探索与两定圆都相切的动圆圆心轨迹

达 。教师作为学生 自 主学 习的促进者 ， 积极观察 、 真引导 ， 要 认
要 善于捕捉 最佳 的契机 ， 画龙点睛 ， 激发并保 持学生 主动探究 的积极性 ， 当好 帮助者 和引导者 。 并 以各种适当 的方式 ， 给学 生
的“ ”让 学生在有深度 和广度 的课 堂上 日渐茁壮 ； 通过 讲 ， 也要
（） ３ 当动圆 ｃ与两个定圆一个 内切一个 外切 时 ，
若 圆 ｃ与 圆 ｃ 外切 、 Ｃ 内切 时 ， 与 ： 设切点分别 为 Ａ、 ， Ｂ 则
ＩＡ ＝ＩＢ ， Ｉ ＣＩ Ｉ ＣＩ ｘ ． Ｃ Ｉ Ｃ Ｉ Ｃ ｌ Ｃ ２ 即 ＞０ 且 ＞ ，
‘ ． ‘
迹合成一条双 曲线 （ 动圆圆心 Ｃ的轨迹也可 以就其 中一个 图形 对两定 圆的半径进行讨论而求得 ） 以， 圆与 两相 交定 圆同 ． 所 动 时相切 时 ， 圆圆心 Ｃ的轨迹 是以定点 Ｃ， 动 １ 为焦点 的双 曲线 Ｃ
自己的“ 不讲 ” 给学生增加 更多 的 自主思 考 、 践和体验 的机 ， 实
会 。所 以， 教师要把 自己解放 出来 ， 把学生们 的思维解放 出来 ，
以心理上的支持和鼓舞 ， 使学生 的思维更 活跃 ， 热情更饱满 。 课
做新 时代 的“ 偷懒” 型教师 。
（ 上接 第 １ ９页） ３
・ ． ‘
Ｉ ＣＩ ＣＣｌ ｘ ． 可求 ， ｃ的轨迹方程是 ： ｃ 。 ２ 即 ＜Ｏ同理 ＜Ｉ ， 点 百 ｘ＿ — ２ ｙ １ （１ ２ ｃｘ Ｏ ； ２ ＝ ｒ ｒ＃２ ，＜ ） ＋ ｒ ｒ ４ ２（ｌ ２２ 一 ｌ２ ＋） ｃ ｒ ｒ） － ＋ … ’ 一 ’
．
．
・ ｏ ｏ
、 研 ／
＋ｌ ／ ｒ ， ＝、 研
＋ｒ ２
在（ ） ，ＡＩＩ １ １ＩＢ＝Ｃ ２ ２ＩＡＩ Ｃ Ｉ ２ 中 Ｃ ＝Ｃ ， ＩＩＣＩ ， ＝ＩＢ， ＣＪ —ｒ Ｃ —ｒ Ｃ
‘ ． ．
Ｉ Ｉ ｒ ｔ ｌ ｒ Ｃ Ｃ１ ｌ Ｃ Ｃ２ ２ Ｄ ＝ — Ｉ ｌ ｌ １ ｒ— ｒ Ｃ Ｃｌ Ｃ Ｃ２ ｌ ２ — ＝
堂上 ， 教师要走 向学生 、 贴近学生 ， 与到学生的学 习活动 中 ， 参 成为学生最可信 赖的心理 支持 源。如果 能做 到这些 ， 教师不必 满堂去讲 ， 只有在 学生学 习遇 到困难时 ， 在提 问而不能答 和指
点而不开窍时 ， 为了让学生对某一 问题有深入 的认识 或者为 了
帮助学生突破某一思维障碍时才进行 引导讲解 。
生成信 息的意义的过程。课堂是实施素质教育 的主渠 道 ， 课堂
实施素质教育的途径就是要打破以教师 、 堂 、 课 书本 为中心 ， 以 讲 授灌输 为主线的教学 套路 ， 构建 以学生 主动参 与 、 究创新 探
为主线的教学模 式。
