直角三角形的性质 公开课课件
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第24章 解直角三角形
24．2 直角三角形的性质
直角三角形的性质： (1)在直角三角形中，两个锐角__互__余． (2)在直角三角形中，两条直角边的平方和等于___斜__边__的__平__方(勾股定理)； (3)直角三角形斜边上的中线等于斜边的__一__半；
(4)在直角三角形中，如果一个锐角等于___3_0，°那么它所对的直角边等于斜边
15．(10分)如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD与BE相交于点P， BQ⊥AD于点Q，PQ＝3，PE＝1，求AD的长．
解：证明：易证：△ABE≌△CAD，∴AD＝BE，∴∠DAC＝∠ABE， 又∵∠BPQ＝∠ABE＋∠BAP，∴∠BPQ＝∠DAC＋∠BAP＝ ∠BAC＝60°，又∵BQ⊥AD，∴∠PBQ＝30°，∴BP＝2PQ＝6， ∴BE＝BP＋PE＝7，又∵AD＝BE，∴AD＝7
【综合运用】 17．(12分)如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°， M，N分别是AC，BD的中点． (1)猜一猜，MN与BD的位置关系，并证明你的结论； (2)若∠BCD＝45°，BD＝2，求MN的长．
解：(1)猜想 MN⊥BD.证明：连结 BM，DM，∵∠ABC＝90°， AM＝MC，∴BM＝12AC，同理 DM＝12AC，∴BM＝DM， ∵BN＝ND，∴MN⊥BD
5．(8 分)如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，E，F 分别是 BC，
AC 的中点，延长 BA 到点 D，使 AD＝12AB，连接 DE，DF. (1)求证：AF 与 DE 互相平分； (2)若 BC＝4，求 DF 的长．
解：证明：(1)连结 EF，AE，∵E，F 为 BC，AC 的中点， ∴EF∥AB，EF＝12AB，又∵AD＝12AB.∴AD＝EF，AD∥EF， ∴四边形 AEFD 为平行四边形，∴AF 与 DE 互相平分 (2)∵∠BAC＝90°，E 为 BC 的中点，∴AE＝12BC， 又∵AE＝DF，∴DF＝12×4＝2
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8．(4分)如图所示，△ABC是等边三角形，AD∥BC，CD⊥AD， 若AD＝2 cm，则△ABC的周长为1_2_c_m_．
9．(6分)如图所示，在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，BC＝10，点D 是斜边AB的中点，DE⊥AC，交AC于点E.求DE的长．
解：在 Rt△ABC 中，∠A＝30°，∠C＝90°， ∴AB＝2BC＝2×10＝20，又∵点 D 为 AB 的中点，DE⊥AC， ∴AD＝12AB＝10，在 Rt△ADE 中，DE＝12AD＝5
16．(10 分)如图，已知在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD 为高， 且 CD，CE 三等分∠ACB. (1)求∠B 的度数；
(2)求证：CE 是 AB 边上的中线，且 CE＝12AB.
