鞍点定理在Lagrange乘数法上的应用

z
+
11 24
(
x2
+
y2
+
z2
-
16)
-
1 3
( x2
+
y2
+
z2
+2x
+2y
+ 2z
-
24) .
令
第 2 期 喻方元 ,等 :鞍点定理在 Lagrange 乘数法上的应用
107
5I 5x
=
x 4
-
2 3
=0,
55
I y
=
y 4
-
2 3
=0,
55
I z
=
z 4
+
1 3
=0,
[ 关键词 ] Lagrange 乘数法 ;条件极值 ;鞍点 ;鞍点定理 [ 中图分类号 ] O178 [ 文献标识码 ] A [ 文章编号 ] 167221454 (2009) 0220104205
1 问题的提出
众所周知 ,对于多元函数的条件极值问题
min f ( x) ,
s. t . g ( x) - a = 0 ,
(1)
有所谓 Lagrange 乘数法. 即作函数
L ( x ,λ) = f ( x) +λ( g ( x) - a) ,
令 xL = 0 , λL = 0 ,即
x f +λ x g = 0 ,
(2)
g ( x) - a = 0.
(3)
若条件极值问题 (1) 有解 ,则解必须满足方程 (2) , (3) ,这就是所谓 Lagrange 乘数法. 它仅仅给出了原问
106
大 学 数 学 第 25 卷
λ0 ( g ( x1 ) - g ( x0 ) ) ≥r > 0. 不妨设λ0 > 0 ,上式表明 :对于任意邻域 U ( x0 ,δ) ,存在 x1 ∈U ( x0 ,δ) ,使得
g ( x1 ) - g ( x0 ) ≥r > 0. 这与函数 g ( x) 在 x0 点的连续性矛盾. 故 f ( x) 在 x0 点取得极小值.
极大值. 显然 ,这种说法缺乏理论依据.
实际上依据定理 2 ,我们只需证明 ,点 ( x1 , y1 , z1 ,λ1 ,μ1 ) 是函数 L ( x , y , z ,λ,μ) 的鞍点即可. 为此 , 令
函数
I ( x , y , z) = L ( x , y , z ,λ1 ,μ1 )
=
L ( x0 ,λ) ≤L ( x0 ,λ0 ) ≤L ( x ,λ0 ) 成立 ,即 ( x0 ,λ0 ) 是 L ( x ,λ) 的鞍点.
3 应用举例
例 1 求解条件极值问题 z = x y2 , s. t . x - y = 0. 解 做 Lagrange 乘数函数
L ( x , y ,λ) = x y2 +λ( x - y) .
但是函数 z = x3 在 x = 0 点没有极值.
如何给出条件极值问题存在的充分条件就成为要解决的问题.
2 问题的解决
本文引进鞍点的概念 ,并运用鞍点定理证明 :若 ( x0 ,λ0 ) 是函数 L ( x ,λ) 的鞍点 , 则 x0 必定是条件极 值问题 (1) 的解.
本文总设所列函数具有连续的偏导数. 先证明若 x0 是满足问题 (1) 的解 ,λ0 是与 x0 相对应的 L agrange 乘子 ,则有 引理 记 X = { x| g ( x) - a = 0} , x0 = arg min f ( x) ∈X ,λ0 是与 x0 相对应的 L agrange 乘子 ,则有
令5L 5x
=
y2
+λ=
0,
5L 5y
=
2
x
y
-
λ=
0
,
5L 5λ
=
x y2
=0
,得
x0 = y0 = 0 , λ0 = 0 ,
L ( x0 , y0 ,λ) = 0 , L ( x0 , y0 ,λ0 ) = 0 , L ( x , y ,λ0 ) = x y2 .
不等式
L ( x0 , y0 ,λ0 ) = 0 ≤x y2 = L ( x , y ,λ0 ) 在点 ( x0 , y0 ,λ0 ) 的一个邻域 U (δ) 内不一定成立 ,所以点 ( x0 , y0 ,λ0 ) 不是鞍点 ,此条件极值问题无解.
