概率问题常见解题方法[1]

概率常见解题方法

作为<<概率统计>>这门应用数学的重要分支之一,概率问题在中学数学中越来越得到重视,也是近年高考的热点。在高中数学新教材中,必修三和理科的选修课本中重点介绍了等可能事件的概率(即古典概型)、几何概型、条件概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立的事件同时发生的概率（包括n 次独立重复试验）。高考中对概率的考查主要以大题形式出现,重点在分布列问题与其他章节内容相结合，但始终离不开各种概率的求法。因此要让学生正确理解概率发生的条件，并掌握一些基本的概率“模型”及其解题方法。

一、公式法

概率部分有四个主要的公式（1）等可能事件发生的概率P （A ）=

n

m （2）互斥事

件有一个发生的概率 P （A+B ）= P （A ）+ P （B ） （3）相互独立事件同时发生的概率P （A ·B ）= P （A ）·P （B ） （4）独立重复试验概率公式k

k n

k

n

P C P =)((1―P)k

n -，

应用这些公式的关键在于正确理解公式成立的条件。

例1：猎人在距100米处射击一野兔，其命中率为

2

1，如果第一次射击未中，则猎人进

行第二次射击，但距离为150米，如果第二次未击中，则猎人进行第三次射击，并且在发射瞬间距离为200米，已知猎人命中概率与距离平方成反比，求猎人命中野兔的概率。

解：记三次射击为事件A 、B 、C 其中P （A ）=2

1

由

2

1= P （A ）=

50001002

=⇒K K

∴ P （B ）=

9

2150

5000

2

= P （C ）=

8

1200

50002

=

∴命中野兔的概率为：P （A ）+P （A ·B ）+ P （A ·B ·C ）=144

95

二、组合分析法

对于等可能的事件，我们可以利用组合分析法来计算其概率，其关键是寻求等可能事件的总数和事件的发生数。

例2：设有n 个人，每个人都等可能地被分配到N 个房间中的任意一间去住（n ≤N ）,求下列事件的概率

（1）指定的n 个房间各有一个人住 （2）恰好有n 个房间，其中各住一人

解：∵每个人有N 个房间可供选择，所以n 个人住的方式共有 N n 种，它们是等可能的，

∴（1）指定n 个房间各有一个人住记作事件A ：可能的总数为n ！则 P （A ）=

n

N

n !

（2）恰好有n 个房间其中各住一人记作事件B ，则这n 个房间从N 个房间中任选

共有n N

C

个,

由（1）可知：P （B ）=

n

n

N N

n C !

三、间接法

某些概率问题，正面求解，不是很容易，特别当问题中出现至多（至少）等条件时，可采用间接方法转化为“对立事件”来求解

例3：已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机制概率为0.2

（1）假定有5门这种高炮控制某区域，求敌机进入该区域后被击中的概率。 （2）要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，需至少布置几门高炮？ 解：（1）设敌机被第k 门高炮击中的事件为A k （k=1、2、3、4、5）那么5门高炮都未击中敌机的事件为1A ·2A ·3A ·4A ·5A

∵ A i 是相互独立事件 ∴ 敌机击被击中的概率为： P （1A ·2A ·3A ·4A ·5A ）

= P （1A ）·P （2A ）·P （3A ）·P （4A ）·P （5A ） = (1―0.2)5 = 5

)5

4

( ∴ P = 1－5

)5

4

(

(2)设至少需要n 门高炮使敌机有0.9以上的概率被击中，则： 1―n

)54

(> 0.9 解得：n > 10.3

∵ n ∈N + ∴ 至少需要11门高炮才能有0.9以上的概率击中敌机。 四、转化法

当依据题意所表述的形式难于思考时，可将该问题转化成一个熟悉的“概率模型”，从而求得其解。

例4：某数学家有两盒火柴，每盒都有n 根火柴，每次用火柴时，他在两盒中任取一盒并从中任取出一根，求他发现用完一盒时，另一盒还有r 根（1≤r ≤n ）的概率。

解：由题意数学家共用了2n ―r 根火柴，其中n 根取自一盒，n ―r 根取自另一盒，于是此问题可等价转化为：“2n ―r 个不同的球，放入两个盒子，求甲盒放n 个，乙盒放n ―r 的概率”，记作事件A ，因每个球放入两个盒子共有2种放法

∴2n ―r 个球的所有等可能结果为r n -22，甲盒放入n 个球的可能结果为n r n C -2

∴P （A ）=

r n n

r n r n n

r n C C ----=2222)2

1(2

五、枚举法

对于带有开放性的概率问题，首先要弄清题意，恰当理解陈述问题的材料，联想所学的概率模型、分类讨论，然后表述解决问题的方案。

例5：基本系统是由四个整流二极管（串、并）联而成，已知每个二极管的可靠度为0.8（即正常工作），若要求系统的可靠度0.85，请你设计二极管的联结方式。

解：设系统可靠性为P

（1）若全并联，则P = 1―0.24=0.9984 > 0.85

（2）若两个两个串联后再并联，则P = (1―0.82)2 = 0.8704 > 0.85 （3）两个两个并联后再串联，则P = (1―0.22

)2

= 0.9216 > 0.85 （4）三个串联与第四个并联，则1―0.2（1―0.83

）= 0.9024 > 0.85

∴设计如下 →

→ → →

→ → → → 六、几何法

有些事件发生的结果满足某一代数关系式，则事件发生的概率可依据几何意义来求： 例6：甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即刻离去，求两人会面的概率。

解：设x 、y 分别为甲乙两人到达约会地点的时间，若两个人能会面，则| x ―y |≤15

如 图：

则（x 、y ）的所有可能结果是边长为60的正方形 内的所有点的集合，由等可能事件的概率求法可知： P （A ）=16

760

45

60

2

2

2

=

-