函数的基本性质PPT课件

题型二 函数单调性应用
1、求函数值域或最值. 例1、函数y 3x 9 5 x的值域为
依题意，函数的定义域为[-3,5],且函数在定义域上 是单调递增的.从而利用函数的单调性求值域.
变式训练
已知函数
f
(x)

x

2 x

3,
x

1 ,
f
( x)的最小值
lg( x2 1), x 1
[点评] 判断函数的单调性，应首先求出函数的定义域，在 定义域内求解.
变式训练：
求函数f (x) x 2 x的单调递减区间
此题的图像比较容易画出，可由图像的直观性写出 它的单调性.
函数单调性的证明用定义
证明函数f (x) x a (a 0)在 a,上是增函数.
x
利用定义证明的步骤：①取值②作差比较③定号④ 结论.解题时注意所设自变量在区间内具有任意性. 若否定函数单调性，只需取两个特殊自变量说明不 满足即可.
2、比较函数值或两个自变量的大小. 比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区 间内，然后利用函数的单调性解决. 3、解不等式. 在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数
的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式
求解.此时应特别注意函数的定义域.
上述两类题型常与函数的奇偶性相结合考查
叫做f(x)的最小正周期.
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题型归纳
题型一 判断函数的单调性 判断函数的单调性或求单调区间的方法 (1)利用已知函数的单调性. (2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义.
(3) 图 象 法 ： 如 果 f(x) 是 以 图 象 形 式 给 出 的 ， 或 者 f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单
4、利用单调性求参数. 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确 定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数.
例1.函数f(x)＝|x－a|在(－∞，2]上单调递减，
2 2 3
例2已知函数
f (x)
x2 2x a ,
x∈[1,+∞).
x
(1)当a= 1 时,求f(x)的最小值;
2
(2)若对任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立，试求实
数a的取值范围.
思维启迪 第(1)问可先证明函数f(x)在[1,+∞) 上的单调性,然后利用函数的单调性求解，对于第 (2)问可采用转化为求函数f(x)在[1,+∞)上的最小 值大于0的问题来解决.还可以使用分离参数法
【例 1】 函数 f(x)＝log1(x2－x－2)的单调递增区间为( ) 2
－∞，1
A.
2
1，＋∞ B. 2
C.(－∞，－1)
D.(2，＋∞)
解析 由 x2－x－2＞0 得 x＜－1 或 x＞2，又 u＝x2－x－2 在 (－∞，－1)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数，y＝log12u 为 减函数，故 f(x)的单调递增区间为(－∞，－1).故选 C.
函数的基本性质
知识点一 函数的单调性
1.单调性 (1)单调函数的定义
增函数
减函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义
域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当
定 x1<x2时，都有
义
f(x1)<f(x2)
，那么就说函数
f(x)在区间D上是增函
f(x1)<f(x2)
，那么就说函数f(x)在
(2)单调性、单调区间的定义
若函数f(x)在区间D上是增函数或 减函数，则称 函数 f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做 f(x)的单调区间.
2.函数的最值
前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
对于任意x∈I，都有 f(x)≤M ；
存在x0∈I，使得f(x0)＝M
例 如 定 义 在 R 上 的 函 数 f(x) 对 任 意 x1 ， x2(x1 ≠ x2) 都 有
f
（x
1）－f（x x1－x2
2）＜0，若
f(2x＋1)≤f(x－1)，则
x
的取值范围为
________.
解析 由f（x1）x1－－xf（2 x2）＜0 知函数 f(x)为减函数， 所以 2x＋1≥x－1，解得 x≥－2.
称 函数
2.周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非 零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x ＋T)＝ f(x) ，那么就称函数y＝f(x)为周期函 数，称T为这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中
存在一个最小的正数，那么这个 最小 正数就
对于任意x∈I，都有 f(x)≥M ；
存在x0∈I，使得 f (x0 ) M
结论
M为最大值
M为最小值
►单调性定义的两种变式.
(1)设任意 x1，x2∈[a，b]，且 x1＜x2，则
①f
（x
1）－f（x x1－x2
2）＞0(＜0)⇔f
(x
)在[a，b]上是增(减)函数.
②(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0(＜0)⇔f(x)在[a，b]上是增(减)函数.
知识点二 函数的奇偶性与周期性 1.函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x， 偶函数 都有 f(－x)＝f(x) ，那么函数f(x)是偶 关于
y轴 对
称
函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x， 奇函数 都有 f(－x)＝－f(x) ，那么函数f(x)是奇 关于 原点 对
答案 [－2，＋∞)
►单调性的两个易错点：单调性；单调区间.
（2）函数的单调递增(减)区间有多个时，不能用并集表示， 可以用逗号或“和”。
例如 函数 f(x)＝x＋1x的单调递增区间为________.
解析 由f(x)图象易知递增区间为(－∞，－1]，[1，＋∞). 答案 (－∞，－1]，[1，＋∞)
调区间.
(4)复合函数y＝f[g(x)]根据“同增异减”判断.
(5)利用函数的性质：如： ①当 k＞0 时，y＝kf(x)与 y＝f(x)单调性相同，当 k＜0 时，y＝kf(x)与 y＝f(x)单调性相反. ②y＝f（1x）与 y＝f(x)单调性相反(此时只能 f(x)＞0 或只 有 f(x)＜0). ③若 y＝f(x)，y＝g(x)都为增(减)函数，则 y＝f(x)＋g(x) 为增(减)函数； 若 y＝f(x)为增函数，y＝g(x)为减函数，则 y＝f(x)－g(x) 为增函数，y＝g(x)－f(x)为减函数.