谈逆向思维在初中数学解题中的应用

谈逆向思维在初中数学解题中的应用

【摘要】逆向思维是数学思维的一个重要原则，是创造思维的一个重要组成部分，是开拓型人才必备的思维品质。简单地说，就是“反过来思考”，它的特点表现在:善于从不同的立场、不同的角度、不同的层次和不同的侧面去进行探索，尤其处于“山穷水尽疑无路”的困境时，逆向思维往往会出现“柳暗花明又一村”的美境。甚至因此而有所发现，创造出惊天动地的奇迹来。

【关键词】逆向思维数学教学解决

数学课程标准明确指出：“义务教育阶段的数学课程，其基本出发点是促进学生全面、持续、和谐地发展……使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。” 要使学生在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展，我认为在数学教学中加强逆向思维训练是一个有效的捷径。中学数学教材中的“逆运算” “逆否命题” “反证法”“分析法”等很多地方都涉及到思维的逆向性。培养学生创新能力是素质教育的一项重要任务，数学教学对于提高学生的思维能力有特殊的意义。

俗话说的好：“在逆境中求生存，在生存中求发展。” 在逆境中如何求生存，这就要去思考，而创造性思维往往来自逆向思维，有时候则要打破常规的思维方式，反其道而行之，达到摆脱困境的目的，这样的例子在历史上枚不胜举。有人落水，常规的思维模式是“救人离水”，而“司马光砸缸”救起了小伙伴，就是运用了“破缸留人”的逆向思维。古罗马的阿基米德利用水的浮力和物体的排水量来鉴定国王的金冠。在数学教学中注重学生逆向思维训练，就可以使学生养成多角度、多方位、多功能、多途径思考问题的习惯，达到解决问题的目的。解题教学是培养学生思维能力的重要手段之一，因此教师在进行解题教学时，应充分进行逆向分析，以提高学生的解题能力。

以以下两类为例：

一、顺推不行则逆推

有些数学题，直接从已知条件入手来解，会得到多个结论，导致中途迷失方向，使得解题无法进行下去。此时若运用分析法，从命题的结论出发，逐步往回逆推，往往可以找到合理的解题途径。例如：

例1 已知a,b是不相等的正数，求证：a3+ b3> a2b+ ab2要使结论成立: a3 + b3> a2b+ ab2，只须知(a+b)(a2-ab+b2)> a2b+ab2，因为a+b>0,要使(a+b) (a2-ab+b2) >a2b+ab2成立只须知道a2 -ab +b2>ab，要使a2 -ab +b2 > ab成立只须知道a2-2ab+ b2> 0，要使a2-ab+b2> 0成立只须知道(a-b)2>0。显然由题设a≠b,(a -b)2>0是成立的。

例2 某文具店第一次把乒乓球卖出一半后，补充1000个，以后每次卖出

一半后，都补充1000个，到第十次，卖出一半后恰好剩下了1000个，文具店原有多少个乒乓球?

分析:若直接设文具店原有x个乒乓球，则第一次卖出一半后剩下x的一半个.第二次卖出一半后剩下（x的一半加1000）的一半，依次下去做…这就太复杂了，现采用分析法解答。

解:设第十次卖出前有x个乒乓球，则x÷2= 2000，得x=2000这也是第九次卖出一半再补充1000个后的乒乓的球数，又设第九次卖出前有y个乒乓球1000，得y=2000，这也是第九次卖出一半再补充1000个乒乓球数。因每次卖出和补充乒乓球数的规律相同，可知文具店原来有乒乓球2000个。

二、正面不行用反面

这里的反面指的是用反证法，是初中阶段两大间接证发中的一种，另一种是同一法。

例1 设二实数a和b，若a2+b2=0，则a和b必须同时为零。

证明:设a,b至少有一个不为0，则有扩、少中至少有一个不为0.

则有a2+b2>0，与已知矛盾，所以假设不成立，原式成立。

例2：有关于x的三个方程x2 +4mx-4m+3=0; x2 +(m-1) x+m2 =0; x2 +2mx-2m=0.它们中至少一个有实根，求实数m的范围。

分析“至少一个有实根”包括只有一个有实根；其中两个方程有实根；三个方程都有实根三种情况。但我们考虑问题的反面：m为何实数时，三个方程均无实根。问题变得简单易解。

解：若三个方程均无实根，则有：

△1＜0，△2＜0，△3＜0

则：-3／2 ＜m＜-1

其补集m≤-3/2 或m≥ -1 为所求m的取值范围。

综上所见，在数学解题中根据问题的特点在应用常规数学思维的同时注意逆向思维的应用，往往能使很多问题运算简化。因此在平时教学中应适当增加一些逆向思维方面的训练，能够开阔思路。逆算为一些问题的解决开辟了一条通径，要顺利地进行逆向思维，灵活地运用逆算解题，必须以掌握“三基”为前提，以数学思想为指导，以正向思维为基础，还要具有创新意图.只有抓住研究对象的本质属性和内在联系，才会对具体对象进行新的认识和处理.学会逆算的方法，无

疑能提高解题效率，促进数学素质的提高。