课题学习猜想证明

课题学习
猜想、证明与拓广
渠县有庆中学熊健
课题学习
猜想、证明与拓广
渠县有庆中学熊健
一、教学目标：
1.知识与技能
(1)经历猜想、证明、拓广的过程，增强问题意识和自主探索意识，获得探索和发现的体验.
（2）在问题解决过程中综合运用所学的知识，体会知识之间的内在联系，形成对数学的整体性认识.
二、教学重点难点
1.重点:通过对一个开放性、探究性的课题的探索，获得探索和发现的体验，体现归纳、综合和拓展，感悟处理问题的策略和方法.
2.难点:处理问题的策略和方法.教学过程
三、教学过程
师：同学们，我们从小学到中学我们一直都在学习数学，那我们为什么要学习数学呢?
生1：是为解决生活中的一些实际问题。

生2：数学不仅是解决生活中的一些实际问题，而且还是为培养逻辑思维能力、思考问题、解决问题的能力。

师：实际上这两个同学关于为什么要学习数学的回答都是非
常准确的。

同学们都知道数学是源于生活，用于生活。

通过对数学的学习，它会教给我们怎么发现问题，怎么解决问题的能力，那么如何去发现问题解决问题呢？那就是我们今一天这节课要研究的问题。

（板书课题）
通常情况下我们要去发现一个问题，解决一个问题，大体都要经过这三个环节，首先要我们去猜想一下，然后用数学的方法去加以证明，最后还要把我们得到的这个结论加以拓广。

那么，我们今天这节课通过一个小小的问题做为载体，来更好的认识，猜想、证明与拓广。

那么这个问题是什么呢？
请同学们看
正方形的倍增问题。

板书：
正方形__倍增___ 正方形
首先，请大家思考一下倍增是什么意思？
倍增：是不是就是变为原来的2倍大。

在正方形里面可以倍增的量都是可以用来度量的，那我想问一下在正方形的里面有哪些量可以用来倍增呢？
生：边长、周长、面积、对角线
师：对所有这些量都可以倍增，问题来了请大家看。

如果现在有一个边长为a的正方形，现在我想让它的周长变为原来的2倍，这样的正方形存不存在？
生：存在，只要将边长变为原来的2倍。

师：如果我要将面积变成原来的2倍，这样的正方形成在不成在？
生：存在，只在将正方形的边长变成原来的2倍，就可以了。

师：大家都很轻松的找到了，也就是说在正方形里面我们让它一个量倍增是很容易办到的，但是正方形里面有多个量，如果我们让多个量来倍增，又会有怎样呢？大家不防来提出一个猜想？
师：你愿意让正方形的那两个量同时倍增。

生：周长、面积。

师：提出一个设想，让正方形的边长和面积同时倍增，那么这样的正方形存不存在呢？
大家思考一下，同桌之间讨论一下，倍增之后的正方形存不存在，存在的话，请求出来，不存在的话请你说明理由？生：认为这个正方形不存在。

反证
生：认为这个正方形不存在。

相似。

同学通过讨论，证明这样的正方形不存在的。

师：请同学们想一想你学过的哪些图形和正方形类似，周长和面积不可能同时倍增。

生：正三角形圆正五边形正六边形
师：大家总结一下，什么样的图形不可能周长和面积同时倍增。

生：圆、和所有正多边形都不可能周长和面积同时倍增。

师：对这个图形都是不可能同时倍增的。

那可不可以在推广一下，等腰直角三角形可不可以周长和面积同时倍增。

生:不可以，因为，等腰直角三角形也是相似图形，由于相似比是1：2面积比应该是1：4，因此这不能是倍增图形。

师：那能不能仿照刚才的结论总结出一个更一般的结论。

生：当周长扩大两倍时，如果这两个图形还是一对相似图形，就不可能。

所以只要是相似图形就不可能周长和面积同时倍增。

师：可以得到结论，相似图形不可周长和面积同时倍增。

我们可经继续探究。

作为正方形，如果一个量是能够倍增的，是很容易办到的。

当条件加强时，由一个变成两个时，就没有办法完成这个倍增了。

在这里我们的前提图形不变，还是正方形，倍增的条件也不变，周长和面积同时倍增，让我们把结论放宽一点。

结论放宽？大家想一下，我们前面是要求的将正方形变成正方形，如果放宽一点的话。

那是哪一个图形呢？
生：矩形，因为正方形是特殊的矩形。

师：因此我们来研究一下，正方形的周长和面积倍增时，能不能得到矩形呢？
看题：已知一个正方形的边长是1，当周长和面积都倍增的时候能不能得到一个矩形呢？
大家考虑一下，同桌之间相互讨论一下。

