经济博弈论第三讲混合博弈

• 上述两个博弈的显著特征是，每个参与人 都想猜透对方的策略，而每一个参与人又 都不能让对方猜透自己的策略。这样的情 况出现在诸如体育比赛和战争等情况中都 会出现。在这类博弈中，都不存在纳什均 衡。
• 上述两个博弈不存在纯策略纳什均衡，但 是存在下面将要定义的混合策略纳什均衡。 这里的混合策略是指参与人以一定的概率 选择某种策略，比如说，参与人以0.3概率 选择第一种策略，以0.2的概率选择第二种 策略，以0.5的概率选择第三种策略。如果 一个采取混合策略，他的对手就不能准确 猜出他实际上会选择的策略，但在均衡点 可以知道对手不同策略的概率分布。
• 混合策略纳什均衡的求法，可以通过计算各方的 期望得益，寻求使自己期望得益最大化的最佳反 应函数，求各博弈方的最佳反应函数的公共解。 可以用求最佳反应函数交点的方法，也可以用解 方程组得方法。还可以应用下面的原则来计算： 任何博弈方的在混合策略纳什均衡中的所选策略Βιβλιοθήκη Baidu 都必须使其他博弈方选择其任何策略的期望得益 相同。即自己的选择要使对方无机可乘，不能通 过有针对性的倾向是某一策略成为优势策略。再 举一个例子。
• 1.制式问题 彩电有不同的制式，采用相同的制 式，则不同厂商间的零部件可以通用，相关设备 可以相互匹配，对大家有一定的好处，但也有互 相竞争的压力和损失。设两个厂商要引进生产线， 面临A、B 两个制式，其得益矩阵如下： • 厂商2 • A B • A 1，3 0，0 • 厂商1 • B 0，0 2，2
• 2.市场机会 设两个厂商都发现了一个市场机会，但市场 容量不大。若只有一家进入，能赚100，若同时进入，则 各亏50. • 厂商2 • 进 不进 • 进 -50，-50 100， 0 • 厂商1 • 不进 0 ，100 0 ， 0，0 • 本博弈也有两个纯策略纳什均衡（不进，进），（进，不 进）但它们分别有利于两个厂商，因此这两个均衡都不容 易实现，都应采取混合策略。 • 请同学们自己计算混合策略纳什均衡及得益。
混合策略的定义：在博弈G={s1,s2, …，sn}中，博弈方i的策 略空间为Si=(si1,si2, …,sik),则博弈方以pi=（pi1,pi2, …,pik) 随机选择k个可选策略称为一个混合策略。其中，0≤pik≤1， k=1,2, …，k,且pi1+pi2+…+pik=1 相对于这种以一定概率分布在一些策略中随机选择，原来的 确定性的具体的策略称为纯策略，原来的纳什均衡也称为 纯策略纳什均衡。纯策略也可看作特殊的混合策略。 我们把纳什均衡的概念也作相应的扩大：对一个策略组合， 无论它是纯策略还是混合策略，只要满足各博弈方都不想 单独偏离它，就称其为纳什均衡。
• 同样，设乙的混合策略为（q,1-q) ，则乙的纳什 均衡策略也必须使甲无论选A还是选B的期望收益 相等。即： • q×2+（1-q) ×5=q×3+（1-q) ×1 • 解得 q=0.8 即乙的混合策略也是（0.8，0.2） • 容易算出在这个混合策略纳什均衡下，甲乙各自 的得益都是2.6.它的意义是说，虽然在一次博弈 中，其结果只能是得益矩阵中四个得益的一种， 但多次独立重复进行，平均结果是双方各得2.6.
