数值方法验证弦截法的收敛速度

数值方法验证弦截法的收敛速度

摘要：本文在牛顿法的基础上进行改进,提出弦截法，并用数值方法验算弦截法的收敛速度为P=1.618。

关键词：牛顿法；弦截法；收敛速度

0引言

对于方程f（x）=0，如果f（x）是线性函数，则它的求根是容易的。牛顿法实质是一种线性化方法，其基本思想是将非线性方程f（x）=0逐步归结为某种线性方程来求解。

即为牛顿法求xk+1的计算公式。牛顿法的收敛速度是很快的，但从该公式中可以看出，在求根过程中，每步除计算f（xk）外还要计算f’（xk），当函数f （xk）比较复杂时，计算f’（xk）往往比较困难，为此可以利用已求函数值f（xk）,f （xk-1）,…来回避导数值f’（xk）的计算，于是有建立在插值基础上的弦截法和抛物线法。下面笔者就着重介绍弦截法及用数值方法验算弦截法的收敛速度P=

1.618。

1弦截法

设xk,xk-1是f（x）=0的近似根，我们利用f（xk）,f（xk-1）构造一次插值多项式pi（x），并用pi（x）=0 的根作为f（x）=0 的新的近似根xk-1。

由于（1）

因此有（2）

这样导出的迭代公式（2）可以看作牛顿公式中的导数f’（xk）用差商取代的结果。

这种迭代的几何意义是，曲线y=f（x）上横坐标为xk,xk-1的点分别为pk,pk-1，则弦线pk,pk-1的斜率等于差商值

其方程是，所以，按（2）式求得的xk+1实际上是弦线pk,pk-1与x轴交点的横坐标，这种算法因此而成为弦截法。

2数值验证弦截法的收敛速度为P=1.618

为进行验证我们先给出下定义：

定义：设迭代过程xk+1=φ（xk）收敛于方程x=φ（x）的根x*，如果迭代误差ek=xk-x*

当k→∞时成立下列渐进关系式且为常数，则称该迭代过程是p阶收敛的。特别地，p=1时称线性收敛，p>1时称超线性收敛，p=2时称平方收敛。

而对于弦截法我们用以下公式验证：

，而其中

例：求f（x）=x3-3x-1=0在x0=2附近的根，根的准确值

x*=1.87938524…，初始值为x0=2,x1=4。

运算过程见下述程序：

首先建立函数名为f的m文件作为方程的左边

function y=f（x）

y=x -3*x-1;

下面是主程序：

x=2;

y=4;

a=[];

a=[x,y];

whileabs（y-x）>eps

t=y;

y=y-f（y）*（y-x）/（f（y）-f（x））;

x=t;

a=[a,y];

end

v=a;

for i=1:size（a,2）

v（i）=f（a（i））;

end

m=0:0.01:4;

n=m;

for i=1:size（m,2）

n（i）=f（m（i））;

end

plot（a,v,’r.’）

hold on

plot（m,n）

于是我们便用数值方法验证了弦截法的收敛速度是

P=1.618。

3结束语

弦截法计算方便，收敛速度快，运用方便，但精度不及牛顿法和抛物线法。

参考文献：

[1] 李庆扬，王能超，易大义.数值分析[M].武汉：华中科技大学出版社，1986.

[2] 李庆扬，王能超，易大义.现代数值分析[M].北京：高等教育出版社，1995.

[3] 关治，陆金甫.数值分析基础[M].北京：高等教育出版社，1998.