2009年北京大兴区初三数学模拟练习二

2009年北京大兴区初三数学模拟练习二 2009.06
一、选择题1.－5的倒数是( ) A. 51 B. 5
1
- C. 5 D. －5 2.在函数3
1-=
x y 中，自变量x 的取值范围是( ) A. 3≠x B. 3>x C. 3<x D. 3≥x
3..下列计算中正确的是 ( ) A.
416= B. 842-=- C. 734)(a a =
D. 3
3)(ab ab =
4.解集在数轴上表示为如图所示的不等式组是（ ） A ．3
2
x x >-⎧⎨⎩≥
B ．3
2
x x <-⎧⎨
⎩≤
C ．3
2
x x <-⎧⎨
⎩≥
D ．3
2
x x >-⎧⎨
⎩≤
第4题图
5..已知甲乙两组数据的平均数都是5，甲组数据的方差2
112S =甲，乙组数据的方差2
110
S =乙则（ ） Ａ．甲组数据比乙组数据的波动大
Ｂ．乙组数据比甲组数据的波动大
Ｃ．甲组数据与乙组数据的波动一样大
Ｄ．甲乙两组数据的波动大小不能比较
6.如图，在正方形网格上有6个三角形①△
ABC
，②
△BCD ，③ △BDE ，④ △BFG ，⑤ △FGH ，⑥ △EFK ，其中②～⑥中与三角形①相似的是 （ ）
A 、②③④
B 、③④⑤
C 、④⑤⑥
D 、②③⑥
7 ．北京市一居民小区为了迎接2008年奥运会，计划将小区内的一块平行四边形ABCD 场地进行绿化，如图阴影部分为绿化地，以A 、B 、C 、D 为圆心且半径均为m 3的四个扇形的半径等于图中⊙O 的直径，已测得m AB 6=，则绿化地的面积为( )2
m A. 18π
B. 36π
C.
4
45π D.
2
9π 8．定义b a ab b a ++=*，若273=*x ，则x 的值是（ ）A. 3 B. 4 C.6 D.9 9．将0.002008用科学记数法表示为_______________.
10．如图，图中的小方格都是边长为1的正方形， △ABC 与△A ′ B ′ C ′是关于点0为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．则△ABC 与△A ′B ′C ′的位似比为 .
第10题图
11．抛物线c bx x y ++-=2
的部分图象如图所示，若0>y ，则x 的取值范围是 . 12．如图，一个人握着板子的一端，另一端放在圆柱上，某人沿水平方向推动板子带动圆柱向前滚动，假设滚动时圆柱与地面无滑动，板子与圆柱也没有滑动．已知板子上的点B （直线与圆柱的横截面的切点）与手握板子处的点C 间的距离BC 的长为L m ，当手握板子处的点C 随着圆柱的滚动运动到板子与圆柱横y –1 1
3
O
x
(第11题图)
C
13．先化简，再求值： (12-x x －x x -12)÷1
-x x
,其中x ＝3＋1.
14．计算：0
tan 60(51)139-+-+-
15． 已知关于x 的一元二次方程0)1(2)2(2
=+--+m x m x m 有实数根，求m 的取值范围.
解：
16．如图，反比例函数k
y x
=
的图象与一次函数y mx b =+的图象交于(13)A ，，(1)B n -，两点． （1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）根据图象回答：当x 取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值．
17.如图,电线杆AB 直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD 和地面BC 上，若CD 与地面成︒45角，
︒=∠60A ，m CD 4=，m BC )2
264(-=，则电线杆AB 的长为多少米？
18．将正面分别标有数字2，3，4，背面花色相同的三张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上. （1）随机地抽取一张，求这张卡片上的数字为偶数的概率； （2）随机地抽取一张作为个位上的数字（不放回），再抽取一张作为十位上的数字，能组成哪些两位数？恰好为“24”的概率是多少？ 解： y x
A
O B 第16题图
19．（本题满分5分）如图，AB 是半⊙O 的直径，弦AC 与AB 成30°的角，CD AC =. （1）求证：CD 是半⊙O 的切线； （2）若2=OA ，求AC 的长.
