《离散数学》第七章_图论-第3-4节

阵所有元素均为1。 有向图G为单侧连通的充要条件是图的可达性 矩阵P及其转置矩阵PT所组成的矩阵P’=P∨PT， 在P’中除对角线元素外所有元素均为1。
原因：
设 PT为Q， 即qij=pji， 若qij ∨pij=1，则结点vi与vj可达，或vj与vi可达； 若qij ∨pij=0，则结点vi与vj不可达。

vn}和邻接矩阵A的图，则矩阵AL（l=1， 2，…）的第i行第j列的元素aij(L)=m，表 示图G中从结点vi到vj长度为L的路有m条 （即路的数目）。 3)证明l＝p＋1时定理成立。
由 故
而aik是结点vi到vk长度为1的路的数目， 是结点vk到vj长度为p的路的数目， 所以上式右边的每一项表示从vi经过一条边到vk，再 由vk经过一条长度为p的路到vj的总长度为p+1的路的 数目，对所有k求和， 是所有从vi到vj的长度 为p+1的路的数目。所以对l=p+1成立。 证毕。
矩阵为
v4
v3
v2
aij(L+1)=ai1•a1j(L)+ai2•a2j(L)+ai3•a3j(L)++ain•anj(L)
A2中：G中从结点v2到结点 v3长度为2路数目为0。 A3中：G中从结点v2到结点 v3长度为3的路数目为2。 A2中：G中长度为2的路(含 回路)总数为8，其中6条为 回路。 A3中： G中长度为3的路
图的邻接矩阵的应用
(1)由邻接矩阵可计算出从vi到vj的长度为L的
路的数
目，也可计算从vi出发的长度为L的回路数
。 (2)计算结点vi与vj之间的距离。 (3)判断G是否是连通图，及G中任意两个结点
v1 v5 图G的邻接
aij(2)=ai1•a1j+ai2•a2j+ai3•a3j++ain•anj
A(4)= A(2) A(5)=A(3)
图的可达性矩阵的应用
(1)利用可达性矩阵判断有向图的连通性。
强连通 单侧连通 弱连通
(2) 求强分图 (3)利用可达性矩阵判断无向图的连通性。
无向图G为连通图的充要条件是图的可达
性矩阵所有来自百度文库素均为1。
（2）利用可达性矩阵判断有向 图的连通性 有向图G为强连通的充要条件是图的可达性矩
i≠j时， 如果vi到vj有路，则pij=1； 如果vi到vj无路，则pij=0； 又由定理7-2.1知，如果vi到vj有路，则必存在长度小 于等于n–1的路。 通过对图G的邻接矩阵A进行运算可得到G的可达性矩 阵P。其方法如下： 1．由A计算A2，A3，…，An。 2．计算B=A+A2+…+An。 3．将矩阵B中非零元素改为1，所得到的矩阵即 为可达性矩阵P。

（1）可达矩阵的定义
如果利用图G的邻接矩阵A，则可计算A， Al2 ，A3，…，An，…，当发现其中的某 ( ) aij l的 个A ≥1，就表明结点vi到vj可达。
在许多问题中需要判断有向图的 一个结点vi到另一个结点vj是否存 在路的问题。
二、有向图的可达矩阵
（2）可达矩阵的计算方法 （3）可达矩阵的应用
1 0
1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1
v i 和 vj 至少有一条路
从vi到vj没有路
0 0 0 0 0 0 1 1 1 1
v1
v4 v2
1 1 0 0 0 0 0 0 0 0
v3
v5
（二）图的可达性矩阵计算 方法（1） 设G是n阶简单有向图，由可达性矩阵的定义知，当
0 A(G)= 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0
v1
v4
v3
图的邻接矩阵 说明： (1)邻接矩阵的主对角线元素aii=0。A(G)=
(2)主对角线以外的元素aij v2 aij=1 (i<>j)，说明图G是完全图； v1 aij=0 (i<>j)，说明图G是零图。 (3)无向图的邻接矩阵是对称的； 而有向图的邻接矩阵不一定对称； v4 因为在无向图中一条无向边应看成方向相反的两条v3 有向边，因此无向图的邻接矩阵关于主对角线对称。

