闭凸集上的一类非线性半变分不等式解的存在性
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关键词 ：非线性半变分不等式； 闭凸集； 非光滑 Ｃ 一条件 ； 局部 Ｌｐ ｃ ｉｚ函数 ｉｓｈｔ 中图分类号 ： Ｏ１ ５２ ７ ．５ 文献标志码： Ａ
１ 引言
令 【是 Ｒ ２ Ⅳ上的一个具 Ｃ 边界 ｒ 的有界域， 。 ０ ２≤Ｐ＜∞ 且用 表示闭凸集 ｛ 札∈
≥ ０ａ ． Ｑ ． 文主要考虑 如下非线性 半变分 不等式问题 ： ．在 上 本 ｅ 寻找 ｉ∈Ｋ 使得 ｔ
注．．． 由文献 ［ 中命题 ３的证明过程， １１ ７ ］ 可以得到
（ 一ｕ ≥０ 这个结论对 于证 明问题 （） “ ，， ） ． １ 是重要的．
∈Ｏ （）使得对于所有的 ＂∈Ｋ， ￣ｉ ｔ 有
２ 预备 知识
本节将复 习关于定义在 闭凸集上的局部 Ｌｐｃｉ ｉｓｈｔ ｚ函数的非光滑临界点理论的一些定义、基本结 论和 Ｃａｋ ｌ ｅ广义次微分 的一些性质． ｒ
半变分不等式是一 种新型 的变分 表达形式，当我们在研 究一些物理学和工程学方 面的问题 时， 会 处理 一些 非光滑 非凸的能量泛 函， 时就会遇到 半变分不等式 ．具有光滑位势函数的广义变分不等式 这 已经有许 多作者 以不 同的方法研 究过 ， 如文献 ｆ ５ 中， １ １ 分别用分歧法， 拓扑度以及变分法研 究了对应 变分 不等 式解 的存在性 和解 的分歧 ．本文所考虑 的问题 （） １ 是带有 非光滑 非凸的位势 函数， 我们不是
ｚ— ｚＭ ｏ ÷
．
函数 ｈ一 。 ｈ 是连续 的、次线性 的， （；） 这样 由 Ｈ ｈ — ａａｈ定理 可知， 。 ・是一个非空 凸 ａ ｎＢ ｎｃ （； ）
的、 紧的集合的支撑函数 （ ： ｘ ｚ ） ∈Ｘ （ ，） （；） ∈ ）这里假设 是一个 自 ：Ｘ ｈ ≤ ｈ Ｖｈ ，
反的 Ｂ ｎｃ ａ ａｈ空间且 Ｋ ∈Ｘ 是 一个非 空的、闭凸集． 给定一个局部 Ｌｐｃ ｉ 函数 ： — Ｒ， ｉｓｈｔ ｚ Ｋ 对于 Ｘ∈Ｋ， 们定义 我
ｒ （） ｎ ｐ ＠ ， —Ｙ ： ｎ ｘ ＝ｉｆｕ ｛ ｓ ） Ｙ∈Ｋ，Ｊ ｌ ， ） ｌ ｘ一 ｌ ＜１ Ｘ ∈ａ （）
收稿 日期： ０ ９１—８ ２０ —２１ 资助项 目： 国家 自然科学基金 （０ ７１３； １４ １１） 浙江省 自然科学基金 （ ００ ０） Ｙ７８０ ８
第 ４ 期
常高， 闭凸集上的一类非线性半变分不等式解的存在性 等：
３３ ９
令 ｘ 是一个 Ｂ ｎ ｃ ａ ａｈ空间且
ｋ＞０使得满足
应用分歧法和拓扑度法， 而应用文献 【 ７ 中的定义在闭凸集上的局部 Ｌ ｓ ｉ 函数的非光滑临界点 ６ ］ ｉｃｔ ｐ ｈｚ
