可靠性设计 Reliability Design

可靠性设计Reliability Design
可靠性是产品质量得重要指标之一。

现代优质产品主要是功能好、可靠性高。

为了提高机械产品的可靠性，首先，必须在设计上满足可靠性要求。

为此，要求机械设计人员在掌握常规机械设计方法的基础上，必须掌握机械可靠性设计的基本理论和方法，从而设计出性能好、可靠性高的现代机械产品。

内容：
可靠性的概念和设计特点
可靠性设计中常用的特征量和可靠性常用概率分布
机械强度可靠性设计
疲劳强度可靠性分析
机械系统可靠性设计
1 概述
可靠性技术的研究源于20世纪50年代，在其后60、70年代，随着航空航天事业的发展，可靠性问题的研究取得了长足的进展，引起了国际社会的普遍重视。

为了研究产品的可靠性，许多国家相继成立了可靠性研究机构，对可靠性理论作了广泛的研究。

其中，最为有名的就是美国国防部研究与发展局于1952年成立了一个所谓的“电子设备可靠性顾问团咨询组”(AGREE)，经过五年的工作，于1957年提出了“电子设备可靠性报告”，即AGREE
报告。

该报告全面地总结了电子设备的失效的原因与情况，提出了比较完整的评价产品可靠性的一套理论与方法。

AGREE报告从而为可靠性科学的发展奠定了理论基础。

我国对可靠性科学和技术的研究也有较长的历史，大约从20世纪50年代初期研制“两弹一星”就开设。

1990年我国机械电子工业部印发的《加强机电产品设计工作的规定》中指出：可靠性、适应性、经济性三性统筹作为我国机电产品设计的原则。

在新产品的鉴定定型时，必须要有产品可靠性设计资料和试验报告，否则不能通过鉴定。

现今可靠性的观点和方法已经成为质量保证、安全性保证、产品责任预防等不可缺少的依据和手段，也是我国工程技术人员掌握现代设计理论和方法所必须掌握的重要内容之一。

1.2 可靠性的概念及特点
可靠性是产品质量的重要指标，它标志着产品不会丧失工作能力的可靠程度。

可靠性的定义是：产品在规定的条件下和规定的时间内，完成规定功能的能力。

它包含四个要素：
（１）研究对象
产品即为可靠性的研究对象，它可以是系统、整机、部件，也可以是组件、元件或零件等。

（２）规定的条件
它包括使用时的：环境条件（如温度、湿度、气压等）；
工作条件（如振动、冲击、噪音等）；
动力、负荷条件（如载荷、供电电压等）；
贮存条件、使用和维护条件等。

“规定的条件”不同，产品的可靠性也不同。

（３）规定的时间
时间是表达产品可靠性的基本因素，也是可靠性的重要特征。

一般情况下，产品“寿命”的重要量值“时间”是常用的可靠性尺度。

一般说来，产品的可靠水平是随着使用时间的增长而降低。

时间愈长，故障（失效）愈多。

“规定的时间”可代表广义的计时时间，也可因研究对象的不同而采用诸如次数、周期或距离等相当于寿命的量。

（４）规定的功能
它是指表征产品的各项技术指标，如仪器仪表的精度、分辨率、线性度、重复性、量程等。

不同的产品其功能是不同的，即使同一产品，在不同的条件下其规定功能往往也是不同的。

产品的可靠性可分为：固有可靠性、使用可靠性和环境适应性三
个方面。

固有可靠性是指产品在设计、生产中已确立的可靠性，它是产品
内在的可靠性，是生产厂家模拟实际工作条件进行检测并给以保证
的可靠性。

固有可靠性与产品的材料、设计与制造技术有关。

使用可靠性是产品在使用中的可靠性，它与产品的运输、贮藏保
管以及使用过程中的操作水平、维修状况和环境等因素有关，所有
这些与使用相关的可靠性称为使用可靠性。

据国外统计资料表明：
●电子设备故障原因中属于产品固有可靠性部分占了80%：
其中设计技术占40%，器件和原材料占30%，制造技术占10%；
●属于产品使用可靠性部分占20%，其中现场使用占15%。