例 2 求曲面 x2 + y2 + z2 = 16 与 x2 + y2 + z2 + 2 x + 2 y + 2 z = 24 交线的最高点和最低点的坐标. 解 目标函数为 u = z ,满足条件
φ1 ( x , y , z) = x2 + y2 + z2 - 16 = 0 , φ2 ( x , y , z) = x2 + y2 + z2 + 2 x + 2 y + 2 z - 24 = 0. 作拉格朗日函数 L ( x , y , z) = z +λφ1 +μφ2 ,由拉格朗日乘数法知
L ( x0 ,λ) ≤L ( x0 ,λ0 ) ≤L ( x ,λ0 ) .
[ 收稿日期 ] 2006210227
第 2 期 喻方元 ,等 :鞍点定理在 Lagrange 乘数法上的应用
105
证 L ( x0 ,λ) = f ( x0 ) +λ( g ( x0 ) - a) ≤L ( x0 ,λ0 ) = f ( x0 ) +λ0 ( g ( x0 ) - a) . 因为所求问题的极值存在 ,由 (2) , (3) 式联立解出的点 x0 及λ0 对应的必然是函数 L ( x ,λ) 的极小值点 ,
(ii) g ( x0 ) - a = 0. 由 (i) 知
L ( x0 ,λ0 ) = f ( x0 ) +λ0 ( g ( x0 ) - a) ≤L ( x ,λ0 ) = f ( x) +λ0 ( g ( x) - a) , 所以
f ( x) +λ0 ( g ( x) - a) - f ( x0 ) - λ0 ( g ( x0 ) - a)
题的极值存在的必要条件.
即使满足方程 (2) , (3) 的解 x0 惟一 ,此点 x0 也未必就是原问题的极值点.
例如条件极值问题 z = x y2 , s. t . x - y = 0 ,做 Lagrange 乘数函数
L = x y2 +λ( x - y) .
令 x L = 0 , λL = 0 ,得唯一解 x = y = 0.
得
x1
=
8 3
, y1
=
8 3
, z1
=
-
4 3
,则
L ( x1 , y1 , z1 ,λ,μ) = L ( x1 , y1 , z1 ,λ1 ,μ1 ) = -
4 3
,
A
=
52 I 5 x2
=
1 4
,
B
=
52 I 5 y2
=
1 4
,
C
=
52 I 5 z2
=
1 4
,
D
=
52 I 5 x5 y
=0,
第 25 卷第 2 期 2009 年 4 月
大 学 数 学
COLL E GE MA T H EMA TICS
Vol . 25 , №. 2 Apr. 2009
鞍点定理在 L agrange 乘数法上的应用
喻方元 , 于 寅
(湖北汽车工业学院 理学部 ,湖北 十堰 442002)
[ 摘 要 ] 将鞍点的概念运用在 Lagrange 乘数法上 ,给出了多元函数的条件极值问题存在的一个充要 条件.
x1
=
8 3
,
λx +μx +μ= 0 , λy +μy +μ= 0 ,
y1
=
8 3
,
1 + 2λz + 2μz + 2μ= 0 ,
解得 z2 = -
4 3
,
或
x2 + y2 + z2 - 16 = 0 , x2 + y2 + z2 + 2 x + 2 y + 2 z - 24 = 0.
λ1
=
故
L ( x1 , y1 , z1 ,λ,μ) ≤L ( x1 , y1 , z1 ,λ1 ,μ1 ) ≤L ( x , y , z ,λ1 ,μ1 ) ,
即点 ( x1 , y1 , z1 ,λ1 ,μ1 ) 是函数 L ( x , y , z ,λ,μ) 的一个鞍点. 由定理 2 知 , z = -
故 ( x0 ,λ0 ) 为鞍点. 定理 2 f ( x0 ) 是满足条件 g ( x) - a = 0 下函数 f ( x) 的极小值的充要条件是 ( x0 ,λ0 ) 是函数 L ( x ,λ)
的鞍点. 证 充分性. 若 ( x0 ,λ0 ) 是 L ( x ,λ) 的鞍点 ,由鞍点定理 ,有 (i) x0 = arg minL ( x ,λ0 ) ∈X ;
E
=
52 I 5 x5z
=0,
F
=
52 I 5 y5z
= 0.