图的邻接矩阵的应用
(1)由邻接矩阵可计算出从vi到vj的长度为L的 路的数目，可计算从vi出发的长度为L的回 路数。 定理7-3.1 设G是具有结点集{v1，v2，…，vn} 和邻接矩阵A的图，则矩阵AL（l=1， 2，…）的第i行第j列的元素aij(L)=m，表示 aij(2)=ai1•a1j+ai2• i 2j+a 长度为L的路有m条 图G中从结点va到vji3•a3j++ain•anj （即路的数目）。 2j(L)+ai3•a3j(L)++ain•anj(L) aij(L+1)=ai1•a1j(L)+ai2•a
定理7-3.1 设G是具有结点集{v1， v2，…，vn}和邻接矩阵A的图，则矩 阵AL（l=1，2，…）的第i行第j列的 元素aij(L)=m，表示图G中从结点vi到 vj长度为L的路有m条（即路的数 证明： 目）。
（从vi到vj的长度为l的路可看作从vi到vk 的长度为1的路，再联结vk到vj的长度为l1的路。） 用数学归纳法： 1）当l=2时，成立。 2）设l=p时命题对l成立，即aij(p)表示 图G中有几条从结点vi到vj长度为p的路
图的邻接矩阵例
例7-3.1 (1) 写出下面无向图的邻接矩阵 v1 v2 A(G)=3 v v4 v5 v1 0 1 1 0 0 v2 1 0 1 0 0 v3 1 1 0 0 0 v4 0 0 0 0 1 v5 0 0 0 1 0
图的邻接矩阵例
例7-3.1(2)：写出下面有向图的邻 接矩阵 v2
0 1 A(G)= 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0
0 0 1 1
1 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 0
图的邻接矩阵说明：
v
A(G)=
0 0 1 1
1 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 0
v1 v2 A v3
v1
v1 v2 v3 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0

可达矩阵的应用
P1
P2
P5
P4
P3

P2，P4，P5产生递归调 用
四、图的完全关联矩阵（结点
和边关系）
完全关联矩阵
表示结点和边的关系
无向图的完全关联矩阵 有向图的完全关联矩阵
无向图的完全关联矩阵（结点
和边关系）
定义 7-3.3 给定无向图G=<V,E>，V={v1,v2,……, vp}， E={e1, e2,…… eq}，则矩阵M(G)=(mij)pq，其中
v4
vv 2
5
(4)结点的度数 无向图： 每行1的个数=每列1的个数=对应结点的度
0 0 1 1 1 1 v4 0 0 0 4v5 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 v0
3
有向图: 每行1的个数=对应结点的出度 每列1的个数=对应结点的入度
v4
v3
v2
G中从结点v2到结点v3长度 为2通路数目为0，G中长 度为2的路（含回路）总数 为8，其中6条为回路。 G中从结点v2到结点v3长度 为3的通路数目为2， G中 长度为3的路（含回路）总

