二维形式的柯西不等式
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2.1 二维形式的柯西不等式
有些不等式不仅形式优美而且具有重要的应用价值， 人们称它们为经典不等式. 如均值不等式: a1 a2 an ≥ n a1a2 an (ai R , i 1, 2, , n) . n 本节 , 我们来学习数学上一个有名的经典不等式: 柯 西不等式,了解它的意义、背景、证明方法及其应用，感 受数学的美妙，提高数学素养.
2
于是 a 2 b2 1 。 注： 这里是利用其取等号的充分必要条件来达到目的
4．一般形式的柯西不等式 定理 设 a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn 是实数， 则
2 2 2 2 2 2 (_________________________________________________ a2 ＋ a ＋…＋ a )( b ＋ b ＋…＋ b ) ≥ ( a b ＋ a b ＋…＋ a b ) 1 2 n 1 2 n 1 1 2 2 n n
证明：由柯西不等式，得 2 2 2 2 1 a 1 b2 b 1 a 2 ≤ a 1 a b 1 b
1 b2 当且仅当 时，上式取等号， a 1 a2 b
2
ab 1 a 1 b , a 2 b 2 1 a 2 1 b 2 ,
变式 2.已知 3 x 2 y 6 , 求 x 2 y 2 的最小值. 2 变式 3.已知 3 x 2 y 6 , 求 x 2 y
2 2
36 的最小值. 11
思考 3.求函数 y 5 x 1 10 2 x 的最大值.
课堂练习：P36 第1，3，4
课外思考: 已知 a 1 b2 b 1 a 2 1, 求证： a 2 b2 1 .
发现定理: 定理 1(二维形式的柯西不等式) 若 a, b, c, d 都是 实数 , 则 (a2 b2 )(c2 d 2 ) ≥ (ac bd )2 . 当且仅当 ad bc 时,等号成立.
你能简明地写出这个定理的证明吗？
思考解答
变形
二维形式的柯西不等式
二维形式的柯西不等式定理：
2
变形，使之出现常数
1 22 设a 0, b 0, 且a b 1, 求证：2a 1 b 3 2
练习2
变形，使之出现 条件中的表达式或表达式的倍数
x y 例3.设x 0, y 0, 且x y 2, 的最小值。 2 x 2 y
2
2
运用这个定理, 我们可以解决以前感觉棘手的问题. 1 1 思考 1:设 a, b R , a b 1, 求证: ≥ 4 . a b 证明:由于 a , b R ,根据柯西不等式,得 1 1 1 1 2 (a b)( ) ≥ ( a b ) 4 a b a b 又 a b 1, 1 1 ∴ ≥4 a b
若a,b,c,d都是实数,则
(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2
当且仅当ad=bc时,等号成立. 仔细观察上述定理，概括它的特点
平方的和的乘积不小于乘积的和的平方
例1：已知a,b为实数，求证
(a b )(a b ) (a b )
4 4 2 2 3
3 2
分清（找准）a,b,c,d
2 2
1 x 2 x 3 y 4 由 得 2 x 3 y 1 y 1 6 1 4 x 9 y 的最小值为 2
2 2
例2.求函数
y 5 x 1 10 2 x
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的最大值
ac bd (a b ) c d
2 2 2
补全a,b,c,d
变式1：若2 x 3 y 1, 求4 x 9 y 的最小值.
2 2
解 :由柯西不等式(4 x 9 y )(1 1 ) (2 x 3 y ) 1,
2 2 2 2 2
1 4x 9 y . 2 当且仅当2 x 1 3 y 1, 即2 x 3 y时取等号.
1 1 练习 1:设 a , b R , a b 1, 求证: ≥ 4 . a b
证明:由于 a , b R ,根据柯西不等式,得 1 1 1 1 2 (a b)( ) ≥ ( a b ) 4 a b a b 1 1 又 a b 1 ,∴ ≥ 4 a b
可以体会到，运用柯西不等式，思路一步到 位，简洁明了！解答漂亮！
定理 1(二维形式的柯西不等式) 若 a, b, c, d 都 是实数 , 则 (a2 b2 )(c2 d 2 ) ≥ (ac bd )2 . 当且仅当 ad bc 时,等号成立.
变变形……,可得下面两个不等式:
⑴ 若 a, b, c, d 都 是实数 , 则 (a 2 b 2 ) (c 2 d 2 ) ≥ ac bd . 当且仅当 ad bc 时,等号成立. 当且仅当 ad bc 时,等号成立. 这两个结论也是非常有用的.
，当且仅当 bi＝0(i＝1，2，…，n)或存在一个实数 k，使 得 ai＝kbi(i＝1，2，…，n)时，等号成立．
⑵ 若 a, b, c, d 都是实数 , 则 (a 2 b 2 ) (c 2 d 2 ) ≥ ac bd .
柯西不等式的应用举例: 2 思考 2.已知 4 x 2 9 y 2 36 , 求 x 2 y 的最大值.