20．国民体质监测中心等机构开展了青少年形体测评.专家组随机抽查了某市若干名初中学生坐姿、站姿、走姿的好坏情况.我们对专家的测评数据作了适当处理(如果一个学生有一种以上不良姿势，我们以他最突出的一种作记载)，并将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请你根据图中所给信息解答下列问题： （1）请将两幅统计图补充完整；（2）在这次形体测评中，一共抽查了 名学生，如果全市有10万名初中生，那么全市初中生中，三姿良好的学生约有 人；（3）根据统计结果，请你简单谈谈自己的看法.
21．定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连结它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径.（1）如图，损矩形ABCD ，∠ABC=∠ADC=︒90，则该损矩形的直径是线段______.
（2）①在损矩形ABCD 内是否存在点O ，使得A 、B 、C 、D 四个点都在以O 为圆心的同一圆上，如果有，
请指出点O 的具体位置. ②如图，直接写出符合损矩形ABCD 的两个结论（不能再添加任何线段或点） 答：
22．（本题满分5 分）某服装店老板到厂家选购A 、B 两种品牌的服装，若购进A 品牌的服装5套，B 品
牌的服装6套，需要950元；若购进A 品牌的服装3套，B 品牌的服装2套，需要450元. （1） 求A 、B 两种品牌的服装每套进价分别为多少元？
（2） 若销售1套A 品牌的服装可获利30元，销售1套B 品牌的服装可获利20元，根据市场需求，服
装店老板决定，购进B 品牌服装的数量比购进A 品牌服装数量的2倍还多4套，且B 品牌服装最多可购进40套，这样服装全部售出后，可使总的获利不小于1200元，问有几种进货方案？如何进货？
23．如图所示，在平面直角坐标中，四边形OABC 是等腰梯形，BC∥OA，OA=7，AB=4，∠ COA=60°，点P 为x 轴上的—个动点，但是点P 不与点0、点A 重合．连结CP ， D 点是线段AB 上一点，连PD. (1)求点B 的坐标； (2)当点P 运动到什么位置时，△OCP 为等腰三角形，求这时点P 的坐标； (3)当∠C PD=∠OAB，且AB BD =8
5
，求这时点P 的坐标. 第23题图
24．我们知道：将一条线段AB 分割成大小两条线段AC 、CB ，若小线段CB 与大线段AC 的长度之比等于大线段AC 与线段AB 的长度之比，即
...49896180339887.02
1
5=-==AB AC AC CB 这种分割称为黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点.
（1） 类似地我们可以定义，顶角为︒36的等腰三角形叫黄金三角形，其底与腰之比为黄金数，底角平分线与腰的交点为腰的黄金分割点.如图24-1，在ABC ∆中，︒=∠36A ，,AC AB =ACB ∠的角平分线CD 交腰AB 于点D ，请你说明D 为腰AB 的黄金分割点的理由.
(2) 若腰和上底相等,对角线和下底相等的等腰梯形叫作黄金梯形,其对角线的交点为对角线的黄金分割点. 如图24-2,AD ‖BC ,DC AD AB ==,BC BD AC ==,试说明O 为AC 的黄金分割点. (3)如图24-3,在ABC Rt ∆中,︒=∠90ACB ,CD 为斜边AB 上的高，ACB B A ∠∠∠、、的对边分别为c b a 、、.若D 是AB 的黄金分割点，那么c b a 、、之间的数量关系是什么？并证明你的结论.
24-1 图24-2 图24-3
25.已知,抛物线c bx ax y ++=2
过点)0,3(-A ,)0,1(B ,)3,0(C ，此抛物线的顶点为D. （1）求此抛物线的解析式；（2）把ABC △绕AB 的中点M 旋转180 ，得到四边形AEBC .
