4一阶谓词逻辑
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但实际上(1)和(2)的推理都是有效的。命题逻 辑和词项逻辑有局限性。
命题逻辑和词项逻辑的局限性：
1. 都不能处理关系命题及其推理； 2. 都不能处理量词内部含联结词结构的命题及其
推理。
需要用另外的逻辑理论——谓词逻辑。
一阶谓词逻辑语言 一阶谓词逻辑公式 公式赋值/语义 普遍有效式 逻辑推论 形式推演 前束范式
x F(x)：存在x使得x是F
联结词：，，，， 辅助符号: ()，[]，{}
量词的辖域
量词的辖域是它后面第一个完整的公式。
个体变项的自由出现和约束出现
设x为一个个体变项，φ是任意公式，x在φ中的 一个出现是约束的（bound)，当且仅当这一出 现或是在φ中的某个使用x的量词中，或者在这 样的量词的辖域内。
谓词：F、G、H、R…
1. 一元谓词（表示性质）
F(x)：自然数是整数 F(a) ：3是整数 G(b) 《春江花月夜》是中国古代名曲
2. n元谓词（表示n元关系）
H(c,d)：牛郎爱织女 F(y,e)：张三比李四跑的快。 谓词：F、G、H、R…
词典
我们可以用下面方式直观表明：形式语言中的个体 常项、函数符号和谓词等表示个体、函数、性质 及关系
第四章 一阶谓词逻辑
有些推理的有效性不能用命题逻辑和词项逻 辑所讲的方法判定：
(1)白马是马（p） 所以，骑白马是骑马（q）
pq （不是重言式，在p=1，q=0, 的赋值值为假） (2) 2是小于3的 3是小于4的 所以，2是小于4的
没有相同的中项（小于3的；3），前提和结论之 间建立不起任何的关系
个体词就是表示对象域中的个体的符号，包 括个体变项和个体常项。
个体变项：某个特定的范围内的某个不确定的对 象，用x，y，z…
个体常项：某个特定的范围内的某个确定的对象， 用a，b，c…来表示
论域：由一定对象所组成的类或者集合，规定了个 体变项的取值范围，也叫做个体变项的“值域”。
论域一般是全域。
更进一步
————————————————————
论域：所有的人 Px: x是学生
自然语言中关系命题符号化
—————————————— 论域：所有生物 Lxy: x帮助y Px: x是人 b:张三 —————————————— 所有人都帮助张三。 没有人帮助张三。 有些人帮助张三。 有些人没有帮助张三。 张三帮助每一个人。 张三没帮助任何人。
2.自然语言中性质命题的符号化
1. SAP 符号化为： x(S(x) P(x))
2. SEP符号化为： x(S(x) P(x))
x(S(x) P(x))
x(S(x) P(x))
3. SIP符号化为： x(S(x) P(x))
4. SOP符号化为： x(S(x) P(x))
专名、 常项及其指称 专名是用来指称、指向或命名某个东西的表达式。“长江”“黄 河”“美国的首都
常项就是有所指的专名。
变项： x y z …… 变项的作用在于它在某个范围内可以取不同的值。 例如： 我们令下列城市为x的取值范围： 西安、南京、荆州、襄阳、平遥
x的城墙
论域，有时也称个体域，是讨论中涉及的所有个体对象的集合。
在给定论域之后，闭公式有确定的意义。
直言句及其符号化
1.无量词的句子
例：用给出的词典将下列句子符号化： 论域： 现有的人 a: 张三 Px： x是成年人 b: 李四 Rxy: x比y 年长 c: 王五
如果李四是成年人并且没有王五年长，那么王五也是成年人。
虽然张三不是成年人，但他还是比李四和王五年长。
x在φ中的一个出现是自由的(free)当且仅当这 一出现既不是在φ中出现的任何量词中，也不 是在他们的辖域内。
开公式
一个含有至少一个自由变项的公式，叫做“开公 式”。
闭公式
如果一个公式中所有个体变项的出现是约束出现 ，那么我们就把该公示称为闭公式或句子。
特别的，没有任何个体变项出现的公式都是闭公 式。G(a)
—————————————————— 论域： 自然数集合 Px：x是素数
a:0
Rxy: x<y
fx:x+1
——————————————————
当我们对汉语的句子做符号化或形式翻译时候，类 似上述表格被称为“词典”
量词
全称量词：(所有、任何、一切…)
x F(x)：对于所有的x，x是F
特称量词： (存在、有些、有一个…)
函数和函数符号 函数是一种映射或指派关系。
设A是前面列出的所有城市的集合，B是所有这些城市的现有的城墙的集合。 那么f可以是这样一个函数，它把A中的每一个城市映射到B中该城市的城墙。 于是，f(西安）＝西安的城墙…….
