含参不等式的解法(教师版)
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不等式(3)----含参不等式的解法
当在一个不等式中含有了字母,则称这一不等式为含参数的不等式,那么此时的参数可以从以下两个方面来影响不等式的求解,首先是对不等式的类型(即是那一种不等式)的影响,其次是字母对这个不等式的解的大小的影响。我们必须通过分类讨论才可解决上述两个问题,同时还要注意是参数的选取确定了不等式的解,而不是不等式的解来区分参数的讨论。解参数不等式一直是高考所考查的重点内容。
(一)几类常见的含参数不等式
一、含参数的一元二次不等式的解法:
例1:解关于的x 不等式2(1)410()m x x m R +-+≤∈
分析:当m+1=0时,它是一个关于x 的一元一次不等式;当m+1≠1时,还需对m+1>0及m+1<0来分类讨论,并结合判别式及图象的开口方向进行分类讨论:⑴当m<-1时,⊿=4(3-m )>0,图象开口向下,与x 轴有两个不同交点,不等式的解集取两边。⑵当-1
⎫=-≥⎨⎬⎩⎭
当时原不等式的解集为 ⎭⎬⎫⎩
⎨⎧+-+≤≤+--<<-⎭
⎬⎫⎩⎨⎧+-+≤+--≥-<∆=+-+-≠132132|,31132132|1);
34014)1(12m m x m m x m m m x m m x x m m x x m m 原不等式的解集为时当或时,原不等式的解集为则当-(=的判别式时,当 当m=3时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧=
21|x x ; 当m>3时, 原不等式的解集为∅。
小结:⑴解含参数的一元二次不等式可先分解因式再讨论求解,若不易分解,也可对判别式分类讨论。⑵利用函数图象必须明确:①图象开口方向,②判别式确定解的存在范围,③两根大小。⑶二次项的取值(如取0、取正值、取负值)对不等式实际解的影响。
牛刀小试:解关于x 的不等式)0(,04)1(22>>++-a x a ax
思路点拨:先将左边分解因式,找出两根,然后就两根的大小关系写出解集。具体解答请同学们自己完成。
二、含参数的分式不等式的解法:
例2:解关于x 的不等式02
12>---x x ax 分析:解此分式不等式先要等价转化为整式不等式,再对ax -1中的a 进行分类讨论求解,还需用到序轴标根法。
解:原不等式等价于0)1)(2)(1(>+--x x ax
当a =0时,原不等式等价于0)1)(2(<+-x x
解得21<<-x ,此时原不等式得解集为{x|21<<-x };
当a >0时, 原不等式等价于0)1)(2)(1(>+--x x a
x , 则:当,2
1时=a 原不等式的解集为{}21|≠->x x x 且; 当0<,21时 ⎬⎫⎩⎨⎧<<->211|x a x x 或; 当,21时>a 原不等式的解集为⎭ ⎬⎫⎩⎨⎧><<-211|x a x x 或; 当a <0时, 原不等式等价于0)1)(2)(1(<+--x x a x , 则当1-=a 时, 原不等式的解集为{}12|-≠ 当01<<-a 时, 原不等式的解集为⎭ ⎬⎫⎩⎨⎧<<-<211|x a x x 或; 当1- ⎬⎫⎩⎨⎧<<-<211|x a x x 或; 小结:⑴本题在分类讨论中容易忽略a =0的情况以及对a 1,-1和2的大小进行比较再结合系轴标根法写出各种情况下的解集。⑵解含参数不等式时,一要考虑参数总的取值范围,二要用同一标准对参数进行划分,做到不重不漏,三要使划分后的不等式的解集的表达式是确定的。⑶对任何分式不等式都是通过移项、通分等一系列手段,把不等号一边化为0,再转化为乘积不等式来解决。 牛刀小试:解关于x 的不等式)1(,12 )1(≠>--a x x a 思路点拨:将此不等式转化为整式不等式后需对参数a 分两级讨论:先按a >1和a <1分为两类,再在a <1的情况下,又要按两根1 2--a a 与2的大小关系分为100,0<<= 三、含参数的绝对值不等式的解法: 例3:解关于x 的不等式)0,0(,|2|>>≥-b a bx ax 分析:解绝对值不等式的思路是去掉绝对值符号,本题要用到同解变形)()()()()(|)(|x g x f x g x f x g x f ≥-≤⇔≥或,首先将原不等式化为不含绝对值符号的不等式,然后就a 、b 两个参数间的大小关系分类讨论求解。 解:2)(2)(22|2|≥-≤+⇔≥--≤-⇔≥-x b a x b a bx ax bx ax bx ax 或或 当0>>b a 时,2)(2)(≥-≤+x b a x b a 或b a x b a x -≥+≤ ⇔22或 此时原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≥+≤b a x b a x x 22|或; 当0>=b a 时,由无解而得2)(,22)(≥-+≤ ≤+x b a b a x x b a , 此时原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩ ⎨⎧+≤b a x x 2|; 当b a <<0时,2)(2)(≥-≤+x b a x b a 或b a x b a x b a x +≤⇔-≤+≤ ⇔222或 此时此时原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≤b a x x 2|; 综上所述,当0>>b a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩ ⎨⎧-≥+≤b a x b a x x 22|或;当0>≥a b 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩ ⎨⎧+≤b a x x 2|。 小结:去掉绝对值符号的方法有①定义法:) 0()0({||≥<-=a a a a a ②平方法:⇔≤|)(||)(|x g x f )()(22x g x f ≤③利用同解变形:);0(,||);0(,||>>-<⇔>><<-⇔ );()()()(|)(|x g x f x g x g x f ≤≤-⇔≤)()()()()(|)(|x g x f x g x f x g x f ≥-≤⇔≥或; (二)解含参数不等式的常用方法 一、通过讨论解带参数不等式 例1:2(1)0x x a a ---> 例2:关于x 的不等式01)1(2<-+-+a x a ax 对于R x ∈恒成立,求a 的取值范围。 二、已知解集的参数不等式 例3:已知集合{}2540A x x x =-+|≤, {}2|220B x x ax a =-++≤,若B A ⊆,求实数a 的取值范围. 三、使用变量分离方法解带参数不等式 例4:若不等式210x ax ≥++对于一切1 (0,)2 x ∈成立,则a 的取值范围. 例5:设()()()⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡+-+++=n a n n x f x x x 121lg Λ,其中a 是实数,n 是任意给定的自然数且n ≥2,若()x f 当(]1,∞-∈x 时有意义, 求a 的取值范围。 例6: 已知定义在R 上函数f(x)为奇函数,且在[)+∞,0上是增函数,对于任意R x ∈求实 数m 范围,使()()0cos 2432cos >-+-θθm m f f 恒成立。 思考:对于(0,3)上的一切实数x,不等式()122-<-x m x 恒成立,求实数m 的取值范 围。如何求解? 分离参数法适用题型:(1) 参数与变量能分离;(2) 函数的最值易求出。 四、主参换位法解带参数不等式 某些含参不等式恒成立问题,在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量,但函数的最值却难以求出时,可考虑变换思维角度。即把变元与参数换个位置,再结合其它知识,往往会取得出奇制胜的效果。 一般情况下,如果给出参数的范围,则可以把参数看作主变量,进行研究。 例7:若对于任意a (]1,1-∈,函数()()a x a x x f 2442 -+-+=的值恒大于0,求x 的 取值范围。