一个数学期望的几种求解方法
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Ｎ（ｎ ， （ － ａ／ ） Ｔ－ ｔ ， （ － ｔ ） １ Ｓ ＋ ｒ ２ （ － ） Ｔ－ ） ．
ห้องสมุดไป่ตู้
于是 （ ） １ 转化 为
ｖ ｔＳ） Ｅ ｅ （ ， 一 （ 一汀 （ ｅ 一Ｋ） ｌ Ｓ Ｓ： ）
一— ～ （ ‘＝ ＝ ｛ — ＊』 Ｊ ｅ ｅ －７一 ｛ ÷ Ｉ 汀 ｒ ￡ 【 ｏ 。 ～）２ ） ￣（ ／兰 一 （ ～ 』 ｝ 如 — 一ｅ 亏亏＝ ｛ ｚ；ｔ — ｝ Ｊ 一 丌一＿ ｛ 二 ａ Ｊ ，ｅＴ（—√＝＝ ｐ —旦 』 Ｊ Ｉ “ ＿（ ｅｌ 二 一 （ Ｋ ２二 ）ｘ— Ｉ ｎ Ｋ 。 。 一 二１ ＿ 一 —） Ｔ 二 — ［ ７ Ｌ ｄ
ｑ ∈Ｃ（ ） 下有 界 ，（ ， 一Ｅ ［ｅ＇ 墨 且 ｖ ｔｚ） ｊ ｏ
［ 收稿 日期 ］２ ０ — ７０ ０ ７０ ２
ｆ（ ］ 则 有 Ｘ ），
［ 金 项 目］ 江 西省 自然科 学 基 金 （ ０ ９ ＱＳ ０ ） 江 西 省 教 育 厅 科 技 研 究 项 目（ Ｊ １ １ ７ Ｇ Ｊ ９ ５ ） 基 ２０Ｇ ０２ ； Ｇ Ｊ ０ ６ ， Ｊ０ ２ ７
１４ ９
ｆ ａ
大 学 数 学
ａ ．ｂ ０ ａ
第２ ６卷
Ｊ
２ 概 率 论 方 法
十
一 （ ｏ ∈ ｑ ， ） ＞ｚ
Ｉ （ ， － ｆ（ ｖ Ｏ ） ＝ ｘ）
由于 （ ） ２ 的解为 Ｓ —Ｓｅｒ ｚ ） ＋（ －ｔ， 而 一ｌＳ Ｔ （ ａ ｅＴｔ ａ Ｂ 从 － ／（ ） Ｂ ） ｎ 服从正 态分布
一 ｍａ （ Ｋ ，） 这 个 期 望 在 金 融 中 代 表 标 准 欧 式 看 涨 期 权 的 价 值 ． ｘＳ 一 Ｏ，
引理 １ Ｇｉ ａ ｏ ，ｅ 第 １ ２页 ） Ｘ Ｉ （ ｒ ｎ ｖＥ ｌ ｓ ６ 为 ｔ ｏ过程 ， 且
ｄ 一 ａ（） ｔ ｄ Ｘ。 ０ （ ≤ ￡ Ｔ） Ｘ， ｔｄ ＋ Ｂ ， 一 ０ ≤ ，
［ 摘 要］ 利 用 概 率 论 方 法 、 度 变 换 方 法 、 微 分 方 程 的 变 量 代 换 法 、 ｒｅ 测 偏 Ｇ ｅｎ函 数 法 、 ｏ ｒ ｒ 换 法 ， Ｆ ｕｉ 变 ｅ 给
出 了一 个 期 望 Ｅ（ …” （ 一Ｋ） Ｉ ｅ Ｓ 一Ｓ） Ｓ 的几 种 求 解 方 法 ．
一
ｓ 讨 论其求 解方 法 ， 于一 般情 形 ， 些方 法也 适 用． ） 对 这 由于 函数 － Ｓ ） 厂 的不 同 ， （ 可能 很难 得 出显 式 解 ，
记
但仍 可 用这些 方法 进行 数值计 算 ．
（，） Ｅ ｅ ｔ Ｓ 一 （ 一 （ Ｔ Ｋ） ｌ Ｓ） Ｓ— ＝ Ｓ ， （） １
其 中 Ｔ ｃ为 常数 ， ， 测 度 Ｐ 下 的标准 布 朗运动 ． ≤ ｘ ３ Ｂ 为 令
Ｍ一ｘ √ ）￥１ｕ㈤ｄ ， 一 ｄ－ ｓ ｅ Ｉ ｆ Ｂ √ ０ ｌ ｝
若 Ｍ 在测度 Ｐ 下关 于 ｄ域 流 Ｆ 一 Ｂ ，≤ ｔ 的鞅 ， 在 域 流 Ｆ 是 ｛ ｓ ） 并 — ｛ ｓ Ｔ｝ 定 义 测度 Ｑ， Ｂ ，≤ 上