• 例 某博弈的得益矩阵为 • 乙 • C • A 2，3 • 甲 • B 3，1
D 5，2 1，5
• 这个博弈没有纯策略纳什均衡。要计算混合策略纳什均衡， 设甲的混合策略为(p,1-p), • 则甲的选择必须使乙选C和选D的期望得益相等，即： p×3+(1-p) ×1=p×2+(1-p) ×5 • 解得p=0.8。即甲的混合策略是（0.8，0.2）
在包括混合策略的情况下，严格劣策略消去 法有时仍然使用。因为严格劣策略消去法 不会消去任何纳什均衡。如下面的例子： • 乙 • A B • C 3，1 0，2 • 甲 D 0，2 3，3 •
• 甲、乙的策略没有好坏之分。但若甲以混合策略 （0.5，0.5，0）选择C、D、E，则博弈方乙选择 纯策略A时，甲期望得益 • 0.5×3+0.5×0+0×1=1.5 • 乙选择纯策略B时，甲期望得益 • 0.5×0+0.5×3+0×1=1.5 • 乙选择混合策略（q,1-q) 时，甲期望得益 • 0.5×q×3+0.5×(1-q) ×0+0.5×q×0 • +0.5×(1-q) ×3=1.5
• 可见，无论乙采用什么策略，甲采用混合 策略都大于采用E的得益1，因此，E是甲的 严格劣策略。因此去掉E，博弈就简化为： • 乙
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• 新的博弈中，在次应用劣策略消去法，可 得（D，B）是唯一的纳什均衡。
• 容易看出，该博弈有两个纯策略纳什均衡： • （A，A）和（B，B），但会出现哪一个均衡呢？可以看 出，厂商1喜欢后一个而厂商2 喜欢前一个均衡。没有必 然的结果，因此，双方的决策要进行混合策略决策。 • 不难算出厂商1的纳什均衡混合策略是(0.4,0.6) • 厂商2的混合策略纳什均衡策略是(0.67，0.33) • 在此均衡下，双方的期望得益分别为0.664 和1.926，都 小于任何一个纯策略纳什均衡的得益。 • 由此可见，政府或行业组织制定统一的标准或规定是非常 重要的。这也是世界上各国甚至国际间对许多重要产品规 定统一规格、标准的原因。 • 当然因为技术垄断等因素，也有相反的、各厂商间不统一 的例证：如打印机墨盒、手机充电器等。
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• • • •
救济 政府 不救济
流浪汉
找工作 3，2
-1，1
游荡 -1，3
0，0
• 设想政府以1/2的概率选择救济，1/2的概率选择不救济。对流浪汉来 说，选择寻找工作的期望效用是1/2×2+ 1/2×1=1.5，选择游荡带来 的期望效用为1/2×3+ 1/2×0=1.5。所以流浪者的任何一种策略（纯 的或混合）都是对政府所选择的混合策略的最优反应。 • 如果流浪汉以0.2的概率选择找工作，以0.8的概率选择游荡，政府的 任何一种策略（纯的或混合）都是对流浪汉所选择的混合策略的最优 反应。每一个参与人的混合策略都是给定对方混合策略时的最佳选择， 这一混合策略组合就是一个纳什均衡
第三讲混合策略纳什均衡
• 我们将纳什均衡定义为一组满足所有参与 人的效用最大化要求的策略组合，即 （ s1*，…， si* ， … ， sn* ）是一个纳什 均衡，当且仅当（ui(si*, s-i *) ≥ ui(si′, s-i *)。 根据这一定义，有些博弈不存在纳什均衡 的。
• 社会福利博弈 • • • 救济 • 政府 • 不救济
流浪汉 找工作 游荡 3，2 -1，3
-1，1
0，0
• 这个博弈不存在纳什均衡。给定政府救济， 流浪汉的最优策略是游荡；给定流浪汉游 荡，政府的最优策略是不救济；给定政府 不救济，流浪汉的最优策略是找工作；给 定流浪汉找工作，政府的最优战略是救济； 如此等等，没有一个策略组合构成纳什均 衡。
• 猜谜游戏（A决定，B来猜；B猜中，奖励；否则，惩罚） • B • 正面 反面 • 正面 -1，1 1，-1 • A • 反面 1，-1 -1，1