图的邻接矩阵的 应用 (2)计算结点vi与vj之间的距离。
中不为0的最小的L即为d<vi,vj>。
预备知识
预备知识
一、图的邻接矩阵

以结点与结点之间的邻接关系确定的矩阵。
定义7-3.1 设简单图G=<V,E>，其中 V={v1,v2,…,vn}，则n阶方阵A(G)=(aij)nn ，称为 图G的邻接矩阵。
1, v i , v j E或( v i , v j ) E adjacent(邻接) a其中第i行j列的元素。 ij 0, v i , v j E或( v i , v j ) E 或者i=j
7-3 图的矩阵表示
除用图形表示图外，还可用矩阵表示图，它的优点： (1)将图的问题变为数学计算问题，从而可借助计算 机来研究图，进行相关的计算。 (2)表示更清楚。 知识点： 1.邻接矩阵 邻接矩阵求两点间不同长度的路的条数 2.可达性矩阵 3.完全关联矩阵 由于矩阵的行和列有固定的次序，因此在用矩阵表 示图时，先要将图的结点进行排序，若不具体说明 排序，则默认为书写集合V时结点的顺序。
图的邻接矩阵求不同长度的路 例7-3.2：求下图中图G的从结点v2到结点v3长 例
度为2和3的路数目及所有长度为2和3的路数 目。
分析 利用定理7-3.1 ，求图中长度为m的路数 目，只需要先写出图的邻接矩阵，然后计算邻 接矩阵的m次方即可。
v5
v1
v2 v4 v3
v1 v5 图G的邻接
矩阵为
（一）有向图的可达性矩阵
可达性矩阵表明了图中任意两个结点间是否至少存在一条 路以及在任何结点上是否存在回路。
定义7-3.2 设简单有向图G=（V，E），其中V={v1， v2，…，vn }，n阶方阵P=（pij）nn ，称为图G的可达 性矩阵，其中第i行j列的元素
p ij =
1 1 1 1 P v3 1 1 v4 0 0 v5 0 0 v1 v2 1 1 1 1 1 1
有向图G为弱连通的充要条件是忽略边的方向 得到矩阵B=A∨AT，求B的可达性矩阵PB，在 PB中除对角线元素外所有元素均为1。
利用可达性矩阵判断有向图 v1 的连通性
v3 v2
强连通图
利用可达性矩阵判断有向图 的连通性
v1 v3 v2
单侧连通 图
（3）利用可达性矩阵P， T 方法：设PT为P的转置矩阵,由P∧P 求强分图 求强分图 =Pji 原因：因为对PT，PijT
步骤如下：
例
由可达性矩阵，求强分图例 V
1
V2
V5 V4
V3
0 1 0 PT= 1 1
0 1 0 1 1
1 1 0 1 1
0 1 0 1 1
0 1 0 1 1

强分图为 {v1},{v3},{v2,v4,v5}
可达矩阵的应用
判断是否存在递归调用， 设P={P1,P2, …,Pn}表示程序中的函数集合， 对应为结点，若一函数Pi调用Pj，则在有 向图中用从Pi到Pj的有向边表示， 设函数集合P={P1,P2,P3,P4,P5} 调用关系：P1调用P2；P2调用P4； P3调用 P1； P4调用P5； P5调用P2；
图的可达性矩阵计算方法（2）
由邻接矩阵A求可达性矩阵P的另一方法： 将邻接矩阵A看作是布尔矩阵，矩阵的乘法运算和加 法运算中，元素之间的加法与乘法采用布尔运算 布尔乘：只有1∧1=1 布尔加：只有0∨0=0 计算过程： 1．由A，计算A2，A3，…，An。 2．计算P=A ∨ A2 ∨ … ∨ An P便是所要求的可达性矩阵。
若从vi到vj 可达，则Pij=1， 若从vj到vi可达，则Pji=1，即PijT=1，于是当且
仅当Vi和Vj相互可达时，P∧PT的第(i,j)项 Pij∧PijT值为1。

(1) 计算可达性矩阵P； (2) 计算P的转置矩阵PT ； (3) 计算P∧PT ； (4) P∧PT第i行元素为1的在第j1,j2,…,jk列，则结点 vi,vj1,vj2,…,vjk在同一个强连通分支中，即 {vi,vj1,vj2,…,vjk}导出的子图是G的一个强连通分支。
图的可达性矩阵计算方法 （3） 无向图的可达性矩阵称为连通矩阵，也是对称的。 Warshall算法
例7-3.3 求右图中图G中的可达性矩 阵。 分析：先计算图的邻接矩阵A布尔乘法的的2、 v1
3、4、5次幂，然后做布尔加即可。
解：
v4
v2
v3 v5
P=A∨ A(2) ∨ A(3) ∨A(4)∨A(5)
v5 v1
v2
v3 若 中至少有一个不为0， 则可断定vi与vj相连接，求
v4
如： d<v1,v2>=1,d<v1,v3>=2， d<v5,v4>=1,d<v1,v4>= ∞
图的邻接矩阵的应用
(3)判断G是否是连通图，及G中任意两个结点是否连通。 计算B= A1 +A2 +…+ An ，bij表示从结点vi到vj有长度 分别为1、2、3…n 的不同长度路的总数。 ①连通图的判断 若B的每一个元素都非0，则为连通图。 ②结点间的连通性 若bij为0，那么结点vi与vj不相连接。 若bij不为0 ，vi与vj有路相连接。