七、量化误差

量化误差及运算中的舍入误差是数字信号处理中的特殊 现象。尽管使用高精度的A/D转换器可以大大减轻这些误差 及其影响，但掌握这些误差的特性，了解它们对数字系统性 能的影响---有限字长效应，对数字信号处理的工作者来说 还是很有必要的。当量化间隔与信号值和滤波器参数相比很 小时，可用基于统计模型的简单近似理论来分析和处理。
k 0 m0


假定 e(n) 为白噪声序列，则有
2 v
q2 12

n 0

h( n)
2
结论：信号的量化误差通过LSI系统后，输出的 方差依然和字长有关，同时，也和系统的能量有关。 对给定的字长， q2 12 始终为一常数，由此可定 义归一化的输出量化噪声的方差
v2,n
v2 2 2 h( n) e n 0
令：
H1 ( z ) 0.4 /(1 0.9 z 1) H 2 ( z ) 1/(1 0.8 z 1)
H1 ( z ) 的输入是x(n)，输出是w(n) H 2 ( z ) 的输入是w(n)，输出是y(n)
两个一阶系统对应的差分方程分别是： w(n)=0.9w(n-1)+0.4x(n) y(n)=0.8y(n-1)+w(n) ……………………a ……………………b
e x (n) x(n)
R R
( b 1) 2 b 1
i b 2Fra bibliotek i 2 i ,
i 0,1
若舍入误差 eR 也是均匀分布的随机变量，与信号不相关 若 b 1 1, b 2 ... 0
则 eR q / 2 是舍入误差的正的最大值 若 b 1 0, b 2 ... 1 则 eR 接近舍入误差的最小值 q / 2 若 b 1, b 2, ..., 有0有1
式中f1(n),f2(n)分别是完成0.9w(n-1)和0.8y(n-1)两个乘法运算时的舍 入误差序列。
w( n) 0.9 w( n 1) 0.4 x( n) e0 ( n) f1 ( n) 0.9 w( n 1) 0.4 x( n) e( n) 同理b式有 y ( n) 0.8 y ( n 1) w( n) f 2 ( n)
2、IIR系统中乘法运算舍入误差的统计分析
对一阶IIR系统的每一个乘法运算,其量化结果如图：
u(n) v(n)
舍入处理
v ( n)
u(n)

v(n)
v ( n)
+
e (n)
舍入误差模型
u(n)为输入， 为滤波器系数，记n 时刻的舍入误差 为 e (n)
则有：
v (n) v(n) e (n)
若 b 1 b 2 ... 0
则 eT 0 是截尾误差的最大值 若 b 1 b 2 ... 1 则 eT 接近截尾误差的最小值 若 b 1, b 2, ..., 有0有1
2b q
则 q eT 0
0.99e j
3
处，显然
该系统是稳定的。但是，由于表示系数0.99的字长只有8bit，
因此，系数量化的误差可能将该极点移到单位圆上，从而造
成系统的不稳定。
（3）离散系统中加、减和乘法运算将产生舍入误差。例 如，两个8bit的数相乘，其积是16bit。但是，最后只 能用8bit来表示，因此需要舍去积的后8bit，这就产生 了数字运算中的舍入误差。
2 2 , v(n), e(n)的方差分别是 v e 。有：
例2：给定二阶系统如下，分别讨论在直接实现、级联实现、 并联实现时由乘法运算舍入误差所产生的输出噪声的方差。
解：a. 直接型实现时, 舍入误差可表示为
输入包括两部分：由x(n)产生的输出y(n) 由三个量化噪声产生的v(n)
b. 级联实现时舍入误差分析如下
七、数字信号处理中的有限 字长效应
将调试好的信号处理算法及设计好的滤波器在 一个数字系统上具体实现时，受数字系统有限字 长的影响，表示信号的数据和滤波器系统的精度 将不再是无限的。
这样就必然在算法和系统实现上带来误差，这 些误差主要是量化误差和舍入误差。 误差来源分析如下：
（1）对模拟信号抽样时产生的误差。例如，若系统用8bit的
量化噪声通过线性系统后的输出噪声功率为：
1 2 j 2 h (n)＝ e H(e ) d 2 n -
2 v 2 e 2

e2 2 j
2 -1 1 e H(z)H(z )z dz c 2 j
1 -1 z c (1 - 0.99z-1 )(1 - 0.99z) dz
仅和系统抽样响应的能量有关。
例1： 有一个8bits的A/D转换器，它的输出通过线性系统H(z)， 求系统输出端的量化噪声功率。 1
H(z)
1 0.99z 1
解：由题意已知 b 8 ，故 q 28 ，量化噪声的功率（方差） 为： 1 1 e2＝ q 2＝ 2-16
12 12
7.2 量化噪声通过LSI系统
设量化后的信号通过一个LSI系统H(z)后的 输出为 y ˆ ( n) x ˆ (n) * h(n) [ x(n) e(n)]* h(n)
x(n) * h(n) e(n) * h(n) y (n) v(n)
量化噪声输出 v(n) h(k )e(n k )
1、乘积的舍入误差模型
在实现数字滤波时，将遇到相乘与求和运算。对 于典型的相乘可表示为：y(n)=ax(n) a是滤波器系数，x(n)是数据值。
图(c)是乘积运算的等效统计模型， e(n)是n时刻的乘 法运算舍入误差，^y(n)是做了舍入处理后的输出
基于以下的假设： (1) 误差序列 e(n) 是平稳随机序列，且都 是白噪声序列； (2) 误差序列 e(n) 在一个量化间隔上呈均 匀分布； (3) 误差序列 e(n) 与输入序列 x(n) 以及其 它噪声源不相关。 这些假设与把模拟信号取样量化时所作的 假设相同，它们成立的条件也大致相同。
（4）DFT运算中的舍入误差。DFT是信号处理中最常用 的运算，其中包含大量的乘法运算，因此DFT中的舍 入误差也是舍入误差的一个重要来源。 （5）量化后的信号通过离散系统后，必然产生量化误差 的积累效应，结果在系统的输出端将会产生较大的误 差。
归纳起来，主要反映在下列问题中： ■ 输入信号的量化误差 ■ 滤波器系数的量化误差 ■ 算术运算的舍入误差 ■ 精度的限制和溢出引起的振荡
a式中包含两个系数的乘法，因此出现两个误差序列。有：
w( n) 0.9 w( n 1) 0.4 x( n) e0 ( n) f1 ( n) 0.9 w( n 1) 0.4 x( n) e( n) 同理b式有 y ( n) 0.8 y ( n 1) w( n) f 2 ( n)
式中 V(z) 反映误差序列对精度的影响，即舍入 y ( n) 处理后的输出 等于无限精度的y(n)加上 e(n)通过系统1/A(z)后的输出v(n). 上式可由下图表示，v(z) 仅和A(z)有关，和B(z) 无关。当然，e(n)包括 er (n) 。
乘法运算舍入误差的频域模型
求v(n)的方差：记1/A(z)对应的单位抽样响应为 ha (n)
k 0