1.3 可靠性设计的基本内容
可靠性学科是一门综合运用多种学科知识的工程技术学科，该领域主要包括以下三方面的内容：
1)可靠性设计
它包括：设计方案的分析、对比与评价，必要时也包括可靠性试验、生产制造中的质量控制设计及使用维护规程的设计等。

2)可靠性分析
它主要是指失效分析，也包括必要的可靠性试验和故障分析。

这方面的工作为可靠性设计提供依据，也为重大事故提供科学的责任分析报告。

3) 可靠性数学
这是数理统计方法在开展可靠性工作中发展起来的一个数学分支。

目前，进行可靠性设计的基本内容大致有以下几个方面：
(1)根据产品的设计要求，确定所采用的可靠性指标及其量值。

(2)进行可靠性预测。

可靠性预测是指：在设计开始时，运用以往的可靠性数据资料计算机械系统可靠性的特征量，并进行详细设计。

在不同的阶段，系统的可靠性预测要反复进行多次。

(3)对可靠性指标进行合理的分配。

首先，将系统可靠性指标分配到各子系统，并与个子系统能达到的指标相比较，判断是否需要改进设计。

然后，再把改进设计后的可靠性指标分配到各子系统。

按照同样的方法，进而把各子系统分配到的可靠性指标分配到各个零件。

(4)把规定的可靠度直接设计到零件中去。

可靠性设计具有以下特点：
(1)传统设计方法是将安全系数作为衡量安全与否的指标，但安全系数的大小并没有同可靠度直接挂钩，这就有很大的盲目性。

可靠性设计与之不同，它强调在设计阶段就把可靠度直接引进到零件中去，即由设计直接确定固有的可靠度。

(2)传统设计方法是把设计变量视为确定性的单值变量并通过确定性的函数进行运算，而可靠性设计则把设计变量视为随机变量并运用随机方法对设计变量进行描述和运算。

(3)在可靠性设计中，由于应力s和强度c都是随机变量，所以判断一个零件是否安全可靠，就以强度c大于应力s的概率大小来表示，这就是可靠度指标。

(4) 传统设计与可靠性设计都是以零件的安全或失效作为研究内容，因此，两者间又有着密切的联系。

可靠性设计是传统设计的延伸与发展。

在某种意义上，也可以认为可靠性设计只是传统设计的方法上把设计变量视为随机变量，并通过随机变量运算法则进行运算而已。

2 可靠性设计常用指标
度量产品可靠性的各种量统称为可靠性特征量，又称可靠性设计常用指标。

主要有以下几种：
●可靠度R(t)
●累积失效概率F(t)
●失效概率密度函数f (t)
●失效率λ(t)
●平均寿命T
●可靠寿命t r
1. 可靠度R (t )
可靠度是指产品在规定的条件下和规定的时间内，完成规定功能的概率。

可靠度通常用字母R 表示。

考虑到它是时间t 的函数，故也记为R (t ) ，称为可靠度函数。

设有N 个相同的产品在相同的条件下工作，到任一给定的工作时间t 时，累积有n (t )个产品失效，其余N －n (t ) 个产品仍能正常工作，那么该产品到时间t 的可靠度的估计值为
()()N n t R t N -=()R t N →∞（3-1）
式中，也称存活率。

当时，，即为该产品的
可靠度。

lim ()()N R t R t →∞=
()R t 0()1R t ≤≤可靠度是评价产品可靠性的最重要的定量指标之一。

（3-2）由于可靠度表示的是一个概率，所以的取值范围为：
1000, (500)100,
(1000)500N n n ===()
()N n t R t N
-=1000100
(500)0.9
10001000500
(1000)0.51000R R -==-==例3-1某批电子器件有1000个，开始工作至500h 内有100个失效，工作至1000h 共有500个失效，试求该批电子器件工作到500h 和1000h 的可靠度。

由式(3-1)得：解：由已知条件可知：则。

2. 不可靠度或失效概率F (t )
产品在规定的条件下和规定的时间内丧失规定功能的概率，称为不可靠度或称累积失效概率（简称失效概率），常用字母F 表示，由于是时间t 的函数，记为F (t )，称为失效概率函数。