理论 ．
引用如下文献 ［ 中 Ｋ ｒ ｓ和 Ｐ ｐｇｏｇ ｕ的定理， ７ 】 ｙｉ ｉ ｔ ａ ａｅｒｉ ｏ 这个定理将是我们研究问题 （） １ 的ｔ
√ ｌ，一 ｕＤｖ ｕ ｘ ／“一“Ｊ ｕ ｚ 叫 — ） ，Ｖ ∈ ／Ｄ １ ・（— ） — １ ｌ 。（— ） ≥／ （ ｕ ｘ Ｋ “ Ｄ ｄ Ｉ ｆ ｄ ｄ ｕ
ｆ ２ Ｉ ２ ｔ【 ，２
（ １ ）
第 １ 卷第 ４期 ３
２１年 １ ０ １ ２月
应用泛函分析学报
ＡＣＴＡ ＡＮＡＬＹＳ Ｓ ＦＵＮＣＴＩ Ｉ ＯＮＡＬ Ｓ ＡＰＰＬＩ Ｉ ＣＡＴＡ
Ｖｏ ，３ Ｎ ｏ ４ ｌ ． ｌ ．
Ｄ ｅ ．２０１ ｃ． １
ＤＯＩ：０ ７４Ｓ ． １６ ． １． ３ ２ １． ２ ／ＰＪ １０２ １ ０９ ３ ． ０ ０ 文章编号 ：１０—３７２１）４ ３２０ ０９１２ （ １ — ９—６ ０ ００
定理 １１ 如果 是 一个 自反的 Ｂ ｎｃ ．． ａ ａｈ空间， （） ｎＫ 且 乱是 在 Ｋ 上的一个临界点． ＝ｉｆ “
是一 个非空的 、闭 凸集， ： — Ｒ Ｋ
是一个局部 Ｌｐｃｉ ｉｓｈｔ ｚ的、下有界 的且在 上满足非光滑 ｃ 一条件 的函数， 么存在 “ ∈ Ｋ 使得 那
闭凸集上的一类非线性半变分不等式解的存在性
常 高，沈 自飞
浙江师范大学 数理与信息工程学院，金华 ３ １０ ２０４
摘要： 考虑一类定义在闭凸集上的非线性半变分不等式 问题， 通过运用闭凸集上的临界点理论、Ｃｌｒｅ ａ ｋ
次微分性质以及非光滑紧性条件等， 得到了这类半变分不等式解的存在性．
是它的拓扑对偶空间， （・来表示 ， ） 用 ・） ， 的对偶括号． 称
函数 ： — Ｒ 是局部 Ｌｐｃｉ Ｘ ｉｓｈｔ ｚ的， 如果对 于每个 ｚ∈Ｘ 都能找到 Ｘ的一个领域 和一个常数
（）≤ ｌ ｌ（ 一 ｌ ｌ 一ｚ， ） ｌ ｌ
Ｖ ， ∈Ｕ Ｙ
其 中， ∈ 。【 ， ∈Ｏ ， ） ． ｏ 这里 的 １ Ｗ （）叫（） ｊｘ （）ａｅ ｎＱ． ２ ． 是带有 Ｄｉｃｌ 边界条件 的负 ｐＬ ｐａｉ ｒ ｈｅ ｉ ｔ －ａｌｃ ｎ ａ
的第一特征值 （ （ Ａ ， 即： ｐ 一
微分或 Ｃａｋ ｌ ｅ次微分． ｒ
（ ） ； ｊｘｉｘ） Ｑ ） Ｏ （，（） 被称为是局部 Ｌｐｃｉ 函数 ｉ— ｊ ，） ） ｔ ｉｓ ｔ ｈｚ ｔ （ ｕ 的广义次 ｘ
我们知道一个 函数 在 的有界子 集上是 Ｌｐｃ ｉ ｉｓｈｔ ｚ连续的， ， 则 它是局部 Ｌｐｃｉ ｉｓｈｔ ｚ的且如果
