随机变量序列的几种收敛性

本科毕业论文

题目：随机变量序列的

几种收敛性及其关系

学院：数学与计算机学院

班级：数学与应用数学2008级八班

姓名：薛永丽

指导教师：丁平仁职称：副教授完成日期：2012 年5月10 日

随机变量序列的几种收敛性及其关系

摘要：本文主要对随机变量序列的四种收敛性：a.e.收敛、依概率收敛、依分布收敛、

r—阶收敛的概念、性质进行阐述；并结合具体实例讨论了它们之间的关系，进一步对概率论中依分布收敛的等价条件和一些依概率收敛的弱大数定律进行了具体的研究.

关键字：随机变量序列收敛分布函数

目录

1.引言 .................................................................... 1

2.a.e.收敛、依概率收敛、依分布收敛、r —阶收敛的概念、性质以及它们之间的关系.

2.1 a.e.收敛的概念及性质 ................................................................................................... 1 2.2 依概率收敛的概念及性质 .............................................................................................. 2 2.3依分布收敛的概念及性质 ............................................................................................... 3 2.4 r —阶收敛的概念及性质 .................................................................................................. 5 3.随机变量序列依分布收敛的等价条件. (6)

4.随机变量∑=n

k k n 1

1ξ依概率收敛的一些结果 (9)

5.小结. .................................................................. 12 6.参考文献 (12)

1.引言：

在数学分析和实变函数中“收敛性”极为重要，特别在实变函数中对可测函数列收敛性的讨论。实变函数主要是在集合论与测度论的基础上建立起了Lebesgue 积分以及它的一些性质，而Lebesgue 积分的讨论中，在测度空间）（P F ,,Ω中关于可测函数列的各种收敛性以及它们之间的关系的讨论在理论和应用上都是十分重要的.同样在现代概率论中，其中的许多概念也是借助于集合论和测度论中的概念来定义和研究的，比如概率论中事件间的关系及运算与集合论中—σ代数间的关系及运算是相类似的，而且在许多情况下，用集合论的表达方式更简练、更容易理解，不妨设Ω为满足某一性质的全体

所成的集合，若F 为Ω的一个—σ代数，则称）（F ,Ω为可测空间；若μ为F 上的测度，则称）（μ,,F Ω为测度空间；若μ为F 上的测度，且1=Ω）（μ，则称μ为F 上的概率测度，称）（μ,,F Ω为概率测度空间；由此我们通过测度论知识就得到了概率测度空间，同时引

出了概率公理化定义：概率是在—σ代数F 上的一个非负的、规范的、可列可加的集函

数，其中Ω为某一试验中可能的结果的全体,称为样本空间；F 为随机事件全体，称为事件域（—σ代数）；也就是说概率P 是概率测度空间F 上的一个测度集函数，同实变函数中的可测函数列收敛性一样，在概率论中我们有必要研究随机变量序列的收敛性，这对于概率论的学习是十分重要的.

2.a.e.收敛、依概率收敛、依分布收敛、r —阶收敛的概念、性质以及它们之间的关系.

在概率论中，概率空间),,(P F Ω上的随机变量就是样本空间Ω上关于F 的可测函数，对于一般的可测函数的序列我们在数学分析和实变函数中已有认识，其中“收敛性”理论是非常重要的，在概率论中也一样重要，随机变量序列有：几乎处处收敛，依概率收敛，依分布收敛，r —阶收敛.下面一一分别介绍：

设ξ和)1(≥n n ξ是给定概率空间),,(P F Ω上的随机变量. 2.1 a.e.收敛的概念及性质 定义1 如果有

1))()(lim :(==∞

→ωξωξωn n P ， （1.1）

则称随机变量列}{n ξ几乎处处收敛到ξ，记作ξξ−→−.

.s a n .

注意：（1.1）式中括号里的-ω集是一事件，因而是有意义的，用集合论的语言实际上是

F m

n k n k m n n ∈<-⋂⋃⋂==∞=∞=∞=∞→)1

|)()((|))()(lim (11ωξωξωξωξ. （1.2）

定理1 ξξ−→−.

.s a n 的充要条件是

0>∀ε 0))|(|(lim =≥-⋃∞

=∞

→εξξk n

k n P . （1.3）

证明：（必要性）如在定点ω上有)()(lim ωξωξ=∞

→n n ，则0>∀ε

εωξωξ≥-|)()(|n 不能对无穷多n 成立.

令))|)()((|:(εωξωξω≥-⋃=∞

=n n

k n A ，则1+⊃n n A A ，故由连续性定理及ξξ−→−..s a n 得

0))|(|())|(|(lim 1=≥-⋃⋂=≥-⋃∞

=∞=∞=∞

→εξξεξξk n

k n k n

k n P P .

（充分性）由（1.2）式及上式第一等号得 0))1

|(|(1=≥

-⋃⋂∞

=∞=m

P k n

k n ξξ. 注意：对可列多个概率为0的事件n A 的和n n A A ∞

=⋃=1

，有0)()(1

=≤∑∞

=n n A P A P ，即0)(=A P ，

故0))1|(|(11=≥-⋃⋂⋃∞

=∞

=∞

=m P k n k n m ξξ.由对偶原则，即得1))1

|(|(11=≥-⋂⋃⋂∞=∞=∞=m

P k n k n m ξξ.

由此及（1.2）即得ξξ−→−.

.s a n .

2.2 依概率收敛的概念及性质

定义2 如果0>∀ε，0)|)()((|lim =≥-∞

→εωξωξn n P ，

则称随机变量序列)}({ωξn 依概率收敛于随机变量)(ωξ，记作ξξ−→−P n . 定理2 若ξξ−→−..s a n ，则ξξ−→−P n .

证明：由于0>∀ε，有)|(|)|(|εξξεξξ≥-⋃⊂≥-∞

=k n

k k ，又ξξ−→−..s a n 及定理1

得0))|(|(lim =≥-⋃∞

=∞

→εξξk n

k n P ，所以 0)|(|lim =≥-∞

→εξξn n P 定理得证.

但是定理2的逆命题不真，反例如下：

例1 取]1,0(=Ω，F 为[0,1]中全体博雷尔子集所成σ代数，P 为勒贝格测度，

令.]

1,21

(,1]21,0(,0)(;]1,21(,0]21,0(,1)(;1)(222111⎪⎩

⎪⎨⎧

∈∈=⎪⎩⎪⎨⎧∈∈==ωωωηωωωηωη一般地，将（0,1]分成k 个等长的