空间解析几何基础知识

b
c
a
（平行四边形法则有时也称为三角形法则）
特殊地：若
a‖
b
b
分为同向和反向
c
| c || a
|
|
b
|
a
b a
|
c
|
|
a
|
c |
b
|
向量的加法符合下列运算规律：
（1）交换律：
a
b
b
a.
（2）结合律：
a
b
c
(a
b)
c
a
(b
c ).
（3）
a (a) 0.
[2]
a
(b )
( a
b ),
若
、为数：(a)
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(b
)
(a
b ).
数量积的坐标表达式
a axi ay j azk, b bxi by j bzk a b axbx ayby azbz
a两 向b 量| a夹 ||角b余| co弦s的坐标co表s示式| aa||bb
, |
由此可知两向量垂直的充要条件为
ab axbx a yby azbz 0
二c定的|、义c方|两向向| a量既向|| ba垂 量与 |直sibn于的的a 向向，量又(量其积垂中积为直于为cba，与a指bb向的 符夹合角)
右手系. 向量积也称为“叉积”、“外积”.
关于向量积的说明：
(1)
a a
上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是 一个与原向量同方向的单位向量.
一、空间两向量的夹角的概念：
向量aa与0,向量bb的0,夹角
b
a
(a,b)
(b, a )
(0 )
类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角.
特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定 它们的夹角可在0与 之间任意取值.
空间一点在轴上的投影
关于向量的投影定理（2）
两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在
该轴上的投影之和. （可推广到有限多个）
Pr j(a1 a2 ) Pr ja1 Pr ja2 .
A
a1
B
a2
C
u
A
B
C
二、向量在坐标轴上的分向量与向量
的坐标
设a 是以M1( x1 , y1 , z1 )为起点、M2 ( x2 , y2 , z2 )
同理： yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y, z) 0 绕 y 轴旋转一周的旋转曲面方程为
f y, x2 z2 0.
例 5 直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周，
所得旋转曲面叫圆锥面．两直线的交点叫圆锥面的
顶点，两直线的夹角
0
2
叫圆锥面的半顶
角．试建立顶点在坐标原点，旋转轴为z 轴，半顶
(ay
az }
by
)
j
(az
bz
)k;
(ax )i (ay ) j (az )k.
三、向量的模与方向余弦的坐标表示式
非零向量
a
的方向角： 、
、
非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角.
z
0 ,
• M2
M1•
0 , 0 .
o
y
x
z
由图分析可知
R
M1•
P
o
• M2
角为 的圆锥面方程．
z
解 yoz面上直线方程为 z y cot
圆锥面方程
M1(0, y1, z1 )
o
y
z x2 y2 cot x
或 z2 a2 (x2 y2 ), a cotα
M( x, y, z)
例6 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求 生成的旋转曲面的方程．
（1）双曲线
x2 a2
bxi
by
j
bz k
i j k a b ax ay az
bx by bz
由上式可推出
a// b
ax ay az
bx by bz
bx 、by 、bz 不能同时为零，但允许两个为零，
例如， ax ay az 0 0 bz
ax 0, ay 0
补充
|
a
b
|表示以a
和b
为邻边
c ab b
向量AB 在轴u 上的投影等于向量的模乘以
轴与向量的夹角的余弦： Pr ju AB | AB | cos
证
B
A
B
A
B
Pr ju AB Pr ju AB
u u
| AB | cos
定理1的说明：
(1) 0 , 投影为正；
2
(2) , 投影为负；
2
(3) ,
2
投影为零；
c
a
b
u
(4) 相等向量在同一轴上投影相等；
0.
( 0 sin 0)
(2)
a // b
a
b
0.
(a
0,
b 0)
向量积符合下列运算规律：
（1）
a
b
b
（2）分配律： (a
a. b)
c
a
c
b
c.
（3）若
为数：
(a)
b
a
(b )
(a
b ).