在我们的讨论中，也可以有函数符号，用f, g, h……来表示。函数符号的定 义域和值域都是论域。
————————————————
论域：所有的人 Px: x是学生
b: 张三
Lxy: x帮助y
Rxy:ｘ与y住同一个宿舍
————————————————
与张三同宿舍的学生都帮助张三
与张三同宿舍的学生没人帮助张三。
张三帮助他同宿舍的每一个学生。
与张三同宿舍的某些学生没有帮助张三。
5. 单称直言命题符号化： 原子公式
“《春江花月夜》是一只中国古典名曲”
F(a)
所有的鱼都生活在水中
没有猫生活在水中
有些生活在水中的是鱼
有些生活在水中的不是鱼
————————————————
论域：所有生物 Gx: x生活在水里
Fx: x是鱼
Hx: x是猫
————————————————
项
项类似于自然语言中的名词或名词词组，包括所 有的个体常项和个体变项，并且包括用函数符号 加上适当的常项或变项序列组成的符号串。
例如：fx: x的父亲
a: 张山
fa: 张三的父亲
这里的函数符号可以叠加，例如
gx: x的母亲
张三的祖母？Fra Baidu bibliotekfa
第一节 一阶谓词逻辑语言
个体词
命题逻辑和词项逻辑的局限性：
1. 都不能处理关系命题及其推理； 2. 都不能处理量词内部含联结词结构的命题及其
推理。
需要用另外的逻辑理论——谓词逻辑。
一阶谓词逻辑语言 一阶谓词逻辑公式 公式赋值/语义 普遍有效式 逻辑推论 形式推演 前束范式
x F(x)：存在x使得x是F
联结词：，，，， 辅助符号: ()，[]，{}
量词的辖域
量词的辖域是它后面第一个完整的公式。
个体变项的自由出现和约束出现
设x为一个个体变项，φ是任意公式，x在φ中的 一个出现是约束的（bound)，当且仅当这一出 现或是在φ中的某个使用x的量词中，或者在这 样的量词的辖域内。
谓词：F、G、H、R…
1. 一元谓词（表示性质）
F(x)：自然数是整数 F(a) ：3是整数 G(b) 《春江花月夜》是中国古代名曲
2. n元谓词（表示n元关系）
H(c,d)：牛郎爱织女 F(y,e)：张三比李四跑的快。 谓词：F、G、H、R…
词典
我们可以用下面方式直观表明：形式语言中的个体 常项、函数符号和谓词等表示个体、函数、性质 及关系
第四章 一阶谓词逻辑
有些推理的有效性不能用命题逻辑和词项逻 辑所讲的方法判定：
(1)白马是马（p） 所以，骑白马是骑马（q）
pq （不是重言式，在p=1，q=0, 的赋值值为假） (2) 2是小于3的 3是小于4的 所以，2是小于4的
没有相同的中项（小于3的；3），前提和结论之 间建立不起任何的关系
个体词就是表示对象域中的个体的符号，包 括个体变项和个体常项。
个体变项：某个特定的范围内的某个不确定的对 象，用x，y，z…
个体常项：某个特定的范围内的某个确定的对象， 用a，b，c…来表示
论域：由一定对象所组成的类或者集合，规定了个 体变项的取值范围，也叫做个体变项的“值域”。
论域一般是全域。
更进一步
————————————————————
论域：所有的人 Px: x是学生
自然语言中关系命题符号化
—————————————— 论域：所有生物 Lxy: x帮助y Px: x是人 b:张三 —————————————— 所有人都帮助张三。 没有人帮助张三。 有些人帮助张三。 有些人没有帮助张三。 张三帮助每一个人。 张三没帮助任何人。