三阶 Hesse 矩阵
AD E
1 4
0
0
J= D B F = 0
1 4
0
EFC
0
0
1 4
为正定矩阵 ,函数 I ( x , y , z) 在点 ( x1 , y1 , z1 ) 取得极小值. 即
I ( x1 , y1 , z1 ) ≤I ( x , y , z) 或 L ( x1 , y1 , z1 ,λ1 ,μ1 ) ≤L ( x , y , z ,λ1 ,μ1 ) ,
L ( x ,λ) = f ( x) +λ( g ( x) - a) , λ∈R
满足不等式
L ( x0 ,λ) ≤L ( x0 ,λ0 ) ≤L ( x ,λ0 ) , Π (λ, x) ∈U (δ) , 则称 ( x0 ,λ0 ) 为鞍点.
定理 1 (鞍点定理) ( x0 ,λ0 ) 是函数 L ( x ,λ) 的鞍点的充分必要条件是下列两条成立 : (i) x0 = arg minL ( x ,λ0 ) ;
11 24
,
μ1 = -
1 3
,
x2 = 0 ,
y2 = 0 ,
z2 = 4 ,
λ2 = -
1 8
,
μ2 = 0.
一般教科书上都指出 ,由问题本身可知 ,曲线的最高点和最低点一定存在 , 所以曲线的最低点坐标
为
8 3
,
8 3
,
-
4 3
,最高点坐标为 (0 , 0 , 4) ,即目标函数在点 ( x1 , y1 , z1 ) 取得极小值 ,在点 ( x2 , y2 , z2 ) 取得
(ii) g ( x0 ) - a = 0. 证 必要性. 因为 ( x0 ,λ0 ) 为鞍点 ,所以
L ( x0 ,λ) ≤L ( x0 ,λ0 ) ≤L ( x ,λ0 ) . 从而 L ( x0 ,λ0 ) ≤L ( x ,λ0 ) ,即 x0 是函数 L ( x ,λ0 ) 的极小值点 ,
必要性. 若 f ( x0 ) 是满足条件 g ( x) - a = 0 下函数 f ( x) 的极小值 , 即 x0 = arg min f ( x) ∈X , g ( x0 ) - a = 0. 设λ0 是与 x0 相对应的 L agrange 乘子 ,则 由 引 理 知 , 存 在 ( x0 ,λ0 ) 的 某 个 邻 域 U (δ) , 使不等式
x0 = arg minL ( x ,λ0 ) .
又
L ( x0 ,λ) = f ( x0 ) +λ( g ( x0 ) - a) ≤L ( x0 ,λ0 ) = f ( x0 ) +λ0 ( g ( x0 ) - a) ,
由此得
由λ的任意性知
(λ0 - Leabharlann Baidu) ( g ( x0 ) - a) ≥0.
充分性. 设 则
g ( x0 ) - a = 0. x0 = arg minL ( x ,λ0 ) , g ( x0 ) - a = 0 ,
于是
L ( x0 ,λ0 ) ≤L ( x ,λ0 ) .
L ( x0 ,λ) = f ( x0 ) +λ( g ( x0 ) - a) = f ( x0 ) +λ0 ( g ( x0 ) - a) = L ( x0 ,λ0 ) ≤L ( x ,λ0 ) = f ( x) +λ0 ( g ( x) - a) ,
即
L ( x0 ,λ0 ) = f ( x0 ) +λ0 ( g ( x0 ) - a) ≤L ( x ,λ) = f ( x) +λ( g ( x) - a) . 特别地 ,取λ=λ0 时 ,有
L ( x0 ,λ0 ) = f ( x0 ) +λ0 ( g ( x0 ) - a) ≤L ( x ,λ0 ) = f ( x) +λ0 ( g ( x) - a) . 定义 设 f ( x) , g ( x) 为连续函数. 若存在 ( x0 ,λ0 ) 的某个邻域 U (δ) ,使得函数
= f ( x) - f ( x0 ) +λ0 ( g ( x) - g ( x0 ) ) ≥0.
(4)
假如 f ( x) 在 x0 点不取得极小值 ,则对于任意邻域 U ( x0 ,δ) ,存在点 x1 ,使得
令 r = f ( x0 ) - f ( x1 ) ,由 (4) 式知
f ( x1 ) < f ( x0 ) .