5
变式 1.已知 4 x 2 9 y 2 36 , 求 x 2 y 的最大值.2 5
有些不等式不仅形式优美而且具有重要的应用价值， 人们称它们为经典不等式. 如均值不等式: a1 a2 an ≥ n a1a2 an (ai R , i 1, 2, , n) . n 本节 , 我们来学习数学上一个有名的经典不等式: 柯 西不等式,了解它的意义、背景、证明方法及其应用，感 受数学的美妙，提高数学素养.
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于是 a 2 b2 1 。 注： 这里是利用其取等号的充分必要条件来达到目的
4．一般形式的柯西不等式 定理 设 a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn 是实数， 则
2 2 2 2 2 2 (_________________________________________________ a2 ＋ a ＋…＋ a )( b ＋ b ＋…＋ b ) ≥ ( a b ＋ a b ＋…＋ a b ) 1 2 n 1 2 n 1 1 2 2 n n
证明：由柯西不等式，得 2 2 2 2 1 a 1 b2 b 1 a 2 ≤ a 1 a b 1 b
1 b2 当且仅当 时，上式取等号， a 1 a2 b
2
ab 1 a 1 b , a 2 b 2 1 a 2 1 b 2 ,
变式 2.已知 3 x 2 y 6 , 求 x 2 y 2 的最小值. 2 变式 3.已知 3 x 2 y 6 , 求 x 2 y
2 2
36 的最小值. 11
思考 3.求函数 y 5 x 1 10 2 x 的最大值.
课堂练习：P36 第1，3，4
课外思考: 已知 a 1 b2 b 1 a 2 1, 求证： a 2 b2 1 .
发现定理: 定理 1(二维形式的柯西不等式) 若 a, b, c, d 都是 实数 , 则 (a2 b2 )(c2 d 2 ) ≥ (ac bd )2 . 当且仅当 ad bc 时,等号成立.
你能简明地写出这个定理的证明吗？
思考解答
变形
二维形式的柯西不等式
二维形式的柯西不等式定理：
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变形，使之出现常数
1 22 设a 0, b 0, 且a b 1, 求证：2a 1 b 3 2
练习2
变形，使之出现 条件中的表达式或表达式的倍数
x y 例3.设x 0, y 0, 且x y 2, 的最小值。 2 x 2 y
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运用这个定理, 我们可以解决以前感觉棘手的问题. 1 1 思考 1:设 a, b R , a b 1, 求证: ≥ 4 . a b 证明:由于 a , b R ,根据柯西不等式,得 1 1 1 1 2 (a b)( ) ≥ ( a b ) 4 a b a b 又 a b 1, 1 1 ∴ ≥4 a b
若a,b,c,d都是实数,则
(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2
当且仅当ad=bc时,等号成立. 仔细观察上述定理，概括它的特点
平方的和的乘积不小于乘积的和的平方
例1：已知a,b为实数，求证
(a b )(a b ) (a b )
4 4 2 2 3
3 2
分清（找准）a,b,c,d
2 2
1 x 2 x 3 y 4 由 得 2 x 3 y 1 y 1 6 1 4 x 9 y 的最小值为 2
2 2
例2.求函数
y 5 x 1 10 2 x
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的最大值
ac bd (a b ) c d
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补全a,b,c,d
变式1：若2 x 3 y 1, 求4 x 9 y 的最小值.
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解 :由柯西不等式(4 x 9 y )(1 1 ) (2 x 3 y ) 1,
2 2 2 2 2
1 4x 9 y . 2 当且仅当2 x 1 3 y 1, 即2 x 3 y时取等号.
1 1 练习 1:设 a , b R , a b 1, 求证: ≥ 4 . a b
证明:由于 a , b R ,根据柯西不等式,得 1 1 1 1 2 (a b)( ) ≥ ( a b ) 4 a b a b 1 1 又 a b 1 ,∴ ≥ 4 a b
可以体会到，运用柯西不等式，思路一步到 位，简洁明了！解答漂亮！
定理 1(二维形式的柯西不等式) 若 a, b, c, d 都 是实数 , 则 (a2 b2 )(c2 d 2 ) ≥ (ac bd )2 . 当且仅当 ad bc 时,等号成立.
变变形……,可得下面两个不等式:
⑴ 若 a, b, c, d 都 是实数 , 则 (a 2 b 2 ) (c 2 d 2 ) ≥ ac bd . 当且仅当 ad bc 时,等号成立. 当且仅当 ad bc 时,等号成立. 这两个结论也是非常有用的.
，当且仅当 bi＝0(i＝1，2，…，n)或存在一个实数 k，使 得 ai＝kbi(i＝1，2，…，n)时，等号成立．
⑵ 若 a, b, c, d 都是实数 , 则 (a 2 b 2 ) (c 2 d 2 ) ≥ ac bd .
柯西不等式的应用举例: 2 思考 2.已知 4 x 2 9 y 2 36 , 求 x 2 y 的最大值.
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变式 1.已知 4 x 2 9 y 2 36 , 求 x 2 y 的最大值.2 5