第3章 离散傅里叶变换

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第三节 离散傅里叶变换
• DFT计算公式形式与DFS基本相同 • 在主值区间计算DFS和DFT是相等的 • DFS与DFT关系为
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例
• 已知N=10的有限长序列如图，求其离散傅里叶变换，并 画出幅度特性和相位特性
解题思路：
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例子（续）
解：
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例子（续）
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第四节 离散傅里叶变换性质
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五、相关特性
1、离散相关函数
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1、离散相关函数
• 计算：
注意：相关函数不满足交换律
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2、循环相关定理
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2、循环相关定理
• 定理表明
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六、帕斯瓦尔定理
• 表明：在一个频率带限之内的有限时间信号的能量与功率 谱之和成正比
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第五节 离散傅里叶变换与其它变换之间关系
一、离散傅里叶变换与Z变换
• 利用Z变换公式计算DFT很方便，代入公式即可 • 实际工作中常采用FFT处理方法
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二、用有限长序列
• 公式：
表示
• 表明：长为N的序列 函数
的Z变换 ，可由N个内抽 乘以加权系数 叠加而成
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三、用离散傅里叶变换表示序列的傅里叶变换
• 公式：
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作业
• 70.tif
▫ 3-2、3-3、3-4
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三、循环卷积定理
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三、循环卷积定理
混叠失真
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例
• 证明混叠失真
解：由题意得
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例（续）
35
例（续）
说明：
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三、循环卷积定理
• 使用循环卷积计算线性卷积，其步骤为
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四、对称性
• 实序列离散傅里叶变换的对称性
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四、对称性
• 离散傅里叶变换中存在一系列奇偶虚实关系和对称性
现代数字信号处理
第三章 离散傅里叶变换
福州大学物理与信息工程学院 魏宏安、赵宜升 2017年9月
本章知识点
• • • • 离散傅里叶级数 周期卷积 离散傅里叶变换 离散傅里叶变换性质 ▫ 线性性质、圆周位移定理、循环卷积定理 ▫ 对称性、相关特性、帕斯瓦尔定理 • 离散傅里叶变换与其它变换的关系
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第一节 离散傅里叶级数
• 已知：
• 证明（略）
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第二节 周期卷积
• 周期卷积定理
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第二节 周期卷积
• 周期卷积求和仅在一个周期N内进行，卷积结果也是以N 为周期的周期函数 • 线性卷积求和区间为负无穷到正无穷，卷积结果也为负无 穷到正无穷
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第二节 周期卷积
• 对于两个周期为N的周期序列，任取一个周期 进行周期卷积， 卷积结果与在 主值范围内进行卷积结果相同
• 71.tif
▫ 3-8、3-10、3-12 • 实验三
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一、线性性质
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一、线性性质
• 长度：
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二、圆周位移定理
• 有限长序列 圆周位移定义为
周期延拓->位移->截取主区间 • 圆周位移定理
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二、圆周位移定理
• 定理表明： 即
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三、循环卷积定理
•
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三、循环卷积定理
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三、循环卷积定理
• 循环卷积定理
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三、循环卷积定理
• 使用循环卷积计算线性卷积
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第一节 离散傅里叶级数
• 使用离散傅里叶级数分析周期序列 • 离散傅里叶级数定义为
周期序列无限长 傅里叶级数有限长
• 令
得
基频 k次谐波
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第一节 离散傅里叶级数
• 把长为N的周期序列 称为 称为 区间称为主值区 的主值序列 的主值序列
• 性质：对以N为周期的周期序列 ，任何一个周期 求得傅里叶级数，与 在主值区 求得的傅里叶级数相同
周期性和离散性在时域和频域之间的关系
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离散傅里叶变换
• 离散傅里叶变换是数字信号处理的核心。 • 把时域的有限长序列变换成频域的有限长序列
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离散傅里叶变换
• Z变换 ▫ 收敛性好、可计算双边序列、 ▫ 可将微分方程变成差分方程 • 离散傅里叶变换 ▫ 快速算法
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第一节 离散傅里叶级数
•
• 周期序列的Z变换为
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例
• 若
有 证明：（略）
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第二节 周期卷积
• 周期卷积也可以用反褶、 平移、相乘、求和的几何法 求解
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第三节 离散傅里叶变换
• 数字信号处理中，大量存在的是有限长序列
• 对其进行以N为周期的周期延拓
• 记为
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第三节 离散傅里叶变换
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第三wenku.baidu.com 离散傅里叶变换
• 定义：设有限长序列 长为N ， 其傅里叶变换也是一个长为N的频域有限长序列