①求E 点的坐标；②试判断四边形AEBC 的形状，并说明理由．
（3）试探求：在直线BC 上是否存在一点P ，使得PAD △的周长最小，若存在，请求出点P 的坐标，若
不存在，请说明理由．
大兴区二模答案
B B A D B B
C C 9．2.008×10-3 10．1:2 11．13<<-x 12．2L 13．解：原式=x x x x x x 1)121(
-⋅-+- =x
x x x x 1
1)2(-⋅
-+ =2+x 把x =13+代入原式33+= 14．解：原式=13133-++- =3
15．解：∵关于x 的一元二次方程0)1(2)2(2
=+--+m x m x m 有实数根∴[]⎩
⎨⎧≠+≥+---=∆020
)2(4)1(22m m m m
∴⎩⎨⎧≠+≥+-0
20416m m ∴m 的取值范围是：241-≠≤m m 且
16．解：（1）∵A （1，3）在x k y =
的图象上，∴k =3，∴x y 3=又∵)1,(-n B 在x
y 3
=的图象上， ∴3-=n ，即)1,3(--B ∵y =mx +b 过A （1，3），B （－3，－1） ⎩
⎨⎧+-=-+=b m b
m 313
解得：⎩
⎨⎧==.2,1b m ∴y =x +2 反比例函数的解析式为x y 3
=， 一次函数的解析式为2
+=x y （2）从图象上可知，当103<<-<x x 或时， 反比例函数的值大于一次函数的值
17． 解：延长AD 交地面于E ，作DF ⊥BE 于F ， ∵∠DCF =45°，又CD =4，∴CF =DF =22， 由题意知AB ⊥BC ， ∴∠EDF =∠A =60°，∴∠DEF=30°∴EF =62，BE =BC +CF +FE =66.在Rt △ABE 中，∠E =30°，所以AB =BE tan30°=263
3
66=⨯
（m ）.∴电线杆AB 的长为62米.
18．解：（1）随机地抽取一张，所有可能出现的结果有3个，每个结果发生的可能性都相等，其中卡片
上的数字为偶数的结果有2个.所以P （偶数）=3
2
（2）随机地抽取一张作为个位上的数字（不放回），
再抽取一张作为十位上的数字，能组成的两位数为：23，24，32，34，42，43 P （恰好是“24”）=61
19．（1）连结OC ∵OA =OC ，∠A =30°∴∠A =∠ACO =30°∴∠COD =60° 又∵AC =CD ，∴∠A =∠D =30°.∴∠OCD =180°－60°－30°=90° ∴CD 是半⊙O 的切线（2）连结BC ∵AB 是直径，∴∠ACB =90° 在Rt △ABC 中，∵cos A =
AB
AC
AC=ABcosA=4×3223=∴AC=32
20．解：（1）扇形图中填：三姿良好12%，条形统计图，如图所示
（2）500，12000（3）答案不唯一，只要点评具有正确的
导向性，且符合以下要点的意思，均可给分 要点：中学生应该坚持锻炼身体，努力纠正坐姿、站姿、走姿中的不良习惯，促进身心健康发育
21． （1）线段AC （2）①在损矩形ABCD 内存在点O,使得A 、B 、C 、D 四个点都在以O 为圆心的同一个圆上，O 是线段AC 的中点. ②ABCD 是圆内接四边形；∠ADB =∠ACB ；ABCD 的面积等于2
1
（AD ·DC +AB ·BC ）； 22．解：（1）设A 种品牌的服装每套进价为x 元，B 种品牌的服装每套进价为y 元， 由题意得：⎩
⎨
⎧=+=+45023950
65y x y x 解得⎩
⎨⎧==75100y x 答：A 、B 两种品牌的服装每套进价分别为100元、75元. （2）设A 种品牌的服装购进
m 套，则B 种品牌的服装购进（2m +4）套.
根据题意得：⎩
⎨
⎧≥++≤+1200)42(20304042m m m 解得16≤m ≤18 ∵m 为正整数，∴m =16、17、18 ∴2m +4=36、38、40 答：有三种进货方案 ①A 种品牌的服装购进16套，B 种品牌的服装购进36套.
②A 种品牌的服装购进17套，B 种品牌的服装购进38套.③A 种品牌的服装购进18套，B 种品牌的服装购进40套.