解：(1)∵在△ABC中，∠ACB＝90°，CD，CE三等分∠ACB， ∴∠ACD＝∠DCE＝∠BCE＝30°，则∠BCD＝60°， 又∵CD为高，∴∠B＝90°－60°＝30°
(2)∵BM＝MC，∴∠BMA＝∠BCA＋∠MBC＝2∠BCA， 同理∠AMD＝2∠ACD，∴∠BMD＝2∠BCD＝90°. 又∵BM＝MD，∴△BMD 是等腰直角三角形，∴MN＝12BD＝1
的一半．
1．(3分)如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为斜边AB的中点， AB＝10 cm，则CD的长为( C) A．10 cm B．7.5 cm C．5 cm D．2.5 cm
2．(3分)如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC的中点， 若AD＝6，DE＝5，则CD的长等于( D ) A．5 B．6 C．7 D．8
3．(4分)(枣庄中考)如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD平分 ∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为C( ) A．20 B．12 C．14 D．13
4．(4分)如图所示，点O为四边形ABCD对角线AC的中点，AB⊥BC， AD⊥CD.若OB的长为9 cm，则OD的长为_9_cm__．
一、选择题(每小题 5 分，共 10 分) 10．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°， 点 P 是 BC 边上的动点，则 AP 长不可能是( D ) A．3.5 B．4.2 C．5.8 D．7
11．(孟津期末)如图，把矩形 ABCD 沿 EF 翻折，点 B 恰好落在 AD 边的 B′处，若 AE＝2，DE＝6，∠EFB＝60°，则矩形 ABCD 的面积是(D ) A．12 B．24 C．12 3 D．16 3
三、解答题(共40分) 14．(8分)如图，∠AOB＝30°，OC平分∠AOB，P为OC上的一点， PD∥OA交OB于点D，PE⊥OA于点E，若OD＝4 cm，求PE的长．
解：过点P作PF⊥OB于点F，∵∠AOB＝30°，PD∥OA， ∴∠FDP＝∠AOB＝30°，∠DPO＝∠POA.∵OP平分∠AOB， ∴∠POB＝∠POA，∴∠DPO＝∠POB，∴DP＝OD＝4cm， ∴PF＝2 cm，∴PE＝PF＝2 cm
(2)证明：由(1)知，∠B＝∠BCE＝30°，则 CE＝BE.∵∠ACB＝90°， ∠B＝30°，∴∠A＝60°.又∵由(1)知，∠ACD＝∠DCE＝30°， ∴∠ACE＝∠A＝60°，∴△ACE 是等边三角形， AE＝CE＝BE＝12AB，∴E 是 AB 的中点．
∴CE 是 AB 边上的中线，且 CE＝12AB
二、填空题(每小题5分，共10分) 12．如图，“人”字形屋梁中，AB＝AC，E，F，D分别是AB，AC， BC的中点，AB＝6 m，∠B＝30°，则支撑“人”字形屋梁的木杆DE， AD，DF共有__9__ m.
13．如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点． 若AB＝5，AD＝12，则四边形ABOM的周长为__2_0_．
6．(4分)(嵩县月考)在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3， 则BC∶AB等于( )B A．2∶1 B．1∶2 C．1∶3 D．2∶3
7．(4分)在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B＝30°， AD＝2 cm，则AB的长度是( )C A．2 cm B．4 cm C．8 cm D．16 cm
第24章 解直角三角形
24．2 直角三角形的性质
直角三角形的性质： (1)在直角三角形中，两个锐角__互__余． (2)在直角三角形中，两条直角边的平方和等于___斜__边__的__平__方(勾股定理)； (3)直角三角形斜边上的中线等于斜边的__一__半；
(4)在直角三角形中，如果一个锐角等于___3_0，°那么它所对的直角边等于斜边
15．(10分)如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD与BE相交于点P， BQ⊥AD于点Q，PQ＝3，PE＝1，求AD的长．
解：证明：易证：△ABE≌△CAD，∴AD＝BE，∴∠DAC＝∠ABE， 又∵∠BPQ＝∠ABE＋∠BAP，∴∠BPQ＝∠DAC＋∠BAP＝ ∠BAC＝60°，又∵BQ⊥AD，∴∠PBQ＝30°，∴BP＝2PQ＝6， ∴BE＝BP＋PE＝7，又∵AD＝BE，∴AD＝7
【综合运用】 17．(12分)如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°， M，N分别是AC，BD的中点． (1)猜一猜，MN与BD的位置关系，并证明你的结论； (2)若∠BCD＝45°，BD＝2，求MN的长．
解：(1)猜想 MN⊥BD.证明：连结 BM，DM，∵∠ABC＝90°， AM＝MC，∴BM＝12AC，同理 DM＝12AC，∴BM＝DM， ∵BN＝ND，∴MN⊥BD
5．(8 分)如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，E，F 分别是 BC，
AC 的中点，延长 BA 到点 D，使 AD＝12AB，连接 DE，DF. (1)求证：AF 与 DE 互相平分； (2)若 BC＝4，求 DF 的长．
解：证明：(1)连结 EF，AE，∵E，F 为 BC，AC 的中点， ∴EF∥AB，EF＝12AB，又∵AD＝12AB.∴AD＝EF，AD∥EF， ∴四边形 AEFD 为平行四边形，∴AF 与 DE 互相平分 (2)∵∠BAC＝90°，E 为 BC 的中点，∴AE＝12BC， 又∵AE＝DF，∴DF＝12×4＝2
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8．(4分)如图所示，△ABC是等边三角形，AD∥BC，CD⊥AD， 若AD＝2 cm，则△ABC的周长为1_2_c_m_．
9．(6分)如图所示，在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，BC＝10，点D 是斜边AB的中点，DE⊥AC，交AC于点E.求DE的长．
解：在 Rt△ABC 中，∠A＝30°，∠C＝90°， ∴AB＝2BC＝2×10＝20，又∵点 D 为 AB 的中点，DE⊥AC， ∴AD＝12AB＝10，在 Rt△ADE 中，DE＝12AD＝5
16．(10 分)如图，已知在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD 为高， 且 CD，CE 三等分∠ACB. (1)求∠B 的度数；
(2)求证：CE 是 AB 边上的中线，且 CE＝12AB.