ｄｍＸ ＜＋。 么这两 个性 质是等价 的． ｉ 。那 如果 ： — Ｒ是 连续 凸的， 么 是局部 Ｌｐｃｉ Ｘ 那 ｉｓｈｔ ｚ的． 给 定 一个 局部 Ｌｐｃｉ ｉｓｈｔ ｚ函数 ： 一 ：我们定义它在 ∈Ｘ 处， Ｘ ， 沿着方 向 ｈ∈Ｘ 的广义方 向导数 （； ： ｌ ｐ ｚ ） ｉ ｕ ｍ
１ 引言
令 【是 Ｒ ２ Ⅳ上的一个具 Ｃ 边界 ｒ 的有界域， 。 ０ ２≤Ｐ＜∞ 且用 表示闭凸集 ｛ 札∈
≥ ０ａ ． Ｑ ． 文主要考虑 如下非线性 半变分 不等式问题 ： ．在 上 本 ｅ 寻找 ｉ∈Ｋ 使得 ｔ
注．．． 由文献 ［ 中命题 ３的证明过程， １１ ７ ］ 可以得到
（ 一ｕ ≥０ 这个结论对 于证 明问题 （） “ ，， ） ． １ 是重要的．
∈Ｏ （）使得对于所有的 ＂∈Ｋ， ￣ｉ ｔ 有
２ 预备 知识
本节将复 习关于定义在 闭凸集上的局部 Ｌｐｃｉ ｉｓｈｔ ｚ函数的非光滑临界点理论的一些定义、基本结 论和 Ｃａｋ ｌ ｅ广义次微分 的一些性质． ｒ
半变分不等式是一 种新型 的变分 表达形式，当我们在研 究一些物理学和工程学方 面的问题 时， 会 处理 一些 非光滑 非凸的能量泛 函， 时就会遇到 半变分不等式 ．具有光滑位势函数的广义变分不等式 这 已经有许 多作者 以不 同的方法研 究过 ， 如文献 ｆ ５ 中， １ １ 分别用分歧法， 拓扑度以及变分法研 究了对应 变分 不等 式解 的存在性 和解 的分歧 ．本文所考虑 的问题 （） １ 是带有 非光滑 非凸的位势 函数， 我们不是
ｚ— ｚＭ ｏ ÷
．
函数 ｈ一 。 ｈ 是连续 的、次线性 的， （；） 这样 由 Ｈ ｈ — ａａｈ定理 可知， 。 ・是一个非空 凸 ａ ｎＢ ｎｃ （； ）
的、 紧的集合的支撑函数 （ ： ｘ ｚ ） ∈Ｘ （ ，） （；） ∈ ）这里假设 是一个 自 ：Ｘ ｈ ≤ ｈ Ｖｈ ，
反的 Ｂ ｎｃ ａ ａｈ空间且 Ｋ ∈Ｘ 是 一个非 空的、闭凸集． 给定一个局部 Ｌｐｃ ｉ 函数 ： — Ｒ， ｉｓｈｔ ｚ Ｋ 对于 Ｘ∈Ｋ， 们定义 我
ｒ （） ｎ ｐ ＠ ， —Ｙ ： ｎ ｘ ＝ｉｆｕ ｛ ｓ ） Ｙ∈Ｋ，Ｊ ｌ ， ） ｌ ｘ一 ｌ ＜１ Ｘ ∈ａ （）
收稿 日期： ０ ９１—８ ２０ —２１ 资助项 目： 国家 自然科学基金 （０ ７１３； １４ １１） 浙江省 自然科学基金 （ ００ ０） Ｙ７８０ ８
第 ４ 期
常高， 闭凸集上的一类非线性半变分不等式解的存在性 等：
３３ ９
令 ｘ 是一个 Ｂ ｎ ｃ ａ ａｈ空间且
ｋ＞０使得满足
应用分歧法和拓扑度法， 而应用文献 【 ７ 中的定义在闭凸集上的局部 Ｌ ｓ ｉ 函数的非光滑临界点 ６ ］ ｉｃｔ ｐ ｈｚ
理论 ．
引用如下文献 ［ 中 Ｋ ｒ ｓ和 Ｐ ｐｇｏｇ ｕ的定理， ７ 】 ｙｉ ｉ ｔ ａ ａｅｒｉ ｏ 这个定理将是我们研究问题 （） １ 的ｔ
