阵列天线分析与综合

(3.17)
二、平面阵中第 mn 个单元及其镜像的辐射场
第 mn 个单元振子天线及其镜像的远区电场为
Eθ mn
=
j 60Imn Rmn
e− jkRmn
f0(θ ,ϕ )
fz (θ ,ϕ )
(3.18)
式中， k = 2π / λ ， Imn 为激励幅度和相位， Rmn 为第 mn 单元到远区观察点处的 距离，对称振子单元方向图函数为
则第 mn 个单元的远区辐射场为
Emn
=
CI mn
e− jkr r
e jk (mdx cosϕ +nd y sinϕ ) sinθ
整个平面阵列的远区辐射场为
∑∑ ∑ ∑ ET =
m
n
Emn
=
C
e− jkr r
N x −1 N y −1 Imne jk (mdx cosϕ +nd y sinϕ ) sinθ
f0(θ ,ϕ )
=
cos(kL cosθ y / 2) − sinθ y
cos(kL
/
2)
(3.19)
L 为对称振子长度，cosθ y = sinθ sinϕ ，sinθ y = 1− cos2 θ y ，考虑镜像之后的二 元阵阵因子为
fz (θ ) = 2sin(kdz cosθ )
(3.20)
m=0
n=0
实用中的平面阵列天线一般希望电磁能量在阵列前方形成有效辐射，而在
背面方向无辐射。实现这种情况主要有两种方法
(1) 采用单向辐射单元天线。如喇叭天线、开口波导、八木天线，微带天线
等；
(2) 在阵列背面离阵面一定距离( λ / 4 )安装反射栅网。如对称振子等作阵列
单元时。
3.2.2 带反射板的对称振子平面阵
(n
−
N
y− 2
1 )d
y
, n = 0,1, 2,..., N y − 1
(3.16)
149
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为该单元在阵面上的位置坐标。不论行数 N x 和列数 N y 为何值，式(3.16)是相对 于阵列中心的位置坐标。坐标原点到远区场点的射线 r 的单位矢量为
rˆ = xˆ cosϕ sinθ + yˆ sin ϕ sinθ + zˆ cosθ
一、对称振子平面阵结构及坐标系
矩形网格、矩形边界的对称振子平面阵结构及建立的坐标系如图 3-6 所示。 平面阵共有 N x 列， N y 行，列间距为 d x ，行间距为 d y 。
148
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图 3-6 对称振子平面阵结构及建立的坐标系
为了使阵列天线仅向正前方辐射，阵列的后面可加反射板。为简化分析，
由图 3-7 可得第 mn 个单元的坐标位置矢量为： ρmn = xˆxm + yˆyn
该单元镜像的坐标位置矢量为 ρ′mn = xˆxm + yˆyn − zˆ2dz
(3.14) (2.15)
式中
⎧ ⎪⎪
xm
=
(m
−
N
x− 2
1)d
x
,
m = 0,1, 2,..., N x − 1
⎨
⎪ ⎪⎩
yn
=
1. 阵因子方向图函数
设第 mn 个单元的激励电流为 Imn ，则其远区辐射场可表示为
Emn
=
CI mn
e− jkRmn Rmn
=
CI mn
e− jkr r
e− jk ( Rmn −r )
式中，C 为与 mn 无关的单元因子，且用了关系1/ Rmn ≈ 1/ r 。波程差为 Rmn − r = −rˆ ⋅ ρmn = −( xm cosϕ + yn sinϕ ) sinθ = −(md x cosϕ + nd y sinϕ ) sinθ
反射板可看作是一金属反射面，见图 3-7。反射面与阵列表面之间的距离为 dz ， 约为中心频率对应波长 λ0 的四分之一，即 dz λ0 / 4 。阵列单元为半波振子，其 全长约为 L = λ0 / 2 。由于有反射面，则在计算阵列方向图时要考虑阵列单元的镜
像。
图 3-7 平面阵和反射面模型立体图及第 mn 个单元的镜像法示意
143
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图 3-1 几种典型平面阵形式
如果雷达采用单脉冲体制，且在俯仰和方位两个面内均要实现差方向图， 则要求平面阵列分为四个象限，如下图 3-2 所示。
图 3-2 划分为四个象限的矩形和圆形平面阵