不可靠度的估计值为
()()n t F t N
=（3-3）其中，也称不存活率。

当时，，即为该产品
的不可靠度。

()F t N →∞lim ()()N F t F t →∞=由于失效和不失效是相互对立事件，根据概率互补定理，两对立事件的概率和恒等于1，因此与之间有如下的关系：
()R t ()F t ()()1R t F t +=（3-4）
对于工业产品：
由于t = 0，n(0) = 0，
故有：R(0) = 1，F(0) = 0；
当t→∞
则有n(∞) = N ，
R(∞) = 0，F(∞) = 1
由此可知，
在区间[0, ∞)内：
可靠度函数R (t)为递减函数，
而F (t)为递增函数。

R (t ) 与F (t )的变化曲线如
图3-1所示。

图3-1 R(t)与F(t)的关系
失效概率密度函数f (t )()()dF t f t dt =0()()t
F t f t dt =⎰[1()]()()'()d R t dR t f t R t dt dt -==-=-对不可靠度函数F (t ) 的微分，则得失效概率密度函数f (t ) ：
（3-5）
或
（3-6）则由式(3-4)，可得（3-7）
式(3-4)和式(3-7)给出了产品的可靠度R (t )、失效概率密度函数f (t )和不可靠度F (t )三者之间的关系。

这是可靠性分析中的重要关系式。

4. 失效率λ(t )
失效率又称为故障率。

其定义为：产品工作t 时刻时尚未失效（或故障）的产品，在该时刻t 以后的下一个单位时间内发生失效（或故障）的概率。

由于它是时间t 的函数，又称为失效率函数，用表示。

)(t λ[]0
()()()lim ()N t n t t n t t N n t t λ→∞∆→+∆-=-∆（3-8）
式中，——为开始时投入试验产品的总数；
——到时刻产品的失效数；
——到时刻产品的失效数；
——时间间隔。

N )(t n t )(t t n ∆+t t ∆+t ∆失效率是标志产品可靠性常用的特征量之一，失效率愈低，则可靠性愈高。

此外，失效率还可表示为：
)(t λ()()()f t t R t λ=1()
()()dR t t R t dt
λ=-⋅（3-9）（3-10）或
将上式从0到t 进行积分，则得
⎰-=t
dt
t e t R 0)()(λ)(t R )(t λ（3-11）上式称为可靠度函数的一般方程，当为常数时，就是常用到的指数分布可靠度函数表达式。

1t a ∆=[][]()()(6)(5)63(5)0.0309/()(5)1(1003)1
n t t n t n n a N n t t N n λ+∆---====-∆-⨯-⨯310h 3
18.6710h t a ∆==⨯[]3
63(6)(5)(5)(5)8.671063 3.5/10h (1003)8.6710n n N n λ-=-⨯⨯-==-⨯⨯例3-2有100个零件已工作了6年，工作满5年时共有3个零件失效，工作满6年时共有6个零件失效。

试计算这批零件工作满5年时的失效率。

解：时间以年为单位，则。

当时间以为单位，则，因此
有
产品的失效率与时间t 的关系曲线如图3-2所示。

由图3-2可见，它可分为三个特征区
：早期失效期,
正常运行期和耗损失效期。

()t
图3-2 产品典型失效率曲线
（1）早期失效期
早期失效期一般出现在产品开始工作后的较早时期，一般为产品试车跑合阶段。

在这一阶段中，失效率由开始很高的数值急剧地下降到某一稳定的数值。

引起这一阶段失效率特别高的原因主要是由于材料不良、制造工艺缺陷、检验差错以及设计缺点等因素引起。

（2）正常运行期
正常运行期又称有效寿命期。

在该阶段内如果产品发生失效，一般都是由于偶然的原因而引起的，因而该阶段也称为偶然失效期。

其失效的特点是随机的，例如个别产品由于使用过程中工作条件发生不可预测的突然变化而导致失效。

这个时期的失效率低且稳定，近似为常数，是产品的最佳状态时期。

（3）耗损失效期
耗损失效期出现在产品使用的后期。

其特点是失效率随工作时间的增加而上升。

耗损失效主要是产品经长期使用后，由于某些零件的疲劳、老化、过度磨损等原因，已渐近衰竭，从而处于频发失效状态，使失效率随时间推移而上升，最终回导致产品的功能终止。

5. 平均寿命
所谓平均寿命（mean life）是指产品寿命的平均值。

而产品的寿命则是它的无故障的工作时间。

平均寿命在可靠性特征量中有两种：
MTTF(Mean time to failure)
MTBF(Mean time between failure
MTTF 是指不可修复产品从开始使用到失效的平均工作时间，或称平均无故障工作时间。