［ 关键 词］ 期 望 ； 度 变 换 ； 微 分 方 程 测 偏 ［ 图分 类 号］ ０２ １ ６ 中 １． ［ 献标识码］ｃ 文 ［ 章 编 号 ］ １ ７—４ ４ ２ １ ） １０ ９—５ 文 ６ ２１ ５ （０ ０ ０ —１３０
１ 引
言
１７ ９ ３年 ， ｌｃ Ｂ ａｋ和 Ｓ ｈ ｌ 利 用无 套利 原理 给 出了著 名 的期 权定 价 公 式¨ 促进 了金 融数 学 领域 的 ｃ ｏｅ ｓ １ ， 快 速发 展． 由现 代金 融数 学理 论 ， 欧式未 定权 益 的价值最 终归 结 为在风 险 中性 下数 学期 望
第２ ６卷 第 １期
２１ ０ ０年 ２月
大 学 数 学
ＣＯ ＬＬＥＧ Ｅ Ａ Ｔ Ｈ ＥＭ Ａ Ｔ Ｉ Ｍ ＣＳ
Ｖｏ． １ ２６。 ｏ Ｎ ．１
Ｆｅ ． ０１ ｂ２ ０
一
个 数 学 期 望 的几 种 求 解 方 法
王 琦
（ 华 理 工大 学 数 学 与 信 息 科 学 学 院 ， 西 抚 州 ３ ４ ０ ） 东 江 ４ ０ ０
其 中 ｒＫ 为常数 ， ， 足 随机微 分方程 ， Ｓ满
ｄＳ 一 ｒ ｄ ＋ ａ ｄ Ｓ ｔ Ｓ， Ｂ ， （ ２）
Ｂ 为 风 险 中 性 概 率 测 度 Ｐ 下 的 标 准 布 朗 运 动 ． 表 示 在 测 度 Ｐ 的 条 件 期 望 算 子 ， Ｓ Ｅ （ 一 Ｋ）
Ｅ（— ｒｔ Ｓ ）Ｓ ＝ｓ ｅＪｔ ｆ（ ｌ ＝ ） ？ ｄ ＝
的求 解 ， 中 Ｓ 代 表 ｔ时 刻标 的资 产 的 价格 ，ｆ 即期 无 风 险 利率 ， （ 是 欧式 未 定 权益 的 到期 收 其 ｒ是 ＿Ｓ） 厂 益 ． 此类 数学 期望 的求 解方 法在定 价 中起着 关键 作 用． 文 对一 个 数学 期 望 Ｅ（ 一汀 （ 本 ｅ Ｓ 一Ｋ） ｌ Ｓ
一
Ｔ
～ Ｋ
ｅ ｘｐ
Ｔ
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一
—
一 ｒ －）ｊ ｆ￣Ｔ ｔ ｅ ｛ ———— ２（ ａ。 ｘ 一 ｐ
一
ｅ 一汀
ｒ
． Ｉ － （ Ｓ ｒ ￣／ ） Ｔ一￡ ） ． ｆ ｘ Ｉ ＋（ － ２ （ ｎ ）］ １
ｄ Ｑ—Ｍ Ｐ， Ｑ 是 Ｆ ｄ 则 上 的 概 率 测 度 ， Ｘ （≤ Ｔ） 测 度 Ｑ 下 的 标 准 布 朗 运 动 ． 且 ０ ≤ 为
引理 ２ Ｆ ｙ ｍａ — ｃ ［ ］ １ ３页 ） Ｘ， Ｉ （ ｅ ｎ ｎ Ｋａ ，２ 第 ４ 为 ｔ 散 ｏ扩
ｄ 一 ａ ｔＸ ｄ ＋ ６ ｔ Ｘ ｄ 厂 Ｃ （ ） Ｘ， （ ， ） ｔ （ ， ） Ｂ ， ∈ ，
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［ 收稿 日期 ］２ ０ — ７０ ０ ７０ ２
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［ 金 项 目］ 江 西省 自然科 学 基 金 （ ０ ９ ＱＳ ０ ） 江 西 省 教 育 厅 科 技 研 究 项 目（ Ｊ １ １ ７ Ｇ Ｊ ９ ５ ） 基 ２０Ｇ ０２ ； Ｇ Ｊ ０ ６ ， Ｊ０ ２ ７
１４ ９
ｆ ａ
大 学 数 学
ａ ．ｂ ０ ａ
第２ ６卷
Ｊ
２ 概 率 论 方 法
十
一 （ ｏ ∈ ｑ ， ） ＞ｚ
Ｉ （ ， － ｆ（ ｖ Ｏ ） ＝ ｘ）