对于矩形栅格排列的矩形平面阵，如果各单元的激励幅度按行和列是可分 离的(即对所有 m 和 n 均满足 Imn = I xm ⋅ I yn )，则平面阵的方向图就等于两个正交 的直线阵列方向图的乘积。因此，可把直线阵列的分析与综合的原理和方法直 接应用于这种平面阵。
(a) 二维极坐标图
(b) 三维方向图
图 3-4 矩形栅格矩形平面阵方向图
当αx = α y = 0 时，则为侧射平面阵，其最大指向为 z 轴方向θ0 = 0 ； 当αx = 0 ，α y ≠ 0 且变化时，则平面阵波束将在 yz 平面内扫描； 当α y = 0 ，αx ≠ 0 且变化时，则平面阵波束将在 xz 平面内扫描； 当α y ≠ 0 ，αx ≠ 0 且两者均变化时，则平面阵波束将在空间任意方向变化。 在理想情况下，平面阵波束在某一平面(xz)内扫描的情况如下图 3-5 所示。 其中图(a)为侧射情况；图(b)和(c)为扫描情况；图(d)则为极端情况，此时平面阵 两个半空间的波束交叠在一起，形成端射方向图，这种情况在实际的相控阵中
常见的平面阵有一些基本类型，我们以栅格形式和边界形式来讨论，见如 下图 3-1。 ■基本栅格形式：包括矩形栅格、三角形栅格、同心圆环和椭圆环栅格等。 ■基本边界形式：有矩形、六边形(矩形切角形成)、圆形、椭圆形等。
矩形栅格、三角形栅格构成的平面阵，其外观可以是矩形、六边形、圆形 等。
同心圆环栅格阵列一般是圆形平面阵列。 同心椭圆环栅格阵列一般是椭圆形平面阵列。
图 3-5 平面阵波束在 xz 平面内扫描变化情况
S(θ ,ϕ ) = Sx (θ ,ϕ ) ⋅ Sy (θ ,ϕ )
∑ ∑ =
N x −1
I xme
jmkdx (cosϕ sinθ −cosϕ0 sinθ0 )
⋅
N y −1
I yne
jnkd y (sinϕ
sinθ −sinϕ0 sinθ0 )
(3.13)
=
I yn
=
1，则 Sx (ux )
=
sin(N xux / 2) sin(ux / 2)
， Sy (uy )
=
sin(N yuy / 2) sin(uy / 2)
S(θ ,ϕ ) = sin(N xux / 2) ⋅ sin(N yuy / 2) sin(ux / 2) sin(uy / 2)
(3.9)
∑ 由 cosϕ0 sinθ0
=
αx kd x
，sinϕ0 sinθ0
=
αy kd y
和 Sx (θ ,ϕ )
=
Nx −1 I xme jm(kdx cosϕ sinθ −αx )
m=0
，
∑ S y (θ ,ϕ ) = N y −1 I yne jn(kdy sinϕ sinθ −αy ) ，平面阵阵因子可写作 n=0
对于圆形边界的圆形平面阵，不论采用哪种栅格排列，则可采用专用的圆 形口径综合方法来综合出口径分布。
§3.2 矩形栅格排列的矩形平面阵列
设有一个 N x × N y 单元的矩形栅格矩形平面阵列，放置在 xy 平面内，行间距
为 d x ，列间距为 d y ，如图 3-3 所示。第 mn 个单元的坐标位置为
三、平面阵的总辐射场
把平面阵中所有单元天线的远区辐射场求和，得平面阵的总辐射场为
∑∑ ∑ ∑ EθT =
m
n
Imn = I xm ⋅ I yn = I xm I yne− j(mαx +nαy )
(3.2)
式中， I xm 和 I yn 分别为沿 x 和 y 方向排列的直线阵列的幅度分布；αx 和α y 分别 是沿 x 和 y 方向排列的直线阵列的均匀递变相位。对所有 m 和 n 满足式(3.2)的 单元电流分布我们称为可分离型分布。把它代入式(3.1)可得
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第三章 平面阵列的分析与综合
§3.1 引言
前面两章分别介绍了直线阵列的分析与综合问题，本章讨论平面阵列的分 析与综合问题。对于常用的矩形栅格排列的矩形平面阵列来说，可把直线阵列 的分析与综合方法直接应用于平面阵。但是对于某些情况，如圆形平面阵，三 角形栅格平面阵等，则要求采用专用于平面阵列的分析与综合方法。因此本章 既要介绍如何把直线阵列的基本原理和方法直接应用于平面阵列，也将介绍平 面阵列的专用分析与综合方法。
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Nx = Ny = 4 dx = dy = λ /2 αx = αy = 0
