三次函数的对称性中心问题

三次函数再探讨---对称中心问题

武汉市长虹中学 郭永清

三次函数存在对称中心吗？

我们先从几个特殊的函数入手，三次函数cx ax x f +=3

)(（0≠a )是奇函数，其图象关于)0,0(对称，三次函数d bx ax x f ++=3)((0≠a )的图象关于点),0(d 对称，那么对于一般的三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 有没有对称中心呢？答案是肯定的，有对称中心，其对称中心是))3(,3(a

b f a b --。 在证明之前，先回忆一个结论：

定理1：函数)(x f y =的图像关于点),(b a M 对称，则在b x a f x f 2)2()(=-+ 证明：设),(y x A 是)(x f y =图像上任意一点，则A 关于点),(b a M 的对称点)2,2(y b x a B --也在函数)(x f y =图像上，

即)2(2x a f y b -=-, 又)(x f y =，所以b x a f x f 2)2()(=-+

定理2：三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 的对称中心是))3(,3(a b f a b --

证明1：设),(y x A 是)(x f y =图像上任意一点，只要能证明点))3(2,32-

(y a b f x a b B --- 也在函数图像上。 所以)3(2)32()(a

b f x a b f x f -=--+ 所以三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 的对称中心是))3(,3(a

b f a b -- 证明2：因为)0()(3≠+=a bx ax x f 的对称中心是(0,0),所以0030)()()(y x x b x x a x f +-+-=的对称中心为

),(00y x ,即))(,(00x f x 而)3()3()3()3]()3(3[)3(2323a b c a b b d a b a a b c a b a d a b a -++-=-++-)3(a

b f -= )0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 的图象关于))3(,3(a b f a b --

对称。 证明3：设函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 的对称中心为（m ，n ）。

按向量),(n m --=将函数的图象平移，则所得函数n m x f y -+=)(是奇函数，所以

+++++++d m x c m x b m x a )()()(23d m x c m x b m x a ++-++-++-)()()(23-2n=0 化简得：

上式对恒成立，故 ⎩⎨⎧=-+++=+0

0323n d cm bm am b am 得

，

。 所以，函数的对称中心是（）。

定理3：若三次函数

有极值，则它的对称中心是两个极值点的中点

证明：不妨设0232=++c bx ax 为)(x f 的导方程，判别式01242

>-=∆ac b ,设)(x f 两极值点为))(,()),(,(2211x f x B x f x A

所以此时的对称中心是两个极值点的中点，同时也是函数)(x f 的拐点。

定理4：)(x f y =是可导函数，若)(x f y =的图像关于点),(n m A 对称，则)('x f y =的图像关于直线m x =对称

证明：)(x f y =的图像关于),(n m A 对称，则n x m f x f 2)2()(=-+ 由x

x f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()()(lim 0' )('x f y =∴图像关于直线m x =对称。 三次函数的对称中心是（）。所以其导函数的图像关于直线a

b x 3-=对称。 定理5：过三次函数的对称中心且与该三次曲线相切的直线有且只有一条

证明：设三次函数，一直线与三次曲线切于点Q （d cx bx ax x +++02

0300,），且直线过点（）。

直线方程可写为：d cx bx ax x x c bx ax y ++++-++=020300020))(23( 又d a b c a b b a b a a b f +⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=-33)3()3(23 化简为：a b x a b x 30)3030-==+

（ 这说明切点就是对称中心。

经典例题欣赏：

1. 求763)(23-+-=x x x x f 的对称中心。

2. 求233

1)(x x x f -=的极值和对称中心。 3. （2004年重庆高考题）设函数))(1()(a x x x x f --=, )1(>a

（1）求导函数)('x f ,并证明)(x f 有两个不同的极值点21,x x

（2）若不等式0)()(21≤+x f x f 成立，求a 的取值范围。

4. 已知))()(()(c x b x a x x f ---=

（1）求证))(())(())(()('c x b x c x a x b x a x x f --+--+--=

（2）若)(x f 是R 上的增函数，是否存在点P 使)(x f 的图像关于点P 中心对称？如存在，请求出P 点坐标，并给出证明，如果不存在，请说明理由。

（3）