向量积还可用三阶行列式表示
a
axi
ay
j
azk, b
在 y 轴 上 的 投
在z
轴 上 的 投
a y y2 y1 az z2 z1 影 影 影
M1M2 ( x2 x1 )i ( y2 y1 ) j (z2 z1 )k
按基本单位向量的坐标分解式：
M1M2 ( x2 x1 )i ( y2 y1 ) j (z2 z1 )k
为终点的向量，
过M1 , M2各作垂直于三个坐标轴的平面 , 这六个平面围成一个以线段M1M 2 为对角线的
长方体.
以i
,
j,
k 分别表示沿x,
z
y,
z轴正向的单位 向量. a axi ay j azk
R
向向 向
• M2
量量 量
x
k M1•
o
P
j
i
Q
在
x
N
y
轴 上
的
ax x2 x1 投
Q
y
ax ay az
| a
|
a
| a
| | |
cos cos cos
向 量 的 方 向
x 方向余弦通常用来表示向量的方向.
余 弦
M1M2 M1P 2 M1Q 2 M1R 2
| a |
ax2 a y2 az2 向量模长的坐标表示式
向量方向余弦的坐标表示式
当 ax2 a y2 az2 0 时，
减法
a b a (b)
b
a
a
b
a
b
b
b c
a
b
c
a
(b )
ab
三、向量与数的乘法
设 是一个数，向量a 与 的乘积a 规定为
(1) 0,
a
与a
同向，|
a
|
|
a
|
(2) 0,
a
0
(3) 0,
a
与a
反向，|
a
||
|
|
a
|
a 2a
1
a
2
数与向量的乘积符合下列运算规律：
设M1 ( x1 , y1 , z1 )、M 2 ( x2 , y2 , z2 )为空间两点
M1M2 x2 x1 2 y2 y1 2 z2 z1 2 .
空间两点间距离公式
一、向量的概念
M2
向量：既有大小又有方向的量.
向量表示：a 或 M1M2
M1
向量的以模M：1向为量起点 的，大M小.2 为| a终| 或点|的M有1M向2线| 段.
单位向量：模长为1的向量. a0
或
M1 M 20
零向量：模长为0的向量. 0
自由向量：不考虑起点位置的向量.
相等向量：大小相等且方向相同的向量.
a
b 负向量：大小相等但方向相反的向量.
a
a
a
向径： 空间直角坐标系中任一点 M与原点 构成的向量.OM
二、向量的加减法
[1]
加法：a
b
c
（平行四边形法则）
平面
y
y x
从柱面方程看柱面的特征：
只含 x, y 而缺z 的方程F ( x, y) 0 ，在
空间直角坐标系中表示母线平行于z 轴的柱
面，其准线为 xoy面上曲线C . （其他类推）
实 例
y2 b2
z2 c2
1
椭圆柱面 // x轴
x2 a2
y2 b2
1
双曲柱面 // z轴
x2 2 pz 抛物柱面 // y 轴
的平行四边形的面积.
a
三、向量的混合积
称定为义这设三已个知向三量个的向混量合a 积、，b 、记c为，[a数bc量] .(a
b)
c
设
a
axi
a
yj
azk ,
b bxi by j bzk,
c cxi cy j czk,
ax ay az [abc] (a b) c bx by bz
•A
过点A 作轴u的垂直
A
u
平面，交点A 即为点 A 在轴u 上的投影.
空间一向量在轴上的投影
B A
u
A
B
已知向量的起点A 和终点B 在
轴u上的投影分别为 A, B那
么轴u 上的有向线段AB 的
值，称为向量在轴u 上的投影.
向量AB在轴u 上的投影记为 Pr ju AB AB.
关于向量的投影定理（1）
z c
2 2
1分别绕x
轴和z 轴；
绕 x 轴旋转
x2 a2
y2 z2 c2
1
旋 转
双
绕z 轴旋转
x2 a2
y2
z2 c2
1
曲 面
y2 z2 （2）椭圆 a 2 c2 1绕y 轴和z 轴；
x 0
绕 y 轴旋转
y2 a2
x2 c2
z2
1
旋 转
椭
绕z 轴旋转
x2 a2
y2
z2 c2
1
cx cy cz
混合积的坐标表达式
关于混合积的说明：
（((132)）)向[三a量b向的c]量混 a(合a、积bb是、) 一cc个共(数面b 量c.) a
(c
a)
[abc] 0.
b.
