正定二次型

T
T
故
f xT Ax 是正定的。
T
f ( x1, x2 ,, xn ) x Ax
x Cy
g ( y1, y2 ,, yn ) yT By 其中 B CT AC
二 正定的判断方法
1：惯性指数判别法 定理 n 元实二次型 f xT Ax 为正定的当且仅当f 的正惯性指数 p n 推论 矩阵A是正定的当且仅当A的全部特征值均为正 例 设n 阶矩阵A是正定矩阵， 证明 A1 , A , Am
为t满足什么条件时，二次型是正定的； t满足什么条件时，
二次型是负定的；
t 1 1 则 A 1 t 1 解：二次型矩阵为 1 1 t t 1 1 2 t 1 2 A3 1 t 1 t 1 (t 2) A2 t 1 A1 t 1 t 1 1 t
（m为正整数）也正定矩阵
注 n 元实二次型 f xT Ax 为负定的当且仅当
的负惯性指数为 n
2 主子式判别法 （1）定义 设n 阶方阵
a11 a21 A an1 a11 Ak a21 ak 1 a12 a1n a22 a2 n an 2 ann a12 a1n
注 设 f xT Ax为实二次型，若对任何
x0
都有 f 0 f 0 , 则称二次型是半正定的 （半负定的），
并称其对应的矩阵A为半正定矩阵（半负定）矩阵。 2 二次型的正定性与可逆线性变换 定理 设有实二次型 f ( x1 , x2 ,, xn ) xT Ax 经可逆线性变换 x Cy
k 1, 2,, n
方阵A的前k行和前k列所成的子式
a22 a2 n ak 2 akn
称为矩阵A的k阶主子式
（2）
定理 n 元实二次型 f xT Ax 为正定的当且仅当
对称矩阵A的各阶主子式都大于零。 注 n 元实二次型 f xT Ax 为负定的当且仅当 对称矩阵A的各阶满足 (1) Ak 0 ，其中 k 1, 2,, n
k
T T 为负定的当且仅当二次型 x Ax f x Ax 证明： T T x A x 即二次型 x A x 为正定的。 显然二次型
的k阶主子式为 (1) Ak
k
故由定理可得。
2 2 2 例1 二次型 f tx1 tx2 tx3 2x1x2 2x1x3 2x2 x3
T T 其中 B C AC g ( y , y , , y ) y By 得 1 2 n
T g y By 是正定的 则 f x Ax 是正定的当且仅当
T
注: 可逆线性变换不改变二次型的正(负)定性.
证明：必要性： 对任意的 y 0 记 Cy 为 x , 即 x Cy
由C 可逆矩阵可知道 x 0 ; 又
对任意的 x 0 有
xT A B x xT Ax xT Bx 0
故 A B 是正定矩阵,
T T T
g y By y C ACy Cy A Cy xT Ax T g y By 是正定的。 故
T
0.
1 y C x y , 充分性：对任意的x 0记 C x 为 即
1
由 C 1可逆矩阵可知道 y 0 ;又
T 1 T 1 x C C A CC x f x Ax T 1 C x C T AC C 1 x yT By 0 .
正定二次型
一 正定二次型的定义
1 定义 都有 f 0 设 f xT Ax 为实二次型，若对任何
x0
f
0 , 则称二次型是正定的（负定的），
并称其对应的矩阵 A 为正定矩阵 （负定矩阵） 。
2 2 2 2 f ( x , x , x , x ) x x 5 x 3 x 例 1 2 3 4 1 2 3 4 是正定的 2 2 不是正定的 f ( x1, x2 , x3 , x4 ) x12 3x2 2x3
故A B是正定矩阵。
A 0 T T y y A A 0 0 B
T
T A 例4 设 Amn 满足R Amn n 证明 A是正定二次型矩阵。
证明： A A A
T T
T
A
T T
AT A , 故A是对称矩阵。
对任意的 x 0 , 由 R Amn n 可得 Amn x 0 记 Amn x 则 0
2 当 t 0 , t 2 1 0, t 1 (t 2) 0 即 t 2 时二次型是正定的
t 1 时二次型是负定的 即 t 0 , t 1 0, t 1 ( t 2) 0 当
2 2
2 f x 例2 判断二次型 i xi xi1是否是正定的。 i 1 i 1
n
n 1
定矩阵，证明 A B , 0 B
均是正定矩阵。 证明： 对任意的 x 0 ,
T T x Ax x Bx 0 x A B x
T
, 为n维向量 y , 其中 对任意的2n维 y 0 , 记 由 y 0 可得 0 或 0 故
x
T
A A x xA Ax x
T
T
T
AT Ax

T
2
0
故 AT A是正定二次型矩阵。
例5 设A是正定矩阵, B 反对称矩阵, 证明
A B 是正定矩阵,
证明： 对任意的 x 0 , 由 A 是正定矩阵, B 反对称矩阵,得
xT Ax 0 , xT Bx 0