电子科技大学,现代控制理论,线性系统理论(2007)4

我们称上述状态空间表达式为能控标准型 I型. 其中
ai i 0,1,2,n 1
n
为特征多项式
n1
I A an1
的各项系数.
a1 a0
能控标准型 II 型 定理: 若线性定常单输入系统
x Ax bu y cx
是完全能控的,则存在线性非奇异变换
考虑到输入u(t)所引起的输出是可以计算的,所以在
分析能观测性问题时,常令u(t)=0，这样只需从齐次
状态方程和输出方程出发来考虑能观性问题。
可测性的概念 令线性定常系统的状态空间方程为：
x(t ) Ax(t ) Bu(t ) y(t ) Cx(t )
如果对任意给定的输入信号u(t),在有限观测时间 t f t0 ,能够根据 输出量y(t)在 t0 , t f


内的测量值,唯一的确定系统在
t0
时刻的
初始状态 x(t0 ),则称此系统的状态是完全能观测的，或称系统是 能观测的。
两点说明:
从输出方程看,如果输出y(t)的维数等于状态变量 的维数,即m=n,并且C阵为非奇异,则求解状态非常简
单,即 x(t ) C 1 y(t ) 显然不需要观测时间,但在一般
x Tc1 x 2 b An1b Tc 2 A b
n 1
可将状态空间表达式化为:
0 0 1 0 1 A Tc 2 ATc 2 1 0 0 0 1 0 b Tc1b , c cTc 2 2 0
线性连续定常系统的能观性
一个有可能可观测的例子的系统框图
+

－2
X1
U(t)
+ +

－3
X2
y(t)
0 x1 x1 2 1 x 0 x 1 u 3 2 2 x1 y 1 1 x2
情况下,输出的维数小于状态变量的维数，即m<n。为 了能唯一求出n个状态变量，应在不同的时刻多测量几
组输出，使之能构成n个方程式。
在定义中,之所以把能观性定义为对初始状态的确定,
是因为一旦确定了初始状态,就可以利用:
x t t t0 x t0 Bu d
其中：
A To 2 ATo1 2
Ax bu y cx
0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 a0 a1 an 2 an 1 1
1
则，状态完全能控的充要条件为：
Wux s
没有零点和极点对消现象。
多输入系统
定理：线性连续定常多输入系统
x Ax Bu
能控的充分必要条件是由A、B 构成的能控性矩阵
M B, AB, , A B 满秩，
n 1
即：rank M n
否则，系统不能控。
u(t)
b2
+
+

2
X2
+ +

1
X1
C1
y(t)
+
+
C2
具有一般系统矩阵的多输入系统
多输入多输出系统的约当标准型:
z z T 1 Bu, (无重特征根) x Ax Bu 1 z Jz T Bu, (有重特征根)
x Tz
可以证明,系统的线性变换不改变系统的能控性条件.
x Ax bu y cx
是完全能控的,则存在线性非奇异变换
x T x 1 a n 1 Tc1 An 1b Ab b an 2 a1
可将状态空间表达式化为:
1 c1
0 1 a3 a2
0 0 1 0 an 1 1
能控性与能观性的对偶关系 (原构系统）
对偶系统 (连续系统）
U(t)
+
X AX Bu Y CX
C Y(t)
B
+

A
X(t)
W s C sI A B
1
ˆ y(t )
BT
ˆ x(t )
原构系统
+

AT
ˆ u(t )
TT CC (t )
+
X AT X C T u ˆ ˆ T ˆ ˆ Y B X
t0 , t f 内,使系统由某一初态 x t0 转移到指定的
,则称此状态是能控的.若系统的
所有状态都是能控的,则称此系统是状态完全能控的, 和简称系统是能控的.
P1
.
P
P2
O
Pn
为简单起见,可以假定初始时刻t0 ,初始状态为 x 0 而终端状态指定为零状态.即; x t f 0 也可以假定 x t0 0
1 an 1 0 1 To 2 0 0 0 0 a2
3
1 0
a1 cAn 1 n 1 2 cA n 1 cA 1 c
将表达式变换为： x
定理：线性连续定常单输入系统
x Ax bu
能控的充分必要条件是由A、b 构成的能控性矩阵
M b, Ab, , A b
n 1
满秩，
即：rank M n
否则，系统不能控。
由输入到状态的传递函数判断能控性
输入到状态的传递函数为：
Wux s sI A b
系统框图
b1
u(t)
+