解：(1)∵在△ABC中，∠ACB＝90°，CD，CE三等分∠ACB， ∴∠ACD＝∠DCE＝∠BCE＝30°，则∠BCD＝60°， 又∵CD为高，∴∠B＝90°－60°＝30°
(2)∵BM＝MC，∴∠BMA＝∠BCA＋∠MBC＝2∠BCA， 同理∠AMD＝2∠ACD，∴∠BMD＝2∠BCD＝90°. 又∵BM＝MD，∴△BMD 是等腰直角三角形，∴MN＝12BD＝1
的一半．
1．(3分)如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为斜边AB的中点， AB＝10 cm，则CD的长为( C) A．10 cm B．7.5 cm C．5 cm D．2.5 cm
2．(3分)如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC的中点， 若AD＝6，DE＝5，则CD的长等于( D ) A．5 B．6 C．7 D．8
3．(4分)(枣庄中考)如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD平分 ∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为C( ) A．20 B．12 C．14 D．13
4．(4分)如图所示，点O为四边形ABCD对角线AC的中点，AB⊥BC， AD⊥CD.若OB的长为9 cm，则OD的长为_9_cm__．
一、选择题(每小题 5 分，共 10 分) 10．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°， 点 P 是 BC 边上的动点，则 AP 长不可能是( D ) A．3.5 B．4.2 C．5.8 D．7
11．(孟津期末)如图，把矩形 ABCD 沿 EF 翻折，点 B 恰好落在 AD 边的 B′处，若 AE＝2，DE＝6，∠EFB＝60°，则矩形 ABCD 的面积是(D ) A．12 B．24 C．12 3 D．16 3
三、解答题(共40分) 14．(8分)如图，∠AOB＝30°，OC平分∠AOB，P为OC上的一点， PD∥OA交OB于点D，PE⊥OA于点E，若OD＝4 cm，求PE的长．
解：过点P作PF⊥OB于点F，∵∠AOB＝30°，PD∥OA， ∴∠FDP＝∠AOB＝30°，∠DPO＝∠POA.∵OP平分∠AOB， ∴∠POB＝∠POA，∴∠DPO＝∠POB，∴DP＝OD＝4cm， ∴PF＝2 cm，∴PE＝PF＝2 cm
(2)证明：由(1)知，∠B＝∠BCE＝30°，则 CE＝BE.∵∠ACB＝90°， ∠B＝30°，∴∠A＝60°.又∵由(1)知，∠ACD＝∠DCE＝30°， ∴∠ACE＝∠A＝60°，∴△ACE 是等边三角形， AE＝CE＝BE＝12AB，∴E 是 AB 的中点．
∴CE 是 AB 边上的中线，且 CE＝12AB
二、填空题(每小题5分，共10分) 12．如图，“人”字形屋梁中，AB＝AC，E，F，D分别是AB，AC， BC的中点，AB＝6 m，∠B＝30°，则支撑“人”字形屋梁的木杆DE， AD，DF共有__9__ m.
13．如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点． 若AB＝5，AD＝12，则四边形ABOM的周长为__2_0_．
6．(4分)(嵩县月考)在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3， 则BC∶AB等于( )B A．2∶1 B．1∶2 C．1∶3 D．2∶3
7．(4分)在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B＝30°， AD＝2 cm，则AB的长度是( )C A．2 cm B．4 cm C．8 cm D．16 cm