在新课 改背景下 ， 教师必须 跟上时代 的节 奏 ，讲 ” “ 的最终 目的是 为了 “ 不讲 ” 不讲”更 多地 是指教 师不代替学 生 的 。“ “ ，对知识 内容和知识产生过程的认识体验是最好 的教 育。 学” 在课堂 上只是一 味地 满堂讲 ， 就怕学生 听不 明 白， 而学生 也只 能是被动地学 ， 这样教学 的效果可想而 知。只有 学生亲身体验 到有东西 ， 才能最终沉淀 到他 的内心深 处。教师应该通过 自己
Ｉ ＝ Ｃ Ｃ１ Ｉ Ｉ Ｂ ＝Ｉ ２ ｒ ， ＝ Ｃ Ｃ ＡＩＩ Ｉ 一 ，Ｃ ｔ Ｃ Ｃ ｌ ２ Ｉ ＡＩ Ｉ ＢＩ — Ｃ
・ ． ．
研
４
２ 一Ｘ２
一
－Ｊ ／ ｒ 研 ：、
一２ ｒ
１ （ｌ ２ ｒ≠ｒ）
点 ｃ的轨 迹为双曲线的左支 ．
所 以动圆圆心 Ｃ的轨迹是 以定 圆圆心 ｃ、 。Ｃ 为焦 点 的双 曲线 ， 其轨迹方程为 ７ 可 ｘ —— （ ＝ ２４ ＿ 一
相交定 圆；３ 与两相交定圆 同时 内切． （）
所以点 ｃ的轨迹为双曲线的一支， 且其轨迹方程为
４
一
一， ２ － 一 ｃ （－ ） 一 （－ ￣ — ２ ｒ ｒ ２ ｒ ｒ ４ － — ２ ￣
ｘ－ ２——生一
） ｒ ２ ｒ 乙１ ｌ ） ≠ｒ
ｒ ｌ
动 圆圆心 Ｃ的轨迹方程可以分三种情况分别求得 ， 三个轨
准备 。 建构主义主张“ 通过 问题解决来学 习” 。教师可以针对所
要学 习的内容设计 出具有思考价值 的 、 意义的 问题 ， 让学 有 先
生去思考 、 去尝试解决 。 教师要走近学生 ， 了解学生在学习过程 中存在 的困难和 问题 ， 找准教 学的切人点 ， 准确把 握教学 的量 和度 。 课前备课必须充分 ， 特别是“ 备学 生” 要落实到位 。 程课虽 然设计得很精彩 ，但是如果不符 合这个班学生的认知水平 ， 就 达不到预期的 目标。 教学应 当把学 习者原有的知识经验作为新
４两定圆 内切 或两定圆 内含 ＿
的轨迹是 以 ｃ、 ： ｃ 为焦点的椭圆（ 特殊情况除外 ） ． ③ 当两定 圆为同心 圆时 ， 与这 两定圆都相切的动 圆圆心 的 轨迹是 一个 圆．
如本文开始所述 ， 当两定 圆内切 （ 两定 圆内切 时 ， 特殊情 况 为直线 的一 部分 ） 或两定 圆内含时 ， 圆 Ｃ的圆心 的轨迹是 以 动
第２９ １期
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探索与两定圆都相切的动圆圆心轨迹
孟繁 露
（ 新疆和静高级 中学 ， 新疆
林 玉文
８ １０ ） ４ ３０
巴音郭楞蒙古 自治州
两 圆的位关 系有五种： 离 、 相 外切 、 相交 、 内切和 内含 ． 笔者 就两定 圆的五种 不同位置 关系进行研 究． 为计算方 便 ， 取两定
‘ ． ‘
ＩＡＩＩ １ ｒ，Ｃ ＝Ｉ ２ ｒ， ＡＩ Ｉ Ｉ Ｃ ＝ＣＣｌ １ＩＢＩ ＣＣ Ｉ ２Ｉ ＝ ＣＢ ， ＋ ＋ Ｃ
