固体物理第二章第二节 对称性与布拉维格子的分类

x x a11 y y a21 z z a 31
a12 a22 a32
a13 x a23 y ; z a33
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正交矩阵 参考方俊鑫固物p32-36 ;或方可固物p13-16 比如：绕x轴的旋转，设转角为θ，则有：
在晶体的几何对称性的研究中，每一个能 使晶体复原的对称操作，都满足上述群中的 元素的要求，由这些元素(或操作)所构成的 群叫对称性群(symmetry group),包括点群 (point group)和空间群(space group)
1830年，赫塞耳(Johann Friedrich Christian Hessel)首先导出了32种点群，由32种点群出发， 可以对布拉维点阵进行分类，这正是1850年布 拉维所作的工作，他证明了只有7个晶系。(点 群不含平移对称操作，因为平移导致任何格点 都要动，而点群必须至少有一个格点不动) 熊夫利(Schoenflies1891)和费奥多罗夫 (Fedorove 1892) 为了研究复式晶格(几套简单 格子的平移)的分类，考虑了平移对称操作， 提出了空间群的概念,并证明只有230种独立 的空间群。 可由此证明只有14种三维布拉维 点阵
构成群的元素要满足以下条件： 设 A1 , A2 , A3 等表示群G中所包含的元素 或操作
Ai G, i 1, 2,3, G {Ai } 即：
必须满足下列条件： 1). 封闭性(closure property) 按照给定的乘法规则，群G中任何两个元素 相乘，得到的还是该群的一个元素。
再比如：取中心为原点，经中心反演，则有：
x x y y z z
a11 A a21 a 31 a12 a22 a32 a13 1 0 0 a23 0 1 0 0 0 1 a33
群论作为数学的分支，是处理有一定对称性 的物理体系的有力工具，可以简化复杂的计算， 也可以预言物理过程的发展趋势，还可以对体 系的许多性质作出定性的了解。 群及其表示理论是物理系研究生的一门重要 基础课，对于本科生不作要求。因此，我们不 打算在这里讲过多的群论的知识。只是简单介 绍一下，让大家对群的概念有一个认识。 一、群的知识简介 1. 群的定义 所谓群(group)就是一些元素(elements)或操 作的集合，常用符号 G 来表示。
此外，为了方便，人们制定了标示晶体类型 的符号，一套是熊夫利制订的，称为熊夫利符 号；一套是海尔曼(Hermann)和毛衮(Mauguin) 制订的，称为国际符号 我们这一节主要介绍这些人得到的结果
在晶格这个物理系统中，一种对称性是指某些 要素互相等价，而用来描述晶格的要素，无非就 是：点、线、面。而保持这些要素等价的操作---对称操作有三种：平移、旋转、镜反射。假设 在某一个操作过后，点阵保持不变，也就是每个 格点的位臵都得到重复，那么这个相应的平移、 旋转或镜反射操作就叫作一个点阵对称操作。其 中的点、线、面分别叫做对称中心、对称轴、对 称面----称为对称元素 从数学角度来看，晶体的对称性是对晶体进 行几何变换而能保持晶体性质的不变性,相当于 一个正交线性变换。一个变换就是一种操作。
x x y y cos z sin z y sin z cos
A 1
a11 A a21 a 31 a12 a22 a32 a13 1 0 a23 0 cos a33 0 sin sin cos 0
第二节 对称性和布拉维格子的分类
本节主要内容:
一、群的知识简介 二、点群和七个晶系
三、空间群和14种布拉维格子
四、点群对称性和晶体的物理性质
§2.2 对称性和布拉维格子的分类 布拉维格子是按其对称性(symmetry)来分类的： 所谓对称性是指在一定的几何操作下，物 体保持不变的特性。 对称性在物理学中是一个非常重要的概念， 它可使复杂物理现象的描述变得简单、明了。 因为对称性的本质是指系统中的一些要素是等 价的。对称性越高的系统，需要独立表征的系 统要素就越少，因而描述起来就越简单。 我们这里要讨论的主要是晶格(或点阵)的 对称性(symmetry of lattice).
A 1
还有：以z=0作为镜面，则有：
x x y y z z
a11 A a21 a 31 a12 a22 a32 a13 1 0 0 a23 0 1 0 0 0 1 a33
A 1
由上可以看出，当变换是纯转动时，矩阵的 行列式等于+1；当是空间反演或镜面反射时等 于-1.前一种对应物体的实际运动，另一种不能 靠物体的实际运动来实现。 如果一个物体在某一正交变换下不变，就称 这个变换为物体的一个对称操作。显然，一个 物体的对称操作越多，就表明它的对称性越高。 定量研究对称操作集合的性质要用群论的知 识。谢希德、蒋平等人编著的《群论及其在物 理学中的应用》(科学出版社出版，1986年8月) 是一本不错的书，有兴趣的同学可以参阅）
Ai Aj Ak , i j or i j
2). 群中一定包含一个不变元素(单位元素) E E G, EAi Ai E Ai 3). 存在逆元素 Ai G, Ai1 Ai Ai1 Ai1 Ai E
4). 满足组合定则
( Ai Aj ) Ak Ai ( Aj Ak )