牛顿插值公式

k f ( x1 ) k!hk

k f ( x0 ) k!hk
k f ( x1 ) k f ( x0 )

k!hk
(k 1)h
(k 1)h

k ( f ( x1 ) f ( x0 )) (k 1)!hk1

k 1 f ( x0 ) (k 1)! hk 1
.
n
Rn( x) f [x, x0 , x1, , xn ]( x xi ) --- 牛顿插值余项 i0
乘除法次数大约为: 1 n2 3 n 较L-插值法减少了3-4倍. 22
5 重节点差商
定义5 (重节点差商)
则定义
记
f[
类似的有
x0
,
x0
]

x
lim
(1 0
)

x
0
f[
若 lim x0(1) x0
x0
,
x(1) 0
]

f ( x0(1) ) f ( x0
x0(1) x0
lim f ( x0(1) )
x0(1) x0
x0(1)
)
f (x x0
f
0
( x0 ) )
f
(
,
x
0
)
（1）f [x0, x1,
, xn, x, x]
lim
x(1) x
f [x0, x1,
m!
f
x0 , x1,
,
xm
m f ( x0 ) m!hm
5.2 牛顿向前插值，向后插值公式
1、公式
a
x0
x1
x2
xn1 xn b
设有 y f ( x) 函数表 ( xk , f ( xk )), xk x0 kh, k 0,1, , n,
x [a,b]— 被插值点。
#
性质3 差分与导数关系
自己证
m f ( xm ) m f ( x0 ) hm f (m) ( ), 其中 ( x0 , xm ), m 1,2, , n.
证明：m
f ( x0 ) f
性质2
x0 , x1 ,
, xm
m!hm f
定理7
(m) ( ) m!hm f (m) ( )hm .
§4 差商与牛顿插值多项式
n 阶差商 f [x0, x1, , xn] [x0, x1, , xn ] f ( x) 牛顿插值公式

f x1, x2 ,
xn f
xn
x0
x0
牛, x1顿,插, x值n1多
项式系数
f ( x) Pn ( x) Rn ( x)
其中，Pn( x) f ( x00) ff[[xx00,,x11]( x x0 ) ff[x[x0,0,xx1,1,,,xxnn](]x x0)( x x1) (x xn1) --- 牛顿插值多项式
fk ,

fk1 fk fk1 , 2 f 1 fk1 2 fk k
f k1
—二阶中心差分；
2
2
(3) 一般地，
m fk (m1 fk ) m1fk m1 fk1 m1 fk — m 阶向前差分； m f k ( m1 f k ) m1f k — m m1 f k m1 f k1 阶向后差分；
I — 不变算子（恒等算子）； If k fk
E — 位移算子
Efk fk1 , E m fk fkm
（4）设A与B为两算子, 若 Afk Bfk ，则称算子A与B为相等。记为A B;
若 AB BA I ，则称A为B的逆算子。记为B A1( A B1 );

f ( x0 ) 3!
f（4）( x0 4!
)
(
x

x0
)

f
(n)(x0 ) (x n!

x0 )n3

o(( x

x0 )n3 )

f
[ x0 ,
x0 ,
x0 ,
x0 ]

lim
x x0
f [x0, x0, x] f [x0, x0, x0] x x0
f（3）( x0 ) 3！
2
2
2
1
1
1
E 2 E 2 E 2 (E I ).
2、性质
性质 1 f ( x)的各阶差分均可用函数值表示。
n
n
即
n fk
(1)
j
(
n j
)
fn
jk
,
n fk
(1)
j
(
n j
)
f
k
j
.
j0
j0
其中
(nj )

Cnj

n(n
1) (n j!
jI
j
fk

n
(1)
j
(
n j
)
f
n k
j
j0
j0
n fk (I E 1 )n fk
n
(
1)
j
(
n j
)
I
n
j
(
E
1
)
j
fk

n
(
1)
j
(
n j
)
f
k

j
.
j0
I E 1
j0
#
性质 2 差分与差商的关系
则
f
令证x0明,xxk1：,用x,归0xm纳kh法,(m可mkf!证h( xm00。,)1,自,mm己nf!),h证( x或mm )一x,(km般1 地1x,2kff,xxnnh,,nk,x,()n.k1
f( x0
f
x0 )
x1
,x
f ( x0 ) h
2 , , xk
1


k 1，2, ，n k f ( x1 ) ,
k!hk
则
f
x0 , x1, , xk , xk1

f [ x1, x2, , xk1] f [ x0 , x1, , xk ] xk1 x0
下证
f [x0, x0, x0]
lim
x x0
f [x0, x0, x]
lim
x x0
f [x0, x] f [x0, x0] x x0
泰勒展开式

f (x)
f (x0)
f (x0 )( x
x0)
f (x0 ) (x 2!
x0 )2


f (n)(x0 ) (x n!
（1）当 x 靠近 x0 (表初或差头)时，通常取插值节点：x0, x1, , xn
以下推导以x0 , x1, , xn 为节点的等距插值公式。
作变换 x x0 th, t [0,1], 此时，x0 x x1 x0 h,
又由 xk x0 kh, 则 x xk (t k)h,(k 0,1, , n)
如
(a) E I , ( fk fk1 fk Efk Ifk (E I ) fk )
(b) I E 1 （自己证）
1
fk1 E 2
1
fk , fk1 E 2
1
fk (E 2 )1 fk ,

fk fk1 fk1,
2
hhkk t(t
1)(t

2)
(t

k
1)
k f ( x0 ) k! hhkk
代入(4.2)：

t(t
1) (t k!