Ｉ Ｉ ｒ ｌ Ｃ２ ２ Ｃ Ｃ１ １ Ｃ １ ＋ ＝ ＋ Ｉ ｔ Ｉ ２ ｒ一 Ｃ Ｃｌ Ｃ Ｃ Ｉ ２ １ － ＝
‘ ． ．
Ｉ ＝Ｃ ＣＩ ｉＩ ＩＩ Ｉ ｒ，Ｃ ＡＩＩＢＩ Ｃ ＡＩＩ ｌ ， ＋ ＣＢ＝Ｃ Ｃ２ ２ Ｉ ＝Ｃ ＋
（ 或其 中一个部分 ） 下转第 １０页） ． （ ９
１ ９・ ３
Ｉ ＝Ｃ Ｃ１ １Ｉ ＩＩ Ｉ－２Ｉ ＝Ｃ Ｃ ＡＩＩ Ｉ ， —ｒ ＣＢ＝Ｃ Ｃ２４ｒ，Ｃ ＡＩＩＢＩ －
・
新校园理论
Ｘｎ ｉＹ ａＬ［ ｉ ａ ｕｎｉｍ Ｘｏ Ｉ
教 师发展
做新时代的“ 偷懒＂ 型教师
当 ｒ ２ ， １ Ｃｃｌ即 ｘ ， ｃ的轨 迹为双 曲线 。 时 ｌ ＣＩ ＜ｒ ｃ ＜Ｉ ， ＜０ 点
的左支 ；
曲线一 支 ； 当动 圆 ｃ与定 圆 ｃ、： 中一个 内切 ， 其 ｃ 而与另一个
外切时 ， 圆圆心 ｃ的轨迹是双曲线的两支． 动
２两 定 圆外 切 ．
所 以点 ｃ的轨迹 为双 曲线的一支．
其次， 高效课 堂对教师有 了更高的要 求 ， 需要 充分 的课 前
中获得 知识 ， 提高修养 。 现代建 构主义学 习理论 认为学 习的过程是 学 习者 主动建
构 知识 的过 程 ，学习是建 构内在心理表征的过程 ， “ 学习者并不
是 把知识从 外界搬到记忆 中 ， 而是 以原有 的经验为基 础 ， 通过
０Ｃ 与 ０ｃ 相离 ，
２ ＞ｒ ２ ｃ一（ｌ ｒ） ＞０ ｃ １ ， ２ ｒ －２２ ， ＋ｒ ４ ｑ
・ ． ．
１两定 圆相离 ． 设两定圆圆心为 ｃ（ｃ０ 、 ｃ０ ， 一 ，）Ｃ ，）半径分别为 ｔ ｒ， ＃ｒ ｉ２ｒ ２ ｅ 。 ，
动圆圆心为 ＣｘＹ， （， 则ｏｃ： ＋ｃ ＋ ２ １０ｃ： － ） ｙ ２ ） １ ｘ ） ｙ 。 ２ ｘｃ ２ ２ （ ＝ｒ， （ ＋ ＝ｒ ，
ｒ ｒ １２ ＋） ｃ （ｌ ２ 一 ￣ ｒ ｒ） － ＋ ２
平方整理得 ：
当 ｒ ２ ， ｌ Ｃ Ｃ１即 ｘ ， ｃ的轨迹 为双 曲线 １ 时 ｌ ＣＩ ２ ＞ｒ ｃ ＞Ｉ ， ＞０ 点
的右支 ；
ｙ １ ｒ ｒ＃２ ） ２ ｌｚ ｃ ＝ ＋
综 合（ ） （ ） （ ） １ 、 ２ 、３ 可知 ： 两定 圆ｏｃ 与 ｏｃ 相 离 ， 若 。 ： 当动 圆 ｃ与定圆 ｃ 、 ｃ 都外切或都 内切 时 ， 圆圆心 Ｃ的轨迹 是双 动
・
． ．
、 研 ／ ，
＝、 研 ／ 厂
＋ｒ ２
平方整理得 ：
圆的半径 ｒ ｒ ｒ ｒ ， ｌ２ ２ 两定 圆圆心连线 的 中点为 坐标原点 ， （≠ ） 建
立直角坐标系．
・
‘ ．
了 ｒ ＿广） １（ｒ２ （ ２ ２ｃ（ｒ ｒ２ ｃ ｒ ） － ２Ｉ 一ｘ４ ｒ２ ￣２ － ＿ ～ 。＃ ） ＝ ＋
首先 ， 师角 色、 教 观念必须转 变。 教师 的角 色应 由知识 的灌
