非线性动力学复习参考

非线性动力学复习参考

非线性动力学复习参考

1、简述绘制相轨线的原理及其作用。

解：单自由度机械系统的自由振动，其动力学方程的一般形式为

(,)0x f x x +=& (1)

引入新的变量y 表示速度x

（2）

则系统的运动状态由位置x 及速度y 所体现,x 和y 构成系统的状态变量，方程(1)可写为状态变量的一阶微分方程组：

,(,)x y y

f x y ==-&& (3) 设状态变量的初始条件为

(4)

方程(3)的满足初始条件(4)的解x(t) 和y(t) 完全确定系统的运动过程。以x 和y 为直角坐标建立(x,y)平面，称为系统的相平面。 与系统的运动状态一一对应的相平面上的点称为系统的相点。系统的运动过程可以用相点在相平面上的移动过程来描述。相点移动的轨迹称为相轨迹。不同初始条件的相轨迹组成相轨迹族。

现在我们来推导，如何利用该微分方程组得到相轨迹族。

绘制相轨迹线的作用：

相轨迹线可以帮助我们定性地了解系统在不同初始条件下的运动全貌。当系统是强非线性振动的时候，近似解析法（如小参数摄动法，多尺度法）不再适用，此时可以采用相轨迹法来研究。

相轨迹的奇点和极限环分别对应于系统的平衡状态和周期运动分析。奇点和极限环的类型可以判断平衡状态和周期运动的稳定性，以及受扰动后可能具有的振动特性。

6、简述非线性单自由度保守系统自由振动的主要特点及其与线性系

统的区别。

解：（1）非线性保守系统的动力学方程的一般形式为 ()0x f x +=&&，

化为状态方程为 对应的相轨迹微分方程为 ；

（2）相轨迹线在平面上，只有当总能量大于势能时，速度才有实数解，而且y 关于X 轴对称；

（3）相轨迹微分方程决定了相平面上的一个方向场:

f(x)=0 处有水平切线，y=0时，有竖直切线；

当f(x),y 同时为零时，相轨线的斜率不定，称这一点为

奇点，奇点的速度、加速度都为零，代表了平衡点，其

它各点的斜率都是确定的，称为正常点，所以保守系统

的相轨线在正常点是互不相交的。

（4） 势能函数在局部是单调函数;有孤立的极大值 （鞍点）;有孤

立的极小值 （中心）；

（5） 保守系统自由振动的周期，一般情况下随初始条件的不同而变

化；

（6） 保守系统的势能在平衡状态处有非孤立极小值，则平衡状态不

稳定；

()

x y y f x =⎧⎨=-⎩&&

(7) 恢复力与位移不成线性比例或阻尼力与速度不成线性比例；（8）非线性单自由度保守系统自由振动的机械能守恒。

非线性系统与线性系统的区别：

（1）非线性保守系统振动周期随初始条件的不同而变化；而线性保守系统的振动周期与初始条件无关。

(2) 线性系统，质量不变、弹性力和阻尼力与运动参数成线性关系，其数学描述为线性常系数常微分方程。而非线性系统不满足此条件。

7、简述非线性单自由度系统在简谐激励下的强迫振动特点。

解：在各种近似解析方法中，谐波平衡法是最简单明了的，其基本思想是将振动系统的激励项和方程的解都展成傅里叶级数。从物理意义考虑，为保证系统的作用力与惯性力的各阶谐波分量自相平衡，必须令动力学方程两端的同阶谐波的系数相等，从而得到包含未知系数的一系列代数方程，以确定待定的傅里叶级数的系数。

非线性单自由度系统在简谐激励下的强迫振动特点：

（1）

（2）自由振动的频率随振幅改变，而不同于线性系统的固有频率；（3）周期解中除基频为w的谐波以外，还有频率为3w,5w...的高次谐波存在，是非线性系统区别于线性系统的本质特点；（4）振幅突然变化的现象——突跳现象，也是非线性系统特有的现象之一；

（5）在非线性系统中，当干扰力频率在派生系统固有频率附近变化而受迫振动振幅很大时，发生主共振。一定条件下还会发生超

谐共振、亚谐共振、组合共振等非主共振现象。

8、简述自激振动产生的主要原因及其特点。

解：自激振动靠系统外的来源补充能量，但能源是恒定的，而不是周期变化的，系统以自己的运动状态作为调节器，以控制能量的输入。这类系统能自主地从定常的能源汲取能量，调节器的作用使输入的能量具有交变性。当输入的能量与耗散的能量达到平衡时，系统即可维持等幅振动。自振系统由三部分构成，即：（1）恒定的能源；（2）

耗散的振动系统；（3）受系统运动状态反馈的调节器

自振系统框图

自激振动有以下特征：

（1）振动过程中，存在能量的输入与耗散，因此自振系统为非保守系统。

（2）能源恒定，能量的输入仅受运动状态，即振动系统的位移和速度的调节，因此自振系统不显含时间变量，为自治系统。

（3）振动的特征量，如频率和振幅，由系统的物理参数确定，与初始条件无关。

（4）自治的线性系统只能产生衰减自由振动，无耗散时也只能产生振幅由初始条件确定的等幅自由振动。因此自振系统必为非线性系统。

（5）自激振动的稳定性取决于能量的输入与耗散的相互关系。若振幅偏离稳态值时，能量的增减能促使振幅回至稳态值，则自激振动稳

定。（如图a）反之,自激振动不稳定（如图b）

自振系统能量振幅关系曲线

10.简述非线性系统的分叉和混沌现象。

解：分岔现象是指振动系统的定性行为随着系统参数的改变而发生质的变化，它起源于力学失稳现象的研究。

在一些应用问题中，有时只需要研究平衡点和闭轨迹附近相轨迹的变化，即在平衡点或闭轨迹的某个邻域中的分岔，这类分岔问题称为局部分岔。如果需要考虑相空间中大范围的分岔性态，则称为全局

分岔。显然，系统的“局部”和“全局”性质是密切相关的，局部分岔本身也是全局分岔研究的重要内容。

如果只研究平衡点个数和稳定性随参数的变化，则称为静态分岔,动态分岔是指静态分岔之外的分岔现象.

分岔现象的研究主要可以概括为四个方面。（1）确定分岔集，即建立分岔的必要条件和充分条件；（2）分析分岔的定性性态，即出现分岔时系统拓扑结构随参数变化情况（3）计算分岔解，尤其是平衡点和极限环（4）考察不同分岔的相互作用，以及分岔与混沌等其它动力学现象的关系.

分岔理论的重要方面是系统的降维，即将原来需要研究的高维系统转化为较低维数的系统而保持分岔特性不变。李雅普诺夫施密特约化（简称LS约化）是将高维非线性系统平衡点分岔问题等效地简化为低维系统问题的一种方法。

中心流形方法是非线性系统理论的重要内容。中心流形是线性系统的中心子空间概念在非线性系统中的推广。在高维非线性系统非双曲平衡点的邻域内，存在一类维数较低的局部不变流形，当系统的相轨迹在此流形上时可能存在分岔，而在该流形之外，动力学行为非常简单，例如以指数方式被吸引到该流形。