由于 （ ） ２ 的解为 Ｓ —Ｓｅｒ ｚ ） ＋（ －ｔ， 而 一ｌＳ Ｔ （ ａ ｅＴｔ ａ Ｂ 从 － ／（ ） Ｂ ） ｎ 服从正 态分布
一 ｍａ （ Ｋ ，） 这 个 期 望 在 金 融 中 代 表 标 准 欧 式 看 涨 期 权 的 价 值 ． ｘＳ 一 Ｏ，
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［ 摘 要］ 利 用 概 率 论 方 法 、 度 变 换 方 法 、 微 分 方 程 的 变 量 代 换 法 、 ｒｅ 测 偏 Ｇ ｅｎ函 数 法 、 ｏ ｒ ｒ 换 法 ， Ｆ ｕｉ 变 ｅ 给
出 了一 个 期 望 Ｅ（ …” （ 一Ｋ） Ｉ ｅ Ｓ 一Ｓ） Ｓ 的几 种 求 解 方 法 ．
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但仍 可 用这些 方法 进行 数值计 算 ．
（，） Ｅ ｅ ｔ Ｓ 一 （ 一 （ Ｔ Ｋ） ｌ Ｓ） Ｓ— ＝ Ｓ ， （） １
其 中 Ｔ ｃ为 常数 ， ， 测 度 Ｐ 下 的标准 布 朗运动 ． ≤ ｘ ３ Ｂ 为 令
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［ 关键 词］ 期 望 ； 度 变 换 ； 微 分 方 程 测 偏 ［ 图分 类 号］ ０２ １ ６ 中 １． ［ 献标识码］ｃ 文 ［ 章 编 号 ］ １ ７—４ ４ ２ １ ） １０ ９—５ 文 ６ ２１ ５ （０ ０ ０ —１３０
１ 引
言
１７ ９ ３年 ， ｌｃ Ｂ ａｋ和 Ｓ ｈ ｌ 利 用无 套利 原理 给 出了著 名 的期 权定 价 公 式¨ 促进 了金 融数 学 领域 的 ｃ ｏｅ ｓ １ ， 快 速发 展． 由现 代金 融数 学理 论 ， 欧式未 定权 益 的价值最 终归 结 为在风 险 中性 下数 学期 望
第２ ６卷 第 １期
２１ ０ ０年 ２月
大 学 数 学
ＣＯ ＬＬＥＧ Ｅ Ａ Ｔ Ｈ ＥＭ Ａ Ｔ Ｉ Ｍ ＣＳ
Ｖｏ． １ ２６。 ｏ Ｎ ．１
Ｆｅ ． ０１ ｂ２ ０
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个 数 学 期 望 的几 种 求 解 方 法
王 琦
（ 华 理 工大 学 数 学 与 信 息 科 学 学 院 ， 西 抚 州 ３ ４ ０ ） 东 江 ４ ０ ０
其 中 ｒＫ 为常数 ， ， 足 随机微 分方程 ， Ｓ满
ｄＳ 一 ｒ ｄ ＋ ａ ｄ Ｓ ｔ Ｓ， Ｂ ， （ ２）
Ｂ 为 风 险 中 性 概 率 测 度 Ｐ 下 的 标 准 布 朗 运 动 ． 表 示 在 测 度 Ｐ 的 条 件 期 望 算 子 ， Ｓ Ｅ （ 一 Ｋ）
Ｅ（— ｒｔ Ｓ ）Ｓ ＝ｓ ｅＪｔ ｆ（ ｌ ＝ ） ？ ｄ ＝
的求 解 ， 中 Ｓ 代 表 ｔ时 刻标 的资 产 的 价格 ，ｆ 即期 无 风 险 利率 ， （ 是 欧式 未 定 权益 的 到期 收 其 ｒ是 ＿Ｓ） 厂 益 ． 此类 数学 期望 的求 解方 法在定 价 中起着 关键 作 用． 文 对一 个 数学 期 望 Ｅ（ 一汀 （ 本 ｅ Ｓ 一Ｋ） ｌ Ｓ
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