2.自然语言中性质命题的符号化
1. SAP 符号化为： x(S(x) P(x))
2. SEP符号化为： x(S(x) P(x))
x(S(x) P(x))
x(S(x) P(x))
3. SIP符号化为： x(S(x) P(x))
4. SOP符号化为： x(S(x) P(x))
专名、 常项及其指称 专名是用来指称、指向或命名某个东西的表达式。“长江”“黄 河”“美国的首都
常项就是有所指的专名。
变项： x y z …… 变项的作用在于它在某个范围内可以取不同的值。 例如： 我们令下列城市为x的取值范围： 西安、南京、荆州、襄阳、平遥
x的城墙
论域，有时也称个体域，是讨论中涉及的所有个体对象的集合。
在给定论域之后，闭公式有确定的意义。
直言句及其符号化
1.无量词的句子
例：用给出的词典将下列句子符号化： 论域： 现有的人 a: 张三 Px： x是成年人 b: 李四 Rxy: x比y 年长 c: 王五
如果李四是成年人并且没有王五年长，那么王五也是成年人。
虽然张三不是成年人，但他还是比李四和王五年长。
x在φ中的一个出现是自由的(free)当且仅当这 一出现既不是在φ中出现的任何量词中，也不 是在他们的辖域内。
开公式
一个含有至少一个自由变项的公式，叫做“开公 式”。
闭公式
如果一个公式中所有个体变项的出现是约束出现 ，那么我们就把该公示称为闭公式或句子。
特别的，没有任何个体变项出现的公式都是闭公 式。G(a)
—————————————————— 论域： 自然数集合 Px：x是素数
a:0
Rxy: x<y
fx:x+1
——————————————————
当我们对汉语的句子做符号化或形式翻译时候，类 似上述表格被称为“词典”
量词
全称量词：(所有、任何、一切…)
x F(x)：对于所有的x，x是F
特称量词： (存在、有些、有一个…)
函数和函数符号 函数是一种映射或指派关系。
设A是前面列出的所有城市的集合，B是所有这些城市的现有的城墙的集合。 那么f可以是这样一个函数，它把A中的每一个城市映射到B中该城市的城墙。 于是，f(西安）＝西安的城墙…….
在我们的讨论中，也可以有函数符号，用f, g, h……来表示。函数符号的定 义域和值域都是论域。
————————————————
论域：所有的人 Px: x是学生
b: 张三
Lxy: x帮助y
Rxy:ｘ与y住同一个宿舍
————————————————
与张三同宿舍的学生都帮助张三
与张三同宿舍的学生没人帮助张三。
张三帮助他同宿舍的每一个学生。
与张三同宿舍的某些学生没有帮助张三。
5. 单称直言命题符号化： 原子公式
“《春江花月夜》是一只中国古典名曲”
F(a)
所有的鱼都生活在水中
没有猫生活在水中
有些生活在水中的是鱼
有些生活在水中的不是鱼
————————————————
论域：所有生物 Gx: x生活在水里
Fx: x是鱼
Hx: x是猫
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项
项类似于自然语言中的名词或名词词组，包括所 有的个体常项和个体变项，并且包括用函数符号 加上适当的常项或变项序列组成的符号串。
例如：fx: x的父亲
a: 张山
fa: 张三的父亲
这里的函数符号可以叠加，例如
gx: x的母亲
张三的祖母？Fra Baidu bibliotekfa
第一节 一阶谓词逻辑语言
个体词