2
X2
+ +

1
X1
C1
y(t)
+
+
C2
x1 1 1 x1 0 x1 x 0 x b u, y c1 c2 x 2 2 2 2 2
系统框图
,
x t f

为任意终端状态.
换句话说,若存在一个无约束控制作用,在有限时间
t0 , t f 内,能将x(t)由零状态驱动到任意状态 x t f
称为状态的能达性. 在线性定常系统中,能控性与能达性是等价的. 且与 初始时刻无关. 但在时变系统中能控性与能观性
不等价,并与初始时刻有关.
我们称上述状态空间表达式为能观标准型 I型. 其中
ai i 0,1,2,n 1
n
为特征多项式
n1
I A an1
的各项系数.
a1 a0
能观标准型 II 型
定理: 若线性定常单输入系统
x Ax bu y cx
是完全能观的,则存在线性非奇异变换 x To 2 x
一个不可观测的例子的系统框图
+

－2
X1
y(t)
4
U(t)
+ +

－3
X2
0 x1 x1 2 1 x 0 x 1 u 3 2 2 x1 y 4 0 x2
能观测性表示的是y(t)反映状态向量x(t)的能力,
系统的系数矩阵A的特征根互异时,可控的充要条件 为T-1B的各行元素不全为零.
系统的系数矩阵A的特征根有相同时,可控的充要
条件为:
1)T-1B中对应于相同特征根的部分,它的每个约当
块的最后一行不全为零.
2)对应于互异特征根的T-1B的各行元素不全为零.
直接从A、B判别系统的能控性
单输入单输出系统
第三章 线性系统的能控标准型和能观标准型
能控性与能观性是现代控制理论中两个最重要概念.
u1 u2 ur
. . . .
x1 x2
能控性
. . .
y1 y2
能观性
xn
yr
. . . .
线性连续定常系统的能控性定义 给定线性时不变定常系统
x Ax Bu
如果存在一个分段连续的输入 u(t),能在有限时间区间 任一终端状态 x t f
x1 1 0 x1 0 x1 x 0 x b u, y c1 c2 x 2 2 2 2 2
系统框图
+

1
X1
C1
U(t)
b2
+ +

2
X2
C2
y(t)
x1 1 1 x1 b1 x1 x 0 x 0 u, y c1 c2 x 2 2 2 2
t t0
确定各个瞬时的状态.
定常系统能观性的判定
约当标准型方法
A,C矩阵判定
定理：线性连续定常多输入系统
x Ax, x(t0 ) x0 , t t0 y Cx
能观的充分必要条件是由A、C 构成的能观性矩阵
C CA N n 1 CA 满秩，否则，系统不能观。
定理: 若线性定常单输入系统
x Ax bu y cx
是完全能观的,则ห้องสมุดไป่ตู้在线性非奇异变换
x To1 x 1 c cA T011 N n 1 cA
将表达式化为： x Ax bu y cx
其中：
0 0 A To1 ATo1 1 0 a0 1 0 0 1 0 0 1 an 1
a1 an 2
0 T 1b 1 , c cT 1 0 0 0 b o1 o1 n 1
能控性的系统意义 考虑二阶系统的三种约当标准型
x1 1 0 x1 0 x1 x 0 x b u, y c1 c2 x 2 2 2 2 2 x1 1 1 x1 b1 x1 x 0 x 0 u, y c1 c2 x 2 2 2 2 x1 1 1 x1 01 x1 x 0 x b u, y c1 c2 x 2 2 2 1 2
W s B
T
sI A
1
C
对偶系统的性质 对偶系统的传递函数互为转置
对偶系统的特征方程相同
原构系统完全能控的充要条件是对偶系统完全 能观测.
原构系统完全观测的充要条件是对偶系统完全
能控。
单输入线性定常系统的能控标准型
能控标准型 I 型 定理: 若线性定常单输入系统
x Ax bu y cx 1 0 0 0 A Tc1 ATc1 1 0 0 a0 a1 0 0 1 b Tc1 b , c cTc1 1 1 0 an 2 0 1 an 1
a0 0 a1 0 an 2 1 an 1 0
我们称上述状态空间表达式为能控标准型 II 型. 其中
ai i 0,1,2,n 1
n
为特征多项式
n1
I A an1
的各项系数.
a1 a0
能观标准型 I 型