Nx = Ny = 4 dx = dy = λ /2 αx = π / 3, α y = 0
Nx = Ny = 4 dx = dy = λ /2 αx = π / 2, α y = 0
N x = 8, N y = 4 d x = λ / 4, d y = λ / 2 αx = kdx , α y = 0
⎧ ⎨ ⎩
xm yn
= =
md x , nd y ,
m = 0,1, 2, , N x − 1 n = 0,1, 2, , N y − 1
位置矢量为 ρmn = xˆxm + yˆyn = xˆmd x + yˆnd y
144
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图 3-3 矩形栅格排列的矩形平面阵
3.2.1 阵因子方向图函数及波束指向
(3.6)
式中， cosθx = cosϕ sinθ , cosθ y = sinϕ sinθ ，则式(3.4)和(3.5)可简写作
N x −1
∑ Sx (ux ) =
I xme jmux
m=0
N y −1
∑ Sy (uy ) =
I yne jnuy
n=0
(3.7) (3.8)
对于均匀平面阵，
I xm
n=0
(3.5)
式(3.3)说明，矩形栅格的矩形平面阵列，如果其馈电分布是可分离型的，则该平
面阵列的阵因子方向图就是沿 x 和 y 方向排列的直线阵列阵因子方向图的乘积。
这印证了方向图相乘原理。若取
⎧ux = kdx cosϕ sinθ − αx = kdx cosθx − αx ⎨⎩uy = kd y sinϕ sinθ − α y = kd y cosθ y − α y
)2
+
( αy kd y
)2
(3.11)
146
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当给定间距 d x 和 d y ，给定均匀递变相位αx 和α y 和工作频率 f，则平面阵的 波束指向(θ0,ϕ0 )就确定了。
对自由空间中的平面阵，其阵因子有两个波束，一个指向 z>0 的半空间；一 个指向 z<0 的半空间，如下图 3-4 所示。
cosϕ0
sinθ0
=
αx kd x
(3.10a)
同样，当 uy = kd y sinϕ sinθ − α y = 0 时， Sy (uy ) 出现最大值，得
sin ϕ 0
sinθ0
=
αy kd y
(3.10b)
两式联立求解得
⎧ ⎪
tan
ϕ
0
⎪
=
αydx αxd y
⎨ ⎪⎪⎩sin2 θ0
=
( αx kd x
是不可能实现的。一般相控阵能做到偏离侧向 ±60o 扫描已经很难得了，而图(d)
相当于 ±90o 扫描。
因为 sin2 θ0 ≤ 1，我们定义平面阵两个半空间的波束 Sx 和 Sy 重合的条件为
( αx )2 + ( αy )2 < 1
kd x
kd y
(3.12)
当 kd x 和 kd y 给定时，αx 和α y 将受上式限定。
m=0 n=0
= C e− Biblioteka Baidukr S(θ ,ϕ ) r
式中阵因子为
∑ ∑ S(θ
,ϕ )
=
Nx
−1 N y
−1
Imne
jk (mdx
cosϕ +nd y
sinϕ )sinθ
m=0 n=0
(3.1)
如果平面阵按列的分布为 I xm = I xme− jmαx ，按行的分布为 I yn = I yne− jnαy ，则
S(θ ,ϕ ) = Sx (θ ,ϕ ) ⋅ Sy (θ ,ϕ )
(3.3)
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式中，
N x −1
∑ Sx (θ ,ϕ ) =
I e jm(kdx cosϕ sinθ −αx ) xm
m=0
(3.4)
N y −1
∑ Sy (θ ,ϕ ) =
I e jn(kd y sinϕ sinθ −α y ) yn
2. 平面阵波束指向
指方向图最大值对应的角度方向。设行间距和列间距 dx 和 d y 均按抑制栅瓣 条件选取，则 Sx (ux ) 和 Sy (uy ) 都只有一个主瓣。当 ux = kdx cosϕ sinθ − αx = 0 时， Sx (ux ) 出现最大值，此时θ = θ0, ϕ = ϕ0 为波束指向，得