其均值
v(n) E h(k )e(n k ) e h(n) n 0 k 0
如果 e(n) 是由舍入引起的，则 e 此时对所有的n，都有 v(n) 0 。 反之，如果e(n)是由截尾引起的，
0
，
则 e q 2 ，此时
则 q / 2 eR q / 2
概率密度
pR(e) 1 q
二者均值分别为
q 2,
T
0
R
二者的方差分别为
2 1 q 2 T (eT T ) 2 p(eT )deT (eT q) 2 deT q q q 12 0 0 2 1 q 2 R (eR R ) 2 p(eR )deR eR 2 deR q 2 q 2 q 12 q 2 q 2

推广到高阶系统，对应的差分方程为
y (n) ak y (n k ) br x(n r )
k 1 r 0 N M
可知式中有M+N+1个乘法，都会产生 舍入误差，从而影响系统的性能。记b 相乘产生的误差序列为 er (n) ，a 相乘产 生的误差序列为 fk (n) ，做舍入处理后 的输出为 y(n) 。上式可以表为
7.1 量化误差的统计分析

模拟信号x(t)经A/D转换后变成数字信号x(n)，x(n)在时 间上和幅度上都将变成离散的。
设A/D的字长为b，记 q 2b 为量化步长。若b=8， 则 q 1/ 256 。显然，这样定义q就等于指定A/D转换器的 范围是0~1。如果A/D的动态范围是0~A，那么量化步长 b 是 q A 2。
x
T
T
( n) i 2 i ,
i 1
b
i 0,1
T
x (n) 是在时刻n时作了截尾处理后的量化值。 x (n)
x(n)的截尾量化误差为
对
e x (n) x(n) 2
T T i b 1 i

i
,
i 0,1
若截尾误差
e
T
是均匀分布的随机变量，与信号不相关
q v ( n) h( n) 2 n 0
显然，输入信号的截尾量化相当于在输出端引 入了一个直流分量。
输出量化噪声的方差
v2 E v 2 (n)
E h(k )e(n k ) h(m)e(n m) m0 k 0
h(k )h(m) E e(n k )e(n m)


设x(n)为一正数，若具有无限的精度，即x(n)在每一个 对应的时刻都等于x(t)，那么, x(n)可表示为
x ( n) i 2 i ,
i 1
i 0,1
该式是二进制正数的定点表示。
当然，A/D的位数是有限位，用有限位的A/D转换器来 表示无限位长的数据时有两种处理方式：截尾 (truncation)，舍入(rounding)。 所谓截尾，即是将 i>b 的所有位舍去。记为
概率密度
pT (e) 1 q
所谓舍入，即是对 i b 1 后的位数做舍入处理。 记为
x
R
R
(n) i 2i b 1 2b ,
i 1
b
i 0,1
x (n) 是在时刻n时作了舍入处理后的量化值。显然，
b，则会在第 1 1 若 b位上加上1，否则就加0，这等 于将b以后的位都舍去。由此产生的舍入量化误差为
216 1 4 [ ] 0.644 10 12 1 0.992
7.3 乘积的舍入误差
在数字系统中，滤波器的系数，乘数及运算结 果等都是放在寄存器中，而寄存器的位数总是有限 长，用有限长的寄存器存放数字系统的结果不可避 免的要对它作舍入处理。 例如，一个数字系统中使用的寄存器是8bit， 两个8bit的数相乘后的乘积是16bit.为了表示和存 放该乘积就需要对它作舍入处理，使之也是8bit. 所以这些处理必然会带来误差，从而影响系统的 性能。 讨论乘法运算舍入误差对系统性能的影响：
均取决于量化步长q或者字长 b
当 n=0,1,…, ∞ 时，上述量化误差成为 eT(n)和 eR(n) ，是随机序列，记为 e(n)，相当于量化噪 声。可用下图描述信号的量化模型：
取样
A/D
量化
定义： 信号-量化噪声比SNR
SNRA / D
x2 10lg 2 dB e
字长来表示数，且原始数据的动态范围是0~5V，那么，每 一位的最大分辨率将是20mV。这样，在该系统中，
10mV~29mV的信号可能都被表示为00000001，于是就产生
了信号的量化（quantization）误差。 （2）滤波器系数量化对滤波器性能的影响。例如，假定我们 设计的一个IIR滤波器有一对共轭极点在