《线性代数》第三章线性方程组.ppt

如： 1 2 0 0 0
0 0 1 0 1 0 0 0 1 3
1 0 1 2 1 0 1 2 0 3 0 0 0 0 0
求解的方法：用初等行变换。
第一步，写出增广矩阵 A ，并用初等
行变换变为阶梯矩阵；
第二步，再用初等行变换将所得矩阵变为
行简化阶梯形矩阵；
第三步，写出所得矩阵对应的方程组，再 整理出方程组的一般解。
am1x1 am2 x2 amnxn 0.
如果常数项 b1, b2 , , bm 不全为0，则
称为：非齐次线性方程组。
5、方程组的解：
方程组的解是满足方程组的未知量的
一组取值： x1 c1, x2 c2 , , xn cn.
也可记为：（c1, c2 , , cn）
例如：
显然，
5x1 x2 2x3 0 2x1 x2 x3 0 9x1 2x2 5x3 0
x1 0
x2
0
x3 0
就是它的一 组解。
显然：（0,0, ,0）是齐次线性方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn 0,
a21x1 a12 x2 a1n xn 0,
am1x1 am2 x2 amnxn 0.
的一组解。称为0解，或平凡解。否则称为
非零解。
➢注意：方程组的解可能有惟一解，也可能 有无穷多组，也可能是无解。
r( A) r( A) 2 3 n
所以方程组有无穷多解.
（3）当a≠-3时 r( A) r( A) 3 n
所以方程组有惟一解.
注意3个量：r ( A)，r ( A )，n
1、线性方程组AX = b的解的情况归纳如下：
(1.1)AX = b有唯一解 秩( A) 秩( A) n (1.2)AX = b有无穷多解 秩( A) 秩( A) n (1.3)AX = b无解 秩( A) 秩( A)
1 1 0 x1 1
1
0
2
x2
2
0 3 4 x3 3
由线性方程组可惟一确定增广矩阵；反之 由增广矩阵，也可以惟一确定线性方程组。
【例2】已知方程组的增广矩阵如下，试写出
它的线性方程组
1 1 0 1
A 1 0 2 2
【解】：
x1 x2
1
3
1
0
3
x1
2x3 2
“常数项”
x1 3x2 3
1
1
0 4 a 1 b 1
③+②(-2)
1 0
1 2
1 1
1
1
0 0 a 3 b 3
根据方程组解的判定定理可知：
（1）当a=－3,且b≠3时
r( A) 2 < r( A) 3 所以方程组无解。
（2）当a=-3,且b=3时
1 1 1 1 1 1 1 1
0 2 1
1
0
2
1 1
0 0 a 3 b 3 0 0 0 0
am1
a1 j a2j amj
a1n b1 对 A 做初等
a2n
b2 ,
行变换，同 时也是对A
做变换。
amn bm
3、方程组的矩阵形式：
a11
a21
am1
a1 j a2j amj
a1n a2n
x1
x2
b1
b2
amn
xn
bm
系数矩阵A 未知量矩阵X
经济数学基础
《线性代数》
第三章 线性方程组
本章重点：
•线性方程组的解的判定和求法
本章难点：
•解的判定定理
一、线性方程组的有关概念
1、n元线性方程组为：
a11x1 a12 x2 a1n xn b1,
a21x1 a12x2 a1n xn b2 ,
am1x1 am2 x2 amnxn bm.
2、齐次线性方程组AX = 0的解的情况为：
(2.1)AX = 0只有零解(唯一解) 秩( A) n (2.1)AX = 0有非零解(无穷多解) 秩( A) n
注：对于齐次线性方程组没有“无解”的情况。
【例】 线性方程组AX = B有唯一解，那么 AX = 0 ( ) ．
A．可能有解 C．无解
aij：第i个方程,
第j个未知量x
的系数；
j
bj：第j个方程的常数项.
4元线性方程组
x1 x2 x3 1,
x1
x2
2 x3
2,
x1
3x3
4x4
3.
2、方程组的系数矩阵A为：
a11 a1 j a1n
A a21 am1
a2j amj
a2n ,
amn “增广矩阵”
a11 A a21
一一对应
“线性方程组”
“增广矩阵”
【例3】已知方程组的增广矩阵如下，试写出
它的线性方程组
1 1 0 1
A 1 0 2 2
“常数项”
1 3 0 3
解：
x1 x2 1
x1
2x3 2
x1 3x2 3
4、齐次线性方程组：AX=0
a11x1 a12 x2 a1n xn 0,
a21x1 a12 x2 a1n xn 0,
【例3】当a,b为何值时,下列方程组有惟一解
、无穷多解或无解。
x1 x2 x3 1,
x1
x2
2 x3
2,
x1
百度文库
3x2
ax3
b.
【解】 只需要对增广矩阵进行初等行变换, 将其化为阶梯形矩阵
1 1 1 1
A
A 1 1 2 2
1 3 a b
②+①(-1) ③+①(-1)
1 0
1 2
1 1
实际上，第二步和求逆矩阵的第三步类似。
B．有无穷多解 D．有唯一解
【解】 线性方程组AX = B有唯一解，说明
r(A) n,
故AX = 0只有唯一解（零解）．
三、线性方程组的求解
定义：“行简化阶梯形矩阵” 若阶梯形矩阵还满足下两个条件：
(1)各个非0行的第一个不为0的元素(首非0元) 都是1；
(2)所有首非0元所在列的其余元素都是0.
简记为：AX B
常数矩阵B
【例1】写出下列线性方程组的系数矩阵、
增广矩阵和矩阵形式
x1x102xx2220xx33
1, 2,
0x1 3x2 4x3 3.
解： 系数矩阵是 1 2 0
A
1
0 2
0 3 4
增广矩阵
1 1 0 1 A 1 0 2 2
0 3 4 3
方程组的矩阵形式是AX＝B，即
二、线性方程组解的判定定理
定理3.1,3.2实际上告诉我们要通过 求“增广矩阵”的秩来判断解的情况。总结：
设r=秩(A)，n为未知量的个数.
（1）若 r 秩( A) 秩( A),则方程组无解。 （2）若 r 秩( A) 秩( A) 则方程组有解。
（2.1）若r = n 就有唯一解； （2.2）若r < n 就有无穷多解。