关于斜插管马鞍口及开孔计算公式的探讨

关于斜插管马鞍口及开孔计算公式的探讨随着技术的进步，现在在平台上放大样已经很少了，基本都是用计算的方法，但是真正会计算的职工并不多，尤其是新进的职工，因为虽说现在出版的关于计算的书很多，但大部分书中只有一个计算公式，并不说明次公式是怎么来的，把我们的大部分的职工看的一头雾水，公式看不懂，硬套公式得出来的结果就不知道是什么，所以有必要对公式进行探讨。

斜插管是我们工作中经常遇到的，所以我们在这里先探讨斜插管马鞍口及开孔的计算公式。

（一）马鞍口计算公式探讨
参考马鞍口参考图我们先讨论马鞍口的计算公式，在这里我们设已知主管半径为R,支管半径为r,支管与主管之间的夹角为β，支管等分点与纵向直径之间的夹角为α，在这里我们必须先搞明白，主视图和左视图是不一样的，即左视图各等分点与纵向直径的夹角的度数是90度减主视图各等分点与纵向直径的夹角的度数。

举一例，若主视图夹角为30度，则左视图夹角必为60度（90-30）。

只有主视图夹角为45度时，左视图夹角才等于主视图夹角，即90-45=45度。

我们知道在放大样时，是放完样直接量取每条素线的长度，然后据此作出马鞍口。

这种方法误差比较大，计算法比较精确，计算法是利用三角函数直接计算出每条素线的长度，然后据此画出马鞍口。

大家看图，我们以素线L5的长度计算进行说明，在直角三角形Ⅱ中，L5即是它的斜边，我们已经知道其中的一个角（即是支管与主管的夹角β），只要再算出这个角的对边B的长度，即可利用正弦函数计
算出L5的长度，即sinβ=B／L5，该公式变形后即为L5=B／sinβ(公式一)要想知道B的长度，只需用H的长度减去A和C的长度，即B=H-A-C。

先讨论H，H是支管上端口中心到主管中心的垂直距离，它的长度我们可以事先假定一个具体数值，只要这个数值大于支管插入主管深度的长度就可以。

再讨论“-A”,A本身是指各等分点到支管端口中心的垂直距离，我们看到主视图的支管端口各等分点到支管中心的垂直距离在支管端口中心以下的（即主视图4至7点到支管中心的垂直距离）已经包括在H长度之内，所以在支管端口中心以下的用“-A”。

而主视图的支管各等分点的到支管中心的垂直距离在支管中心以上的（即主视图4至1点到支管中心的垂直距离）不包括在H长度之内，所以在支管端口中心以上的必须用“+A”。

即B=H±A-C（公式二）再次我们来讨论“A”本身的值，“A”是指主视图上支管端口中心到支管各等分点的垂直距离，计算L5时，即是指中心点到5点的垂直距离，即是直角三角形Ⅰ的一个直角边。

在直角三角形Ⅰ中，如果知道它的斜边和斜边与该直角边的夹角“ε”，即可用余弦公式求出该直角边即“A”值。

在直角三角形Ⅰ中，＜ε＋＜γ＝90度，而支管端口线与其中心线则垂直相交，即＜γ＋＜β＝90度，则＜γ＝＜β，即斜边与该直角边的夹角就是支管与主管的夹角“β”，再看斜边，斜边很明显就是支管等分点到支管中心线垂直距离“X”，在这里利用以知的支管半径r和等分角α再套用正弦公式即可求出“X”长度。

推导如
下：sin α=X ／r,得出X=rsin α。

在直角三角形Ⅰ中，已知该直角边A 与斜边的夹角β和斜边X=rsin α，利用余弦公式即可求出A 的长度，如下：cos β=A ／X,推导出A=Xcos β=rsin αcos β(公式三)
再讨论“-C ”，C 是指支管等分线与相贯线（支管与主管的）的交点到主管中心线的垂直距离，已经包括在H 值的长度之内，所以用“-C ”。

再讨论C 值，我们来看左视图，在直角三角形Ⅲ中，C 值是它的一条直角边，我们已知R 是它的斜边，如果能求出另一条直角边Y ，则可利用勾股定理求出C 值。

而另一条直角边就是支管端口等分点到支管中心线的垂直距离(Y),我们利用已知的支管半径r 与半径和δ=90-α（参考第一段的说明）还有正弦定理求出Y 值，即：sin δ=sin(90-α)=Y/r 。

变形后即是：Y=rsin(90-α)，那么在直角三角形Ⅲ中，R 值和Y 值都是已知的了，利用勾股定理就可以求出C 值，即：C=)(22Y R -=()[]{}2290sin α--r R ---(公式四)
把上述公式三和公式四带入公式二，得到如下公式:
B= H ± rsin αcos β-()[]{}2290sin α--r R 再将这个公式带入公式一得到最终的马鞍口计算公式，即各条素线长度的计算公式。