k
1)
k
f
( x0 )

t(t
1) (t k!

k
1)
k
f0
Pn( x) f ( x0 ) f [x0 , x1]( x x0 ) f [x0, x1, , xn]( x x0 )( x x1) (x xn1)
(2) 2 f k (f k ) f k1 f k f k2 2 f k1 f k —二阶向前差分；
2 f k (f k ) fk fk1 f k 2 f k1 f k2 —二阶向后差分；
若


f k1 fk1 2 f k 2 fk1
( x x0 )( x x1 ) ( x xk1 ) f x0 , x1, , xk

hk t (t
1)(t

2)
(t

k
1)
k f ( x0 ) k!hk
( x x0 )( x x1 ) ( x xk1 ) f x0 , x1, , xk
fk f ( xk
分别称为
) f
f ( xk h)
(x)在x xk
点fk的 步fk长1 , 为fhk 的 f一( x阶k 向h2 )前 f差(、xk分向 h2后) 、fk中12 心fk差12 ,分.
— 向前差分算子； — 向后差分算子； — 中心差分算子.
x

x0 )n2

o(( x

x0 )n2 )
又
f [x0, x0, x0]
lim
x x0
f [x0, x] x
f [x0, x0] x0
f [x0, x0, x0]
f ( x0 )， 2!
由于
f [x0, x0, x]
f [x0, x] f [x0, x0] x x0
即得牛顿向前插值公式（牛顿前插公式或表初公式）： 系数
f ( x) f ( x0 th) Pn ( x0 th) Rn ( x)

其
中Pn
(
x
)

Pn ( x0
th)
f
( x00)
tff((xx00))
f ( x0 ) 1!
泰勒展开式

f (x)
f (x0)
f (x0 )( x
x0)
f (x0 ) (x 2!
x0 )2


f (n)(x0 ) (x n!
x0 )n
o(( x
x0 )n )

f[x0, x]
f (x) f (x0) x x0

f (x0 )
, x(1)] x(1)
f [x0, x1, x
, x]

d dx
f [x0, x1,
, xn, x]
? (2)
f [x0, x0, ,x0 ]
f (n)( x0 ) n!
n1个
分析：(2)首先,由定义 f [x0 , x0 ]
f ( x0 )
f ( x0 ) 1!
f
( x0 2!
)
(
x

x0
)



f
(n) ( x0 n!
)
(
x

x0
)
n1

o((
x

x0
)
n1
)

f[

x0 , x0 ,
f ( x0 ) 2!
x

]
f
f [x0, x] f [
( x0 3!
)
(
x

x x0
x0)
x0

,
f
x0 ]
(n)( x0 n!
)
(

j 1) .
(E I )n fk
n
(1)
j
(
n j
)
E
n
jI
j
fk
证明：用算子二项式定理：
j0 n
EI
( I E 1 )n fk
(
1)
j
(
n j
)
I
n
j
(
E
1
)
j
fk
j0
得
n fk ( E I )n fk
n
(1)
j
(
n j
)
E
n
, 0, x,1n,k , xn1, xn
,

nk f1()x,n )
k!hk
k f ( xnk k!hk
, )
,
当m=1时，f x0 , x1
假设当m=k时，有
f x0 , x1 , , xk
f ( x1 ) x1
k f ( x0 k!hk
),
f [x0,x0, ,x0]
f（n）( x0 ) n！
#
n1
§5 差分，等距节点插值多项式
且 或
5.1 差分及性质 给定 y f (x)的函数表 f
a x0 x1 xn b , xk
xk x0 kh,(k 0,1, , n),

f ( x0 ) 2!
f
( x0 3!
)
(
x

x0
)( x0 ) n!
(x

x0 )n2

o((
x

x0 )n2 )，
及
f [x0, x0, x0]
f ( x0 )， 2!
f [x0, x0, x0, x]
f [x0, x0, x] f [x0, x0, x0] x x0
x
(x) f
xk1 并记
x0
x1
(x0 ) f (x1)
h 0,(k
f (xk )

1,2, fk ,(k
xn f (xn)
,n) , 即
0,1, ,
h b
n)。
n
a
,
1、差分
定义6（1）记号 fk f ( xk ) f ( xk h) f ( xk ) fk 1 fk ,
x0 )n
o(( x
x0 )n )

f[x0, x]
f (x) f (x0) x x0

f (x0 )
f
( x0 2!
)
(
x

x0
)



f
(n) ( x0 n!
)
(
x

x0
)
n1

o((
x

x0
)
n1
)
证明：(2)首先,由定义 f [x0 , x0 ]
f ( x0 )