23．解：（1）作BQ ⊥x 轴于Q.∵四边形OABC 是等腰梯形，∴∠BAQ =∠COA =60°在Rt △BQA 中，BA =4， ∴BQ =AB ·sin ∠BAO =4×sin60°=32 AQ =AB ·cos ∠BAO =4×cos60°=2， ∴OQ=OA －AQ=7－2=5点B 在第一象限内，∴点B 的坐标为（5，32）
（2）若△OCP 为等腰三角形，∵∠COP =60°， ∴△OCP 为等边三角形或是顶角为120°的等腰三角形 若△OCP 为等边三角形，OP =OC =PC =4，且点P 在x 轴的正半轴上， ∴点P 的坐标为（4，0） 若△OCP 是顶角为120°的等腰三角形，则点P 在x 轴的负半轴上，且OP =OC =4∴点P 的坐标为（－4，0）∴点P 的坐标为（4，0）或（－4，0）
（3）∵∠CPA =∠OCP +∠COP 即∠CPD +∠DPA =∠COP +∠OCP 而∠CPD =∠OAB=∠COP =60° ∴∠OCP =∠DPA ∵∠COP =∠BAP ∴△OCP ∽△APD ∴
AP
OC
AD OP =
∴OP ·AP =OC ·AD ∵8
5=AB BD ∴BD =85AB=25，AD=AB －BD=4－25=23 ∵AP =OA －OP =7－OP ∴OP （7－OP ）=4×23
解得OP =1或6∴点P 坐标为（1，0）或（6，0）
图24-1 图24-2 图24-3
1
的角平分线,∴∠DCB =
21
∠ACB =36°， ∴∠A =∠DCB . 又∵∠ABC =∠CBD ∴△ABC ∽△CBD ∴BD
CB
CB AB =
.∵∠ABC=∠ACB=72°∴∠BDC=∠ABC=72°∴BC=CD 同理可证，AD=CD ∴BC =DC =AD ,∴BD
AD
AD AB =
∴D 为腰AB 的黄金分割点. （2）证明：在△ABC 和△DCB 中，∵AB =DC ，AD ∥BC ， ∴∠ABC =∠DCB . 又∵BC =BC ， ∴△ABC ≌△DCB .
∴∠ACB =∠DBC =α∵AD ∥BC ， ∴∠DBC =∠BDA =α ∵AB=AD ∴∠ABD=∠BDA=α∴∠ABC =2α. ∵AC =BC , ∴∠ABC =∠CAB =2α 在△ABC 中,∵∠ABC +∠ACB +∠BAC =180°∴5α=180°∴α=36° 在等腰△ABC 中, ∵BO 为∠ABC 的角平分线，∠ACB =α=36°∴O 为腰AC 的黄金分割点， 即
CO
AO
AC CO =
（3）a 、b 、c 之间的数量关系是b 2=ac . ∵∠ACB =90°,CD ⊥AB ∴∠ACB =∠ADC =90°∵∠A =∠A ∴△ACB ∽△ADC ∴
AC
AB
AD AC =
即AC 2=AD ·AB ∴b 2
=AD ·c 同理可证， a 2
=BD ·c ∴AD =c b 2 ① BD =c
a 2
② 又∵D 为AB 的黄金分割点，
∴AD 2=BD ·c ③把①、②代入③得 b 4=a 2c 2∵a 、c 均为正数， ∴b 2=ac ∴a 、b 、c 之间的数量关系为
b 2=ac.
25．解：（1）∵c bx ax y ++=2过C （0，3）∴32++=bx ax y 又c bx ax y ++=2过点A （－3，0）B （1，0）∴⎪⎩⎪⎨⎧++=+-=3
03390b a b a ∴⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧-=-=33233b a ∴此抛物线的解析式为3332332+--=x x y （2）①△ABC 绕AB 的中点M 旋转180°.可知点E 和点C 关于点M
对称，∴
M （－1，0），C （0，3），∴E （－2，-3）.②四边形AEBC 是矩形. ∵△ABC 绕AB 的中点M 旋转180°得到四边形AEBC,∴△ABC ≌△AEB ∴AC =EB ,AE =BC ∴AEBC 是平行四边形在Rt △ACO 中,OC =3,OA =3∴∠CAB =30°∵AEBC 是平行四边形∴AC ∥BE ∴∠ABE =30°在Rt △COB 中∵OC =3,OB =1∴∠CBO =60°∴∠CBE =∠CBO +∠
ABE =60°+30°=90°ABEC 是矩形. （3）假设在直线BC 上存在一点P ，使△PAD 的周长最小.因为AD 为定值，所以使△PAD 的周长最小，就是PA +PD 最小； ∵AEBC 是矩形，∴∠ACB =90°∴A (－3,0)关于点C (0,3)的对称点A 1 (3，23). 点A 与点A 1也关于直线BC 对称. 连接A 1D ，与直线BC 相交于点P ，连接PA ，则△PAD 的周长最小. ∵B （1，0）、C （0，3） ∴BC 的解析式为33+-=x y ∵A 1（3，23）、D （－1，
3
3
4）∴A 1D 的解析式为23363+
=x y . ∴⎪⎩⎪⎨⎧+=+-=2336333x y x y ∴⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧=
-=731073y x ∴P 的坐标为（7310,73-）。