如下：
L= 【H ± rsin αcos β（主视图）-()[]{}2290sin α--r R （左视图）】／sin β（左视图）
（二）开孔计算公式探讨
参考开孔计算参考图我们讨论开孔计算公式，我们知道开孔需知道各等分点之间的横向距离和过各等分的弧长，然后据此画出孔上的各点，顺序连接画出开孔图。

我们先讨论过各等分点的弧长，参考
开孔图我们看到左视图上支管各等分线与主管的交点到中心线所形成的弧即反映实际弧长。

根据弧长公式L=πRγ/180,在这个公式中，我们已知π和R(主管半径)只要再求出该弧所对的角γ，我们就能求出该弧长L。

在直角三角形Ⅱ中，已知斜边R，只要在求出角γ所对的边Y值，就可以利用反正弦函数求出角γ的度数，而Y值就是左视图中支管端口等分点到中心线的垂直距离，在此我们利用支管半径r和等分角度δ=90-α（参考马鞍口探讨第一段）,我们利用正弦函数即可求出Y值，即:sin(90-α)=Y/r,变形后即是Y=rsin(90-α), 在直角三角形Ⅱ中，sinγ=Y/R=rsin(90-α)/R,然后利用反正弦函数求出γ的度数，即：γ=arc【rsin(90-α)/R】将此角度带入弧长公式就可以求出各等分点的实际弧长。

如下：L=πR×arc【rsin(90-α)/R】/180。

我们再来探讨各等分点之间的横向距离公式，我们来看主视图，在这里需要明确：开孔横向距离所指的距离是支管各等分线与相贯线（支管与主管的）各交点之间的距离，而不是支管各等分线与主管最高处素线各交点之间的距离，例如:等分线5的弧长穿过B点，而不是穿过A点。

即：开孔中心点（O点）到B点之间的横向距离，在这里我们先求出中心点到A点的横向距离OA，再减去A点到B点之间的横向距离F的长度。

【当然，支管等分线5，6，7与主管最高素线的交点到中心点的距离（OA长度）已包括该交点到该等分线与相贯线的交点之间的距离（F长度），所以减去这个距离；而支管等分线3，2，1与主管最高素线的交点到中心点的距离则不包括该交点到该等分线与相贯线的交点之间的距离，所以必须加上这个距离；而
支管等分线4则可直接求出该等分线与相贯线交点到中心点之间的距离】综合以上分析可得出支管各等分线与相贯线各交点到中心点的距离公式H=OA±F(公式A)
我们讨论OA的长度计算，在直角三角形Ⅲ中，OA是它的斜边，我们知道一个角，即支管与主管的夹角β，如果我们在求出角β所对的边X的长度，利用正弦函数就可以求出OA的长度。

即sinβ=X/OA,变形后即得：OA=X/sinβ,我们再来求X的长度，X即是指主视图支管端口等分点到中心线的垂直距离，我们可以利用已知的支管半径r和支管端口的的等分度数α，在利用正弦函数求出X的长度，即：sinα=X/r,变形后得到：X=rsinα。

将它带入上边公式，即得到：OA=rsinα/sinβ(公式B)
我们再来讨论F的长度计算，在直角三角形Ⅰ中，F是它的一条直角边。

我们已知其中一个角，即支管与主管的夹角β，如果能求出β角所对的直角边E的长度，即可利用正切函数求出F的长度。

即tgβ=E/F。

变形后得到F=E/tgβ。

而E所代表的就是左视图所显示的支管各等分线插入主管的深度，我们来看左视图，我们看到E=R-N,只要求出N的长度，就能得到E的长度。

而N是直角三角形Ⅱ一条直角边，在这个直角三角形中，我们已知它的斜边即主管半径R，只要求出另一条直角边Y的长度，就可以利用勾股定理求出N的长度，即：N=()2
2Y
R-。

而Y的值我们可利用已知的支管半径r和支管的等分夹角δ=90-α（参考马鞍口讨论第一段）再用正弦函数求出Y值，即：sin(90-α)=Y/r，变形后得到Y=rsin(90-α)。

将它带入公式
N=()22Y R -中得到N=()[]{}2290sin α--r R 再带入公式E=R-N 得到如下公式：E=R-()[]{}2290sin α--r R 再带入公式F=E/tg β即得到F 的值，即如下：F=【 R-()[]{}2290sin α--r R 】/tg β（公式C ）
将上述公式B 和公式C 带入公式A 中，就得到了开孔的横向距离公式，即如下：H= rsin α/sin β（主视图）±【 R-()[]{}2290sin α--r R 】（左视图）/tg β（主视图）。

利用此横向距离公式和与此对应的弧长公式L=πR ×arc 【rsin(90-α)/R 】/180（左视图）。

就可以求出支管各等分线与相贯线的各交点到开孔中心的距离和经过该交点的弧度长，从而作出开孔园上的各点，依次顺序圆滑连接即可作出开孔园。

何杰 王彦辉
2009年12月于抚顺。