数学建模及典型案例分析

示例1 鸭子过河
t时刻鸭子本身的速度为
b b
OP

b
(x, y),
| OP | x2 y2
河水速度为 a (a,0), 所以合速度为

bx
by
v a b (a
,
),
x2 y2
x2 y2
示例1 鸭子过河
即
dx

dt

a

bx , x2 y2
vi1 (a
bxi1 ,
x2 i 1

y2 i 1
byi1 ),
x2 i 1

y2 i 1
Pi (xi , yi ) Pi1 vi1t, i 1,2,
(1.3)
示例1 鸭子过河
当yi<0时, 说明鸭子已经到达河对岸，应停止计算. 由(1.3)可以算出ti时刻鸭子的位置的近似值.
(1.4)
示例1 鸭子过河
(1.4)可以看成是另一种形式的微分方程模型. 它是一个 的常微分方程初值问题. 求解它可以得到精确解
x
h

y
1 a
b
2

h



y h
1

a b
,
0
y百度文库 h.


(1.5)
求解方程(1.4)的Maple代码: assume(h>0); sol:=dsolve({D(x)(y)=-a*sqrt(x(y)^2+y^2)/(b*y)+x(y)/y,x(h)=0},x(y)): simplify(allvalues(sol));
dy by ,
dt
x2 y2
又由初始条件有
x(0) 0, y(0) h.
(1.1)(1.2) 就是所求问题的一个微分方程模型。
(1.1) (1.2)
示例1 鸭子过河
模型求解 1.数值解 设时间步长为Δt, 则
P0 (x0, y0 ) (0, h), v0 (a,b),
数学建模的基本方法和步骤
一般步骤 1. 问题分析 2. 模型假设 3. 模型建立 4. 模型求解 5. 模型检验和应用
数学建模的基本方法和步骤
假设、抽象、表达
验
证
求
、
解
应
用
解释、翻译
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数学建模论文写作
标题 作者信息 摘要 关键词 正文 参考文献 附录
10 1.8949 4.6908 21 0.7591 0.1484
11 1.9701 4.1344 22 0.4702 0.0333
计算(1.3)的Matlab代码
clc %清屏 % 鸭子过河问题 a=1; b=2; h=10; dt=0.3; %设置参数 i=1; P=[0,h]; %初始值 while P(i,2)>0
5
1.0801 7.6047 16 1.8160 1.6516
6
1.2957 7.0107 17 1.6721 1.2479
7
1.4867 6.4207 18 1.4913 0.8891
8
1.6513 5.8362 19 1.2759 0.5818
9
1.7880 5.2588 20 1.0300 0.3329
示例1 鸭子过河
模型假设 1. 假设河的两岸为平行直线，河宽为h; 2. 鸭子游水的速率为b, 水流速率为a, 均为常数; 3. 初始时鸭子的位置为A; 4. 鸭子游动的方向始终指向O.
示例1 鸭子过河
模型建立 取O为坐标原点，
河岸朝顺水方向 为x轴，y轴指向 对岸。
关键是如何求出P 点坐标(x,y)关于 时刻t的表达式.
i=i+1; v=[a - b.*P(i-1,1)./sqrt(P(i-1,1).^2+P(i-1,2).^2), -b.*P(i-1,2)./sqrt(P(i-1,1).^2+P(i-1,2).^2)]; %计算第i步的速度 P(i,:)= P(i-1,:)+ v.*dt; %计算第i步位置 end P %显示结果 plot(P(:,1),P(:,2)) %作图
按是否考虑随机因素分类：确定性模型和随机模型 按变量的连续性分类：连续模型和离散模型 按对对象内部规律了解程序分类：白箱模型、灰箱模
型和黑箱模型 按变量的基本关系分类：线性模型和非线性模型 按是否考虑时间变化分类：静态模型和动态模型
示例1 鸭子过河
有只鸭子想游到河对岸的某个位置O，如果它的方向 始终朝着目标O。求这只鸭子的游动曲线。
各种模型
各种模型
各种模型
各种模型
各种模型
各种模型
模型
这些模型都是人们为了一定目的，对客观事物的某一 部分进行简化、抽象、提炼出来的原型替代物。
数学模型
什么是数学模型 ？
数学模型是人们为了认识客观对象在数量方面的特征、 定量地分析对象的内在规律、用数学的语言和符号去 近似地刻画要研究的那一部分现象时，所得到的一个 数学表述。
示例1 鸭子过河
进一步讨论 1. 如果b<a, 结果会怎么样? 2. 如果不要求鸭子一定要达到正对岸O, 问鸭子以怎样的
游动方向才能以最少的时间到达对岸?
建模过程总结
简化假设 设定符号变量 建立模型 求解模型 解的讨论及推广应用
数学建模的基本方法和步骤
基本方法 1. 机理分析 2. 测试分析
目录
1. 数学建模导言 2. 插值与拟合 3. 微分方程建模方法 4. 差分法建模 5. 计算机模拟 6. 层次分析法 7. 数据的统计描述与分析 8. 回归分析方法 9. 优化模型 10. 确定型时间序列预测法 11. 随机型时间序列预测法
典数 型学 案建 例模 分及 析
1 数学建模导言
1. 数学模型及其分类 2. 数学建模例子 3. 数学建模的基本方法和步骤
简短精练、高度概括、
姓准名确得体、恰如其分 通使信用地什址么方法 解得问问决到题题什什重分么么述析问结题论
模型建立
列模出型你求所解参考的文献资料 较模长型的应程用序，不是很重要 的模推型导评过价程、图表等
例如取a=1, b=2, h=10, Δt=0.3, 则求得结果为
i
xi
yi
i
xi
yi
1
0
10
12 2.0120 3.5928
2
0.3000 9.4000 13 2.0188 3.0693
3
0.5809 8.8003 14 1.9891 2.5680
4
0.8413 8.2016 15 1.9217 2.0937
例如在牛顿力学中的公式f=ma, s=vt. 爱因斯坦的质能 方程E=mc2. 这些都是数学模型.
数学建模就是建立数学模型的过程。
数学模型的分类
按应用领域分类: 人口模型，环境模型、交通模型、生 态模型……
按建模方法分类：初等模型、微分方程模型、差分方 法模型、统计回归模型、数学规划模型……
示例1 鸭子过河
所求得的鸭子经过的路 线如右图所示。
思考： 此方法所求得的结果为 近似值，为什么？
示例1 鸭子过河
2. 精确解 由(1.1)(1.2)可以得到


dx dy


a

bx x2 y2 by x2 y2
a
x2 y2 x ,
by
y
x(h) 0.