第六章光波导理论及器件

则TE波中，仅剩 Ey, Hz, Hx 且
HxmEy
Hz=jmE xy
TE波中的所有电磁分量均由 E y 决定，满足常系数二阶微分方程
Ey(x)ejx'ejx
对于平板波导的三个层

1 2
= (n12 k
=
(
n
2 2
k
2 2


2 2
)1/ 2 )1/ 2
有效波导层厚度
deff dxs xs
8
平板波导的电磁理论基础
对光学现象的完善描述需借助电磁理论分析
不存在自由电荷和传导电流时
D
E(x, y,z;t) B(x, y,z;t) t
H(x, y,z;t) D(x, y,z;t)
B0
E B t
判断导波模数，允许v+1个模
21
光波导的模式
光
单模
?
多模
A
B
C
D
22
mm 例1、n 1 n 2 2 , n 1 n 2 0 . 0 1 , d 2 m , 0 . 8 m , v ?
v2 d n1 2n2 22 0 .8 20.21
存在2个导波模，v=0，1
E y x
Hx(x)m(AcosxBsinx), -dx0
Hx(2)(x)Am2 e2x,
xd
Hx(3)(x)Am3 e3x,
x0
Hz(x)jm(AsinxBcosx), -dx0
Hz(2)(x)j2mA2 e2x,
xd
六. 光波导理论及器件基础
6.1 平板波导 6.2 通道波导
6.3 光波导器件
1
光波导的概念
光纤、平面薄膜、窄条
对光辐射实施限制和传输的技术
研究方法：射线理论、电磁场理论
研究内容：光波导中光的传播行为、传导模式 、传输特性
2
平板波导
射线光学：直观、近似
电磁理论：复杂、完善
光线在介质界面发生反射和折射
直角坐标系中
t ( , , )
x y z
H jD t
若麦克斯韦方程组具有随时间周期变化的解，可表示为
E(x,y,z;t)E(x,y,z)ejt c.c. H(x,y,z;t)H(x,y,z)ejt c.c.
复共轭
9
介质中
D E B mH
m 例2、n 1 n 2 1 . 8 ,n 1 n 2 0 . 0 0 1 ,v 1 , 0 . 8 m ,d ?
v2d n12n2 2 d2nv12n2 2
v1d 5mm
2 n12n22
23
导波模性质
不同模正交性 Evy(x)E'v'y(x)dx0 两个不同模的乘积在波导横截面内的积分为0
x
j ( j E y jH x ) 2E y H x12
2Ey x2
(2 2m)Ey
(2 n2k2)Ey
k 0m0
同样
2Hy x2
(2 n2k2)Hy
TE波：只存在电场横向分量
令 H y 0 Ex 0
Ez 0
H y 0 x
( E )=jmH 没有自由电荷和传导电流时电
同时 (H)=jE 磁空间分量的麦克斯韦方程组
(E)=jmH
= m ( E y z E zy)e x ( E zx E x z)ey ( E x y E y x)e z
j (H xexH yeyH zez)
没有自由电 荷和传导电 流，无其它 条件
平板波导中的麦克斯韦方程组
导波沿z传播，则横向分量 EE tejz,H H tejz
E zEt(j)ejzjE
z
j
波导y方向无限大，不受限制，E、H在y方向不变，则
E H 0 y y
11
j z
y：均匀 z：传播
c13 c12 i
i
n1
n2 z
引入 沿z方向的传播常数 kz k1sinik1 n1k0
k1sini sinc12n n1 2kk1 2 k2
则
k2 k1 n2k0n1k0
z方向最大传播常数

n2 / k0 n1
E y , Evy Evy , Evy
25
导波模性质
沿z正方向行进的导波模所携带的能量密度
Py(x) avav*Pv
v
m m 其中 P v (/2) E v 2 y ( x ) d x (/2)E v y ,E v y
26
通道光波导
27
通道波导的描述
矢量波方程

j E z
E y m H x
j Ex
E z x

j m H y
E y x


j m H z
H y Ex
j H x

H z x


j E y
H y x

j E z
m m m 2Ey
x2
jmHz
导波在两个方向受限，因此必须考虑电场磁场分量的 矢量特性
标量近似
2E t(n2k22)E t0
n2(x,y)n0 2nx 2(x)n2 y(y) E t(x,y)E x(x)E y(y)
2k2n0 2x2
2 y
d2


dx2 d2
磁场
x0 H z(0)H z(3)(0) BA33 BA3/
A 2A(cosd3sind)e2d
只剩下A，设x=0处，Ey(0)=E0
A E0
15
各层的全部非0场分量为： 基底层（x<-d）：
波导层（-d <x<0）： 覆盖层（ x>0 ）：
16
TE波的模和截止条件
E z y

