平面与直线与立体相交

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［例３］求平面λ与圆锥的截交线
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［例４］求截平面λ和圆锥的截交线
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［例５］求平面λ与圆球的截交线
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［例６］求半圆球切槽后的Ｈ、Ｗ投影
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［例7］求连杆头部的截交线
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§３ 直线与立体相交
3.1 利用积聚性求贯穿点 ［例１］求直线ＤＥ与三棱柱的贯穿点
［例６］已知位于三棱锥表面上的线的水平 投影为直线段ｍｎ，试求其正面投影
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2 平面与立体相交
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截交线的基本性质：
• 1）截交线是截平面与立体表面的共有线。 • 2）截交线的形状取决于立体表面的形状及 截平面与回转体轴线的相对位置。
•3） 截交线都是封闭的平面图形。
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［例３］求正垂面λ与三棱锥的截交线，并求 出截交线的实形
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［例４］试完成正四棱锥被两平面截切后的投影
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2.2 平面与回转体相交
回转体截切的基本形式
截交线的性质： • 截交线是截平面与回转体表面的共有线。 • 截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。 • 截交线都是封闭的平面图形。
［例１］求圆柱与圆锥的相贯线
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［例2］求斜圆柱与水平圆柱的相贯线
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［例3］试求圆柱与球的相贯线
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4.３ 相贯线的特殊情况
1．蒙日定理
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2．具有公共轴线的回转体相交，或当回转 体轴线通过球心时，其相贯线为圆
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3．两个轴线平行的圆柱相交及两共顶的圆 锥相交，其相贯线为直线
［例2］求圆柱Ⅰ、圆锥台Ⅱ、圆柱Ⅲ三体相 交的相贯线
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3.3 用换面法求贯穿点
［例］求直线AB 和圆球的贯穿点
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§4 立体与立体相交
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4.1 利用积聚性求相贯线
［例１］试求两圆柱的相贯线
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［例2］试求两圆柱的相贯线
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4.2 用辅助平面法求相贯线
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4.４ 利用辅助球面法求相贯线
［例］求圆柱和圆锥的相贯线
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辅助球面法可以只在一个投影上作图就能求出 相贯线的这一投影
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4.5 相贯线的变化趋势
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4.6 多体相交
［例１］求图示三体相交的相贯线
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［例2］求铅垂线AB与圆锥的贯穿点
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3.2 利用辅助平面法求贯穿点
［例1］直线AB与三 棱锥相交，试求其贯 穿点
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［例2］直线AB与圆球相交，试求贯穿点
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[例3］直线AB与圆锥相交，求其贯穿点
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［例4］直线AB与斜椭圆柱相交，求其贯穿点
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2.2.1 利用积聚性求截交线
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［例１］试求平面λ与圆柱的截交线
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截平面与圆柱轴线的倾角为θ，其交线的W投 影为椭圆，椭圆的长、短轴随θ的变化而变化
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［例２］圆柱上部有一切口，若已知其Ｖ投 影，试求Ｈ、Ｗ投影
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2.1 平面与平面立体相交
平面截切的基本形式
截交线的性质：
• 截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其 形状取决于平面体的形状及截平面对平面体的截切 位置。
• 截交线的每条边是截平面与棱面的交线。
求截交线的实质是求两平面的交线
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二、平面截切体的画图
⒈ 求截交线的两种方法： 求各棱线与截平面的交点→线面交点法。 求各棱面与截平面的交线→面面交线法。
⒉ 求截交线的步骤： 空间及投影分析
截平面与体的相对位置 截平面与投影面的相对位置
画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面 的交线，并连接成多边形。
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［例１］斜三棱柱与ＬＭＮ平面相交，求 出截交线的投影
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［例２］试完成五棱柱被两平面Ｐ、Ｑ截切 后的投影
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2.2.2 用辅助平面法求截交线
辅助平面法求截交线的实质是求三面共点
选择辅助平面的原则
根据回转体的形状和相对于投影面的位置 ，选取合适的辅助面，使其与回转体表面交线 的投影为简单易画的直线或圆，使作图简便、 准确
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平面与圆锥体表面相交，可以得到五种截交线
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平面与圆球相交，其截交线总是一个圆。由于 截平面相对于投影面的位置不同，截交线的投 影可能是圆、椭圆或直线。