()()≥0

零，不影响函数的单调性），反之也对，若呢？f x '()≤0

[)如：已知，函数在，上是单调增函数，则的最大

a f x x ax a >=-+∞013()

值是（）

（令f x x a x a x a '()=-=+?? ???-?? ?

??≥33330

则或x a

x a ≤-

≥3

由已知在，上为增函数，则

，即f x a

a ()[)1313+∞≤≤

∴a 的最大值为3。

15. 复合函数奇偶性：在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的

乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

16. 若f(x)是奇函数且定义域内有原点，则f(x)=0。

如：若·为奇函数，则实数f x a a a x x ()=

+-+=22

（∵为奇函数，，又，∴f x x R R f ()()∈∈=000

即·，∴）a a a 22

0100

+-+== 17.判断函数奇偶性的方法

1、定义域法：一个函数是奇（偶）函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为

奇（偶）函数的必要条件.若函数的定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数.

2、奇偶函数定义法：在给定函数的定义域关于原点对称的前提下，计算)(x f -，然

后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶性.

这种方法可以做如下变形f(x)+f(-x) =0 奇函数f(x)-f(-x)=0 偶函数f(x)

1 偶函数

f(-x)f(x)

1 奇函数

f(-x)

==- 18. 你熟悉周期函数的定义吗

()如：若，则

f x a f x +=-()

（答：是周期函数，为的一个周期）f x T a f x ()()=2

我们在做题的时候，经常会遇到这样的情况：告诉f(x)+f(x+t)=0,要马上反应过来，这时说这个函数周期2t. 推导：

()()0()(2)

()(2)0f x f x t f x f x t f x t f x t ++=?

=>=+?+++=?

，

同时可能也会遇到这种样子：f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x).其实这都是说同

样一个意思：函数f(x)关于直线对称，对称轴可以由括号内的2个数字相加再除以2得到。比如，f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x)就都表示函数关于直线x=a 对称。如：

()()()()()

()(2)(2)(2)()(2)2,222,()(22)()(22)

,()2||(,,,f x x a x b f a x f a x f b x f b x f x f a x f a x f b x f x f b x t a x b x t b a f t f t b a f x f x b a f x b a a b ==+=-+=-=-??=>=>-=-??=-??

=--=+-=+-=+--又如：若图象有两条对称轴，即，令则即所以函数以为周期因不知道的大小关系为保守起见我加了一个绝对值

19. 你掌握常用的图象变换了吗

f x f x y ()()与的图象关于轴对称- 联想点（x,y ）,(-x,y) f x f x x ()()与的图象关于轴对称- 联想点（x,y ）,(x,-y) f x f x ()()与的图象关于原点对称-- 联想点（x,y ）,(-x,-y) f x f x y x ()()与的图象关于直线对称-=1 联想点（x,y ）,(y,x) f x f a x x a ()()与的图象关于直线对称2-= 联想点（x,y ）,(2a-x,y) f x f a x a ()()()与的图象关于点，对称--20 联想点（x,y ）,(2a-x,0)

将图象左移个单位右移个单位y f x a a a a y f x a y f x a =>?→????????>=+=-()()()()()00上移个单位下移个单位

b b b b y f x a b y f x a b ()()()()>?→????????>=++=+-00 注意如下“翻折”变换：

()|()|x ()(||)y f x f x f x f x ??→??→把轴下方的图像翻到上面

把轴右方的图像翻到上面 ()如：f x x ()log =+21

()作出及的图象y x y x =+=+log log 2211

y=log 2x

20. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗

()（）一次函数：10y kx b k =+≠ (k 为斜率，b 为直线与y 轴的交点)

()()（）反比例函数：推广为是中心，200y k x k y b k x a

k O a b =

≠=+-≠'() 的双曲线。

()（）二次函数图象为抛物线3

02442

2y ax bx c a a x b a ac b a

=++≠=+?? ???+-

顶点坐标为，

，对称轴--?? ???=-b a ac b a x b

a 24422

开口方向：，向上，函数a y ac b a

>=-0442

min

a y ac

b a

<=-0442，向下，max

1212122,,||||

b x a

b c

x x x x x x a a a -=

+=-?=-=

根的关系：

2212121212()()

()()(m n ()()()(,2()()()(,)(,)

f x ax bx c f x a x m n f x a x x x x x x f x a x x x x h x h x h =++=-+=--=--+二次函数的几种表达形式：一般式顶点式，（，）为顶点是方程的个根）函数经过点（

例如：二次方程的两根都大于ax bx c k b a k f k 2

0020

++=?≥-

>>????????()

一根大于，一根小于k k f k ?<()0

0m n 22()0

()0m n ()()0

b m n a

f m f n f m f n ?≥???<-

?>???<在区间（，）内有根在区间（，）内有1根 ()（）指数函数：，401y a a a x =>≠ ()（）对数函数，501y x a a a =>≠log

由图象记性质（注意底数的限定）！

a x(a>1)

()（）“对勾函数”60y x k

k =+

利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么（均值不等式一定要注意等号成立的条件）

21. 如何解抽象函数问题（赋值法、结构变换法）

如：（），满足，证明为奇函数。1x R f x f x y f x f y f x ∈+=+()()()()() （先令再令，……）x y f y x ==?==-000()

（），满足，证明是偶函数。2x R f x f xy f x f y f x ∈=+()()()()() []（先令·x y t f t t f t t ==-?--=()()() ∴f t f t f t f t ()()()()-+-=+ ∴……）f t f t ()()-=

22.几类常见的抽象函数 1.正比例函数型的抽象函数

f （x ）＝kx （k ≠0）---------------f （x ±y ）＝f （x ）±f （y ）

2.幂函数型的抽象函数

f （x ）＝x a ----------------f （xy ）＝ f （x ）f （y ）；f （y x

）＝

)

()

(y f x f 3.指数函数型的抽象函数

f （x ）＝a x ------------------- f （x ＋y ）＝f （x ）f （y ）；f （x －y ）＝

)

()

(y f x f 4.对数函数型的抽象函数

f （x ）＝lo

g a x （a >0且a ≠1）-----f （x ·y ）＝f （x ）＋f （y ）；f （y

）＝ f （x ）

－f （y ）

5.三角函数型的抽象函数

f （x ）＝t gx-------------------------- f （x ＋y ）＝

)

()(1)

()(y f x f y f x f -+

f （x ）＝cot x------------------------ f （x ＋y ）＝

)

()(1

)()(y f x f y f x f +-