E y z


j m H
x
E x z

E z x


j m H
y
E y x

E x y


j m H
z
E H 0 y y
H z H y y z

j E x
H x z
H z x

j E y
H y H x x y
π <半径<3π/2: 三个解，两 对称模，一反对称模
d
18
低频区（λ大，k小）：单模，关于-d/2对称，电场 在波导层内余弦变化，波导层外指数衰减，至少单 模。
频率升高：场向波导层中央集中，一定程度时出现 反对称解，形成双模传播。
对称单模传播
对称、反对称双模传播
19
小结
倏逝波
n3
n1

n 2 倏逝波
反对称模 tan(d/2) d/2 /2 ,3 /2 ,
所有模截止条件为： d/2v/2
实际上
2 3 0 tand0
dv
截止条件时： k n12 n22
d/2(kd/2 )n 1 2n 2 2v/2波导的V值
v 2d

n12 n22
波导层-E在x方向周期变化-实数 基质层-E在x方向衰减-虚数
3 = ( n32 k 2 )2 1/2
覆盖层-E在x方向衰减-虚数
13
从而 各层中
n2 2k2， n3 2k22n1 2k2
0
n3
Ey(x)AcosxBsinx, -dx0 d
n1
n2
Ey(2)(x)A2e2x B2e2x,
tand/2'/ tand/2 /'
对称模 反对称模
'2d 22 d 2n 1 2 n 2 2k 2 d 2
tand/2'/
图中圆弧半径由光波传播常
'd
tand/2/'
数即频率决定：
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0<半径<π/2: 单个解，对称 模
π/2 <半径<π: 两个解，对称 模，反对称模
xd
Ey(3)(x)A3e3x B3e3x,
x0
x场不能无限大，故
B2 B3 0
Ey(x)AcosxBsinx,
Ey(2)(x)A2e2x, Ey(3)(x)A3e3x,
-dx0 xd x0

H
x

m
Ey


H
z=
j m
10
E z y

E y z


j m H
x
E x z

E z x


j m H
y
E y x

E x y


j m H
z
H z H y y z

j E x
H x H z z x

j E y
H y H x x y

j E z
n1sin 1n2sin 2
1

arcsinn2 n1
发生全反射
光被限制在第1介质内，全反射可用于限制光的传输
3
平板波导
覆盖层
涂层 n1n2 n3
基质
对称平板波导 n1 n2 n3
空气
非对称平板波导 n1 n2 n3 1
• 覆盖层：通常为空气，n3 1
• 涂层：介质薄膜，mm量级，也称薄膜波导
根据x=-d处连续条件
xd
Hz(d)Hz(2)(d)
2(cosd3sind)sind3cosd
tand(2 3) 2 23
介质波导本征值方程：关 于传播常数β的超越方程
方程的解为一组β值，对应于TE波的本征模。
tand(2 2 2 3 3 )1 2 /2/ 3 /3/
Evy,E'v'y 0
24
导波模性质
波导模场分量可归一化，对同一个模

mEvy(x)Evy(x)dx1
正交归一性使任意横向场可展开为模场分量叠 加的形式
Ey(x) avEvy(x) v

av
Ey (x)Evy (x)dx

Ev2y
(
x)dx
av
n2k0 n1k0
'd
tand / 2 '/ tand / 2 / '
0
传导行波
d
tand/2'd/d tand/2 d/'d
20
d
截止条件
临界条件时，发生全反射， ' 0 对应截止条件，对称模
tan(d/2)0 d/20,,2,
t a n d t a n a r c t a n 2 / a r c t a n 3 /
d a r c t a n 2 / a r c t a n 3 / v
正整数—模数
17
对称波导：
n2n3 23'
tand 2 ' 2 '2
Hz(3)(x)j3mA3 e3x,
x014
三层中三个分量的表达式全部获得，利用了横电特性
及三层介质中光传播特性
需求解A、B、A2、A3系数，利用边界条件
边界面上，电磁场切向分量连续
电场
x0 Ey(0)Ey(3)(0)
A3A
xd Ey(d)Ey(2)(d) A2(AcosdBsind)e2d
导波有效折射率N
Mk1n1k0
n1k0:导 波 截 止
Nk1siin /k0n 1siin
6
TE与TM
TE模（纵向电场分量为0）
H
k
E
z
TM模（纵向磁场分量为0）
E
k
H
z
7
古斯-汉森位移和波导层的有效厚 度--波导中的光能流问题
全反射：反射率为1，没有能流进入基质。实际上，存在倏逝波，沿x方 向迅速衰减，z方向存在位移。
E(x,y,z;t)E(x,y,z)ejt c.c. H(x,y,z;t)H(x,y,z)ejt c.c.
EH((xx,,yy,,zz;;tt))ttBD((xx,,yy,,zz;;tt))
m ( E ) e j t c . c . B ( j) e j t c . c . jH e j t c . c .
• 基质：玻璃
n1n210 3~10 1
4
平板波导结构中可能存在的几种波的模式
非 对 称 ： n1n2n3
i c13c12
辐射波（辐射模）
c13i c12
基质辐射波（基质模）
c13 c12 i
传导波（传导模）
5
平板介质波导中的导波
x：横向约束
x n3