输者、 守护者转变 为学生学 习活动 的组织 者 、 与者 、 参 共享者 。
在这个 学习过程 中， 教师要 以学生为本 ， 依学定教 ， 学生可 以用 自己的心灵去领悟 ， 自己的观点去判 断 ， 自己的语 言去表 用 用
（） １ 当圆 ｃ与 圆 Ｃ 、 。 Ｃ 都外 切 时 ， 切点 分别 为 Ａ、 则 设 Ｂ，
Ｉ ＡＩ Ｉ Ｃ ＝ ＣＢＩ
点 Ｃ的轨迹是双 曲线 的右支． 若 当圆 ｃ与圆 Ｃ 内切 、 ｃ 外切时 ， 与 ： 设切点分别 为 Ａ、 Ｂ，
则 ＩＡＩ ＩＢ， Ｃ ＝Ｃ Ｉ
Ｉ ｃ ￣Ｎ一 ＋）— ， Ｚ 、 研 ｃ ｌ ／ｘｃ２ｙ Ｉ Ｃ［ ／ Ｉ （ —＋２ Ｃ
３两 定 圆相 交 ．
当 ｒ ２ ， １ ＣＣｌ即 ｘ ， ｃ的轨迹 为双 曲线 ｌ 时 Ｉ ｃｌ ２ ＜ｒ ｃ ＞Ｉ ， ＞Ｏ 点
的右支 ；
两定 圆相交时 ， 圆与两相交定 圆同时相切的位置关系有 动 如下三种情况 ：１ 与两相交定 圆同时外切 ；２ 同时 内切于两 （） （）
王 晶 霞
（ 胶州市第一 中学 ， 山东 青 岛 在新课 改的要求下 ， 师要 解决上课 内容多 、 间少的 问 教 时 题 。 么是挤 压学 生的时间还是提 高课 堂效率 ？ 那 在课 堂改革 中 ， 教 师应从 角色 、 观念上转变 ， 要做好课前 、 中等方 面工作的准 课 备， 尤其在课堂上教师要学会“ 偷懒 ” 真正做到高效率 、 ， 高质量 地完成 教学任务。 教师 的职责就是要在知识和学生之间架起一 座 充满乐趣 的桥梁 ， 创造轻松 和谐的学 习环 境 ， 使学生在 愉快 ２６ ０ ） ６ ３ ０
整 得南 Ｘ 南 理： ２ －
的左支 ；
ｙ・ｒｒ ２ （２ ＿ －） １ ≠
‘ ． ．
当 ｒ＞ｒ时 ， ｌ Ｃ ＣＩ即 ｘ ， ｃ的轨迹 为双 曲线 １ ２ ｌ （ ） 都有，ｃｃＩ ｃＣ Ｉｌ－ｒ， Ｉ－ｒ 为 ｌ １ ２ ｒ ２ 且 ｒ ＝ ｌ —Ｉ Ｉ １ １ ＝ ｌ ｌ 定值 ， 以动圆圆心 Ｃ的轨迹是 以定点 ｃ 、 所 ｃ 为焦点 的双 曲线．
（ 当 ｒ时 ， ｌ Ｉ Ｃｌ Ｃ的轨迹 为线段 Ｃ ｃ 的垂直 ２ Ｉ ＣＩＣ ２ 点 ｃ ＝ ， 。２
平 分线 ， Ｙ ） 即 轴 ． （ ） 圆 ｃ与圆 Ｃ． ： 内切时 ， ２当 Ｉ 都 Ｃ 设切 点分 别 为 Ａ、 ， Ｂ 则
１ Ａｌ Ｉ Ｂ１ Ｃ ＝ Ｃ
・ ． ‘
当两定圆 ０Ｃ 与０Ｃ 外切 时 ， １ 中， ： 在（ ）
知识 的生长点 ， 引导学 习者从 原有 的知识 经验中 ， 生长新 的知
识经验 。
与外界的相互作用来 建构新的理解 。 因此 ， 习活动不是 由教 ” 学 师单纯 向学生传递知识 ，也不 是学 生被动地接受信息 的过 程 ， 而是学生凭 借原有 的知识 和经验 ， 通过 与外 界的互 动 ， 主动地