学生做，老师巡视。

生：周长是4，倍增后周长是8，面积是1，倍增后面积是2.设倍增后的矩形的长为x，宽为（x-4),然后相乘为2，可得到x=2
2-
2+y=2
师：正方形完全可以找到一个和它周长面积都是2倍的矩形接下想大家猜想一下，刚才我们让正方形不变，倍增的条件不变，让结论变了一下。

这个过程我们就探究完了，如果我们还有继续向下探究的话，大家猜想一下应该怎样修改了。

生：可以将前提的正方形，改成矩形，或者其它图形。

师：那我们就先换成矩形来探究一下。

师：任意给定一个矩形是否存在另一个矩形的周长和面积都变成原来的2倍。

师：这个问题的研究的时候，前我们在研究正方形的时候，当周长固定的时候，正方形的图形是固定，当面积一定时，正方形也是唯一确定，但是，在矩形中，当矩形的周长一定时，矩形的形状不是唯一确定的，当矩形的面积一定时，矩形的形状也不是唯一确定的。

那么我从研究什么样的矩形探究起走呢？
我们可以先固定一个矩形，从特殊形试开始。

师：例1：如果已知矩形的长和宽分别为2和1,结论会
怎样呢?你是怎么做的?和同伴交流.
生1：先固定所求矩形的周长,将问题化为方程x(6-x)=6是否有解的问题.
生2：先固定所求矩形的面积,将问题转化为方程x+4/x=6是否有解的问题.
生3：也可以根据已知矩形的长和宽分别为2和1,那么其周长和面积分别为6和2,所求矩形的周长和面积应分别为12和4,设其长和宽分别为x和y,则得方程组然后讨论它的解是否符合题意.
师：我们再来做一个
师:那更一般一些。

已知矩形的长和宽分别为4和1, 5和1, ……n和1呢？更一般地，当已知矩形的长和宽分别为n和m时，是否仍然有相同的结论？
那我们可以研究当已知矩形的长和宽分别为n和m时，是否仍然有相同的结论？
解:当已知矩形的长和宽分别为n和m时,那么其周长和面积分别为2(m+n),和mn,所求的矩形周长和面积为4(m+n)和2mn.设所求矩形的长为x,那么宽为2(m+n)-x,根据题意,得x[2(m+n)-x]=2mn.
整理得,x2-2(m+n)x+2mn=0
所以，这样的矩形存在，它的长是n m n m 22+++ 它的宽为n m n m 22+-+
因此我们可以得出结论：
任意给定一个矩形，一定成在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的2倍。

课堂练习：
1、观察下列等式
2、观察下列等式
154
41564154
48
3
3827
8333
2
238322==+==+==+。

你能得到怎样的结论？并证明你的结论？
师：提醒：有怎样的特点，是不是有一个倍增关系，从一个式子到二个式子，从二个式子到三个式子，。

那第n 个式子是？
生：结论是：
1122-=-+n n n
n n
n
证明 111223
2-=-=-+n n n
n n
n n n
15441564154483382783332238322==+==+
==+。

师;请同学们来看一下今年的中考的一个倍增问题
命题1：直线x y =与双曲线x y 1=有一个交点是（1，1）； 命题
2：直线x y 8=与双曲线x y 2=有一个交点是（21，4）； 命题
3：直线x y 27=与双曲线x y 3=有一个交点是（31，9）； 命题4：直线x y 64=与双曲线x y 4=有一个交点是（4
1，16）； ……………………………………………………
（1）请你阅读、观察上面命题，猜想出命题n （n 为正整数）；
（2）请验证你猜想的命题n 是真命题．
师：提醒：条件是怎样倍增的。

第n 个命题应该怎样表述呢？ 解（1）命题n ：直线x n y 3=与双曲线x n y =有一个交点是（n 1，2n ）
（2）将（n 1，2n ）代入直线x n y 3=得：右边=231n n
n =⨯，左边=2n ，
∴左边=右边，∴点（n
1，2n ）在直线x n y 3=上， 同理可证：点（n 1，2n ）在双曲线x
n y =上， ∴直线x n y 3=与双曲线x n y =有一个交点是（n
1，2n ） 四：课堂小结
1.本节课的数学知识是综合所学知识,体会知识之间的内在联系.
2.本节课学习的数学方法:猜想、证明、拓广、感受由特殊到一般，数形结合的思想方法，体会证明的必要性.
五：课后作业请大家完成书上作业的1、2、3、4题。