配分函数

浅谈对配分函数的理解

光信息科学与技术 王倩倩 1111120124

摘要：配分函数是一个统计物理学中经常用到的概念，它将微观物理状态与宏观物理量相互联系起来，是联系微观物理状态和宏观物理量的桥梁。

关键词：配分函数 物理意义 应用

一．引言 众所周知，关于热现象的理论分为宏观方面的和微观方面的，这也就是我们经常说的热

力学和统计物理学。统计物理学根据对物质微观结构及微观粒子相互作用的认识，用概率统计的方法，对由大量粒子组成的宏观物体的物理性质及宏观规律作出微观解释的理论物理学，它认为表征系统宏观性质的宏观量是大量微观粒子的统计平均值。所以，我们完全可以通过对微观世界的研究来探索宏观的物理性质。

然而，我们都知道，微观粒子运动是非常复杂的也是非常多样的，我们不能完全采用宏

观的方法和手段来认知微观世界的物理现象，微观世界需要有适合自己的一套理论，微观量研究清楚了，宏观性质也就可以相应地被表示出来。

配分函数就是跨接宏观和微观的桥梁，通过配分函数，我们就能够很容易地实现用复杂

的微观量来表示系统的宏观性质了，我想，这也应该是统计物理学的一个非常重要的研究思想和方法吧。

下面，就对配分函数本身谈一些个人浅陋的理解。

二．对配分函数物理意义的理解

要想熟悉运用配分函数，毋庸置疑，我们必须对它的物理意义有一个深入的了解。

首先，配分函数体现了粒子在各能级的分配特性。由i e n i βεαω--=，得

Z e e e e n N i i i i

i i i βεβεαβεαωω-----====∑∑∑，其中，Z 即为配分函数，i 为能级数，我们可以通过计算得到：ωβεi e Z N ni -=即Z e N

ni i ωβε-=,我们很清楚的看到，一个粒子出现在能级εi 的概率被表示出来了，这个值越大，系统的N 个粒子分配到对应能级的粒子数就越多，表达式中含有Z ，所以，我们不难理解，Z 值直接影响了粒子在各个能级的分配情况。因此，我们说，配分函数体现了粒子在各个能级的分配特性。

其次，配分函数表示了单个粒子所有可能的状态之和。我们可以将Z 的求和项作展开，得到若干项，每一项对应为粒子可能的一个状态，也就是波尔兹曼因子。由于各个波尔兹曼因子中的能级是描述单个粒子运动状态性质的量，所以Z 这个物理量就是表示单个粒子所

有可能的状态之和。

此外，配分函数是一个状态函数。配分函数是系统各微观态的总体反映, 系统的宏观态

一旦确定, 配分函数的值是唯一的, 所以配分函数是一个状态函数。

配分函数也是特性函数。系统宏观量是相应的微观量的统计平均值, 这是统计物理学的

一个基本原理，而配分函数是系统各微观状的总体反映。知道了系统的配分函数，可以求得

系统的基本热力学函数，从而确定系统平衡态的全部热力学性质。由此可见，系统的宏观量

可以通过配分函数求出。配分函数 Z 可求出系统的热力学函数，所以配分函数是一个特性

函数。

综上所述，配分函数的物理意义主要体现在粒子状态的“ 配分”，即粒子在各种不同的

能级或量子态的分布状况，配分函数就是充分描述这种分布特性的物理量。而统计物理学最

关键的问题恰恰是热力学系统中微观粒子的分布问题。同时, 配分函数还体现了特性函数的

性质, 而统计物理学的核心内容正是利用配分函数的这种特殊性质来搭架微观到宏观的桥

梁。

因此充分认识、理解配分函数的物理意义对学习掌握统计物理学具有很大的帮助。

三．配分函数的应用

在经典体系中，能量可以取到连续值。我们分别来看一下麦克斯韦-波尔兹曼分布以及

气体分子在重力场中的分布。

首先看麦克斯韦-波尔兹曼分布，若气体分子的哈密顿量为

)(21)(222x E mv x E m P H p p +=+=，并利用教材中7.1.18式，由Z 的物理意义，可以得到

在最可几状态下体系中分子分布于速度v 到v+dv ，位置x 到x+dx 间的分子比率dN/N 。

在重力场中mgh E p =，令ε=ε（h ），则mgh

mv +=22

1ε，将麦克斯韦-波尔兹曼中算得的dN/N 的表达式对整个速度空间及某一平面积分后，可得在最可几状态下，高度h 到

h+dh 之间内，具有各种速度的气柱内的分子比率。

现在，我们来看一下量子体系中的情况。在量子体系中，我们都知道，能量只能去离散

会系处于第i 状态时的能量简并度为A i ），来计算其配分函数及其他热学量。

在计算配分函数时，由于每种系统的配分函数形式有所差别，我们很容易就张冠李戴了，

为了避免这种情况的发生，我觉得，我们应该了解并熟悉各种典型的系统的配分函数，这样，

我们在做计算的时候，只要知道了系统粒子的组成成分，我们就仅需要往公式里面代值就可

以了，在我看来，这种方法虽然有些死板，但是对于像我这种初学者来说，这一点还是很重

要的。

在最开头，我们说到，配分函数是联系宏观物理量与微观世界的桥梁，对配分函数有了

足够的理解，我们才能充分理解这句话的意思，通过对配分函数研究微观下的状态的研究，

我们可以很容易也很方便地求得系统内能、自由能等一些宏观的物理量，说它是跨接宏观与微观的桥梁，一点也不为过！

参考文献：

[ 1] 李鸿寅. 热力学及统计物理[M] . 河南: 河南大学出版社, 1988. 194. 194- 195

[ 2] 苏安. 配分函数的物理意义和作用《新疆师范大学学报》（自然科学版）第25卷第一期2006年3月

[ 3] 汪志诚. 热力学. 统计物理( 第三版) [ M] . 北京: , 高等教育出版社2003. 248- 252. 254- 255

[ 4] 蔡群李俊生配分函数应用探索黄淮学刊第13卷第3期1997年9月