一、曲面方程的概念
曲面方程的定义：
如果曲面S 与三元方程F ( x, y, z) 0有下述关系：
（1）曲面S 上任一点的坐标都满足方程； （2）不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程；
（讨论旋转曲面）
（2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状． （讨论柱面、二次曲面）
二、旋转曲面
定义 以一条平面
曲线绕其平面上的
一条直线旋转一周
所成的曲面称为旋
转曲面.
这条定直线叫旋转
曲面的轴．
播放
yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y, z) 0绕z 轴旋
转一周的旋转曲面方程.
f x2 y2 , z 0,
与b
的数量积为a
b
ab
|
a
||
b
|
cos
(其中
为a
与b
的夹角)
数量积也称为“点积”、“内积”.
关于数量积的说明：
(1) (2)
a
a
|
ab
a 0
|2 .
ab.
数量积符合下列运算规律：
（1）交换律：a
b
b
a;
（2）分配律：(a
b)
c
a
c
b
c;
（3）若
为数： (a )
b
球 面
（3）抛物线 y2 2 pz 绕z 轴； x 0
x2 y2 2 pz 旋转抛物面
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 C 叫柱面的准线 ，动直线 L 叫
柱面的母线.
观察柱面的形
成过程:
播放
柱面举例
z
z
y2 2x
o
y
o
x
x
抛物柱面
在三个坐标轴上的分向量：axi , ay j , azk ,
向量的坐标： ax , a y
向量的坐标表达式：
, a
az
, {a
x
,
ay,
az }
M1M2 { x2 x1, y2 y1, z2 z1}
特殊地：OM {x, y, z}
向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式
a
{ax
,
ay,
az },
b {bx , by , bz },
a b {ax bx ,ay by , az bz }
(ax bx )i (ay by ) j (az bz )k;
a b {ax bx ,ay by , az bz }
a
(ax bx )i
{ax ,ay ,
cos cos
ax
,
ax2 ay2 az2
ay
,
ax2 ay2 az2
cos
az
.
ax2 ay2 az2
方向余弦的特征
cos2 cos2 cos2 1
特殊地：单位向量的方向余弦为
a0 a {cos, cos , cos }.
|a|
一、两向量的数量积
定义
向量a
一、空间曲线的一般方程
空间曲线C可看作空间两曲面的交线.
F(x, y,z) 0 G( x, y, z) 0
空间曲线的一般方程
特点：曲线上的点都满足 方程，满足方程的点都在 曲线上，不在曲线上的点 x 不能同时满足两个方程.
z
S1
S2
C
o
y
二、空间曲线的参数方程
一、空间点的直角坐标
三个坐标轴的正方向 符合右手系.
z 竖轴
即以右手握住z 轴，
当右手的四个手指
从正向x 轴以 角
2
度转向正向y 轴
时，大拇指的指向
就是z 轴的正向.
定点 o •
y 纵轴
横轴 x 空间直角坐标系
Ⅲ
yoz 面
Ⅳ
xoy 面
Ⅶ
x
Ⅷ
z zox 面
Ⅱ
o
yⅠ
Ⅵ Ⅴ
空间直角坐标系共有八个卦限
二、空间两点间的距离
（1）结合律：
(
a
)
(
a
)
(
)a
（2）分配律：((ab)a)
a
a
a b
两个向量的平行关系
定理
设向量
a
0， 那 末 向 量 b
平行于a
分必要条件是：存在唯一的实数 ，使 b
的充
a.
设a0表示与非零向量a 同方向的单位向量，
按照向量与数的乘积的规定，
a | a | a0
a
a0 .
|a|
那么，方程F ( x, y, z) 0 就叫做曲面S 的方程， 而曲面S 就叫做方程的图形． 例 1 建立球心在点M0 ( x0 , y0 , z0 )、半径为R
的球面方程.
x x0 2 y y0 2 z z0 2 R2
以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题： （1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程．