八年级一次函数教案

变量与函数(1)

知识技能目标

1. 掌握常量和变量、自变量和因变量(函数)基本概念；

2. 了解表示函数关系的三种方法：解析法、列表法、图象法，并会用解析法表示数量关系

过程性目标

1. 通过实际问题，引导学生直观感知，领悟函数基本概念的意义；

2. 引导学生联系代数式和方程的相关知识，继续探索数量关系，增强数学建模意识，列出函数关系式•

教学过程

一、创设情境

在学习与生活中，经常要研究一些数量关系，先看下面的问题. 问题1如图是某地一天内的气温变化图.

看图回答：

(1) 这天的6时、10时和14时的气温分别为多少？任意给出这天中的某一时刻，说出这一时刻的气温.

(2) 这一天中，最高气温是多少？最低气温是多少？

(3) 这一天中，什么时段的气温在逐渐升高？什么时段的气温在逐渐降低？解(1)这天的6时、10时和14时的气温分别为一1C、2C、5C；

(2) 这一天中，最高气温是5C.最低气温是—4C；

(3) 这一天中，3时〜14时的气温在逐渐升高.0时〜3时和14时〜24时的气温在逐渐降低.

从图中我们可以看到，随着时间t (时)的变化，相应地气温T( C)也随之变化.那么在生活中是否还有其它类似的数量关系呢？二、探究归纳

问题2银行对各种不同的存款方式都规定了相应的利率，下表是2002年7月中国工商银行为“整存整取”的存款方式规定的年利率：

观察上表，说说随着存期x的增长，相应的年利率y是如何变化的.

解随着存期x的增长，相应的年利率y也随着增长.

问题3收音机刻度盘的波长和频率分别是用米(m)和千赫兹(kHz)为单位标刻的.下面是- 些对应的数值：

观察上表回答：

(1)波长I和频率f数值之间有什么关系？⑵波长I越大，频率f就.

解(1) l与f的乘积是一个定值，即

lf = 300 000，

或者说r 300000

f

⑵波长I越大，频率f就越小.

问题4圆的面积随着半径的增大而增大.如果用r表示圆的半径，S表示圆的面积则S与r之间满足下列关系：S= __________ .

利用这个关系式，试求出半径为 1 cm、1.5 cm、2 cm、2.6 cm、3.2 cm时圆的面积，并将结果填入下表：

由此可以看出，圆的半径越大，它的面积就 __________ .

解S= n r2.

圆的半径越大，它的面积就越大.

在上面的问题中，我们研究了一些数量关系，它们都刻画了某些变化规律.这里出现了各种各样的量，特别值得注意的是出现了一些数值会发生变化的量.例如问题1中，刻画气温变化规律的量是时间t和气温T,气温T随着时间t的变化而变化，它们都会取不同的数值.像这样在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量(variable ).

上面各个问题中，都出现了两个变量，它们互相依赖，密切相关.一般地，如果在一个变化过程中，有两个变量，例如x和y，对于x的每一个值，y都有惟一的值与之对应，我们就说x 是自变量(independent variable )，y 是因变量(dependent variable )，此时

也称y是x的函数(function ).表示函数关系的方法通常有三种：

⑴解析法，如问题3中的f二300000，问题4中的S= n r 2，这些表达式称为函数的关

l

系式.

⑵列表法，如问题2中的利率表，问题3中的波长与频率关系表. ⑶图象法，如问题1中的气温曲线.

问题的研究过程中，还有一种量，它的取值始终保持不变，我们称之为常量(constant )，如问题3中的300 000，问题4中的n等.

三、实践应用

例1下表是某市2000年统计的该市男学生各年龄组的平均身高.

(1) 从表中你能看出该市14岁的男学生的平均身高是多少吗？

(2) 该市男学生的平均身高从哪一岁开始迅速增加？

(3) 上表反映了哪些变量之间的关系？其中哪个是自变量？哪个是因变量？

解⑴平均身高是146.1cm；

(2) 约从14岁开始身高增加特别迅速；

(3) 反映了该市男学生的平均身高和年龄这两个变量之间的关系，其中年龄是自变量，平均身高是因变量.

例2写出下列各问题中的关系式，并指出其中的常量与变量：

(1) 圆的周长C与半径r的关系式；

(2) 火车以60千米/时的速度行驶，它驶过的路程s (千米)和所用时间t (时)的关系式；

(3) n边形的内角和S与边数n的关系式.

解(1) C= 2 n r ， 2 n是常量，r、C是变量；

(2) s = 60t，60是常量，t、s是变量；

(3) S= (n-2) x 180，2、180是常量，n、S是变量.

四、交流反思

1. 函数概念包含：

(1) 两个变量；

(2) 两个变量之间的对应关系.

2. 在某个变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量；数值始终保持不变的量，叫做常

量.例如x和y,对于x的每一个值，y都有惟一的值与之对应，我们就说x是自变量，y是因变量.

3. 函数关系三种表示方法：

⑴解析法；

⑵列表法；

(3) 图象法.

五、检测反馈

1. 举3个日常生活中遇到的函数关系的例子.

2. 分别指出下列各关系式中的变量与常量：

(1) 三角形的一边长5cm它的面积S(cm2)与这边上的高h(cm)的关系式是S = 5h ；

2

⑵若直角三角形中的一个锐角的度数为a,则另一个锐角B ( 度)与a间的关系式是

B = 90 — a ；

(3)若某种报纸的单价为a元，x表示购买这种报纸的份数，则购买报纸的总价y (元) 与x间的关系是：y = ax.

3. 写出下列函数关系式，并指出式中的自变量与因变量：

(1) 每个同学购一本代数教科书，书的单价是2元，求总金额丫(元)与学生数n (个) 的关系；

(2) 计划购买50元的乒乓球，求所能购买的总数n (个)与单价a (元)的关系.

4. 填写如图所示的乘法表，然后把所有填有24的格子涂黑.若用x表示涂黑的格子横向的乘数，y表示纵向的乘数，试写出y关于x的函数关系式.

变量与函数(2)

知识技能目标

1. 掌握根据函数关系式直观得到自变量取值范围，以及实际背景对自变量取值的限制；

2. 掌握根据函数自变量的值求对应的函数值.

过程性目标

1. 使学生在探索、归纳求函数自变量取值范围的过程中，增强数学建模意识；

2. 联系求代数式的值的知识，探索求函数值的方法.

教学过程

一、创设情境

问题1填写如图所示的加法表，然后把所有填有10的格子涂黑，看看你能发现什么？如果把这些涂黑的格子横向的加数用x表示，纵向的加数用y表示，试写出y与x的函数关系式.

解如图能发现涂黑的格子成一条直线.

函数关系式：y = 10—x.

问题2试写出等腰三角形中顶角的度数y与底角的度数x之间的函数关系式.

解y与x的函数关系式：y = 180—2x.

问题3如图，等腰直角△ ABC的直角边长与正方形MNP的边长均为10 cm，AC与MN在同一直线上，开始时A点与M点重合，让△ ABC向右运动，最后A点与N点重合.试写出重叠部分面积ycm与MA长度x cm之间的函数关系式.

解y与x的函数关系式：y二丄x2.

2

二、探究归纳

思考⑴在上面问题中所出现的各个函数中，自变量的取值有限制吗？如果有，写出它的取值范