√ ｌ，一 ｕＤｖ ｕ ｘ ／“一“Ｊ ｕ ｚ 叫 — ） ，Ｖ ∈ ／Ｄ １ ・（— ） — １ ｌ 。（— ） ≥／ （ ｕ ｘ Ｋ “ Ｄ ｄ Ｉ ｆ ｄ ｄ ｕ
ｆ ２ Ｉ ２ ｔ【 ，２
（ １ ）
第 １ 卷第 ４期 ３
２１年 １ ０ １ ２月
应用泛函分析学报
ＡＣＴＡ ＡＮＡＬＹＳ Ｓ ＦＵＮＣＴＩ Ｉ ＯＮＡＬ Ｓ ＡＰＰＬＩ Ｉ ＣＡＴＡ
Ｖｏ ，３ Ｎ ｏ ４ ｌ ． ｌ ．
Ｄ ｅ ．２０１ ｃ． １
ＤＯＩ：０ ７４Ｓ ． １６ ． １． ３ ２ １． ２ ／ＰＪ １０２ １ ０９ ３ ． ０ ０ 文章编号 ：１０—３７２１）４ ３２０ ０９１２ （ １ — ９—６ ０ ００
定理 １１ 如果 是 一个 自反的 Ｂ ｎｃ ．． ａ ａｈ空间， （） ｎＫ 且 乱是 在 Ｋ 上的一个临界点． ＝ｉｆ “
是一 个非空的 、闭 凸集， ： — Ｒ Ｋ
是一个局部 Ｌｐｃｉ ｉｓｈｔ ｚ的、下有界 的且在 上满足非光滑 ｃ 一条件 的函数， 么存在 “ ∈ Ｋ 使得 那
闭凸集上的一类非线性半变分不等式解的存在性
常 高，沈 自飞
浙江师范大学 数理与信息工程学院，金华 ３ １０ ２０４
摘要： 考虑一类定义在闭凸集上的非线性半变分不等式 问题， 通过运用闭凸集上的临界点理论、Ｃｌｒｅ ａ ｋ
次微分性质以及非光滑紧性条件等， 得到了这类半变分不等式解的存在性．
是它的拓扑对偶空间， （・来表示 ， ） 用 ・） ， 的对偶括号． 称
函数 ： — Ｒ 是局部 Ｌｐｃｉ Ｘ ｉｓｈｔ ｚ的， 如果对 于每个 ｚ∈Ｘ 都能找到 Ｘ的一个领域 和一个常数
（）≤ ｌ ｌ（ 一 ｌ ｌ 一ｚ， ） ｌ ｌ
Ｖ ， ∈Ｕ Ｙ
其 中， ∈ 。【 ， ∈Ｏ ， ） ． ｏ 这里 的 １ Ｗ （）叫（） ｊｘ （）ａｅ ｎＱ． ２ ． 是带有 Ｄｉｃｌ 边界条件 的负 ｐＬ ｐａｉ ｒ ｈｅ ｉ ｔ －ａｌｃ ｎ ａ
的第一特征值 （ （ Ａ ， 即： ｐ 一
微分或 Ｃａｋ ｌ ｅ次微分． ｒ
（ ） ； ｊｘｉｘ） Ｑ ） Ｏ （，（） 被称为是局部 Ｌｐｃｉ 函数 ｉ— ｊ ，） ） ｔ ｉｓ ｔ ｈｚ ｔ （ ｕ 的广义次 ｘ
我们知道一个 函数 在 的有界子 集上是 Ｌｐｃ ｉ ｉｓｈｔ ｚ连续的， ， 则 它是局部 Ｌｐｃｉ ｉｓｈｔ ｚ的且如果
ｄｍＸ ＜＋。 么这两 个性 质是等价 的． ｉ 。那 如果 ： — Ｒ是 连续 凸的， 么 是局部 Ｌｐｃｉ Ｘ 那 ｉｓｈｔ ｚ的． 给 定 一个 局部 Ｌｐｃｉ ｉｓｈｔ ｚ函数 ： 一 ：我们定义它在 ∈Ｘ 处， Ｘ ， 沿着方 向 ｈ∈Ｘ 的广义方 向导数 （； ： ｌ ｐ ｚ ） ｉ ｕ ｍ