11MTTF N i i t N ==∑i t i h N N 0MTTF ()tf t dt ∞=⎰()t R t e λ-=1MTTF λ
=（3-12）（3-14 ）（3-13）
当值较大时，可用下式计算：
式中，——第个产品失效前的工作时间，；
——测试产品的总数。

当产品失效属于恒定型失效时，即可靠度时，有
这说明失效规律服从指数分布的产品，其平均寿命是失效率的倒数。

1111MTBF i n N ij N i j i
i t n ====∑∑∑ij t 1-j j h i n N MTBF 是指可修复产品两次相邻故障间工作时间（寿命）的平均值，或称为平均无故障工作时间。

（3-15）式中，——第i 个产品从第次故障到第次故障的工作时间，
；——第i 个测试产品的故障数；
——测试产品的总数。

T =所有产品总的工作时间总的失效或故障次数MTTF 和MTBF 的理论意义和数学表达式都是具有同样性质的内容，故可通称为平均寿命，记作T 。

（3-16）
通过推导，可以得到：
0()T R t dt ∞=⎰（3-18）
这说明，一般情况下，在从0 到的时间区间上，对可靠度函数R (t)积分，可以求出产品的平均寿命。

∞若已知产品的失效密度函数，则均值（数学期望）也就是平均寿命T 为
0 () (0)T t f t dt t ∞=≤<∞⎰（3-17）
)(t f
6. 可靠寿命、中位寿命、特征寿命用产品的寿命指标来描述其可靠性时，除采用平均寿命外，还有可靠寿命、中位寿命和特征寿命。

r r t r r t R r =)(r t )
(1r R t r -=1
-R R r t r R =使可靠度等于给定值时的产品寿命称为可靠寿命，记为，其中称为可靠度水平。

这时可利用可靠度函数，反解出，得式中，是的反函数；即称为可靠度时的可靠寿命。

5.0t 1R e -=1-e t 可靠度R =0.5时的可靠寿命又称为中位寿命。

当产品工作到中位寿命时，可靠度与积累失效概率都等于50％，即产品为中位寿命时，正好有一半失效。

可靠度时的可靠寿命，称为特征寿命。

3 可靠性设计中常用分布函数
可靠性设计中的设计变量（如应力、材料强度、疲劳寿命、几何尺寸、载荷等）都属于随机变量，要想准确地表示这些参数，必须找出其变化规律，即确定它们的分布函数。

在可靠性设计中，常用的分布函数如下：
二项分布
泊松分布
指数分布
正态分布
对数正态分布
威布尔分布
()t λ()t λλ=t e t R λ-=)(t e t F λ--=1)(t
e dt t dF t
f λλ-==)()(λ1
MTBF λ==常数
1. 指数分布
指数分布是当失效率为常数时，即，可靠度函数R (t )、失效分布函数F (t)和失效密度函数f (t) 都呈指数分布函数形式。

即
式中，为失效率，是指数分布的主
要参数。

指数分布的f (t)、F (t)和R (t)的
图形如图3-3所示。

图3-3 f (t)、F (t )、R (t )指数分布曲线
（3-26）
（3-27）
（3-28）
h /1054-⨯=λt e t R λ-=)(95
.0)100(05.01001054===-⨯⨯--e e R 61
.0)1000(005.010001054===-⨯⨯--e e R 例3-4已知某设备的失效率
，求某使用100h ，1000h 后的可靠度。

解：由式(3-26)可知，，则工作100h 后的可靠度为：
工作1000h 后的可靠度为：
2. 正态分布
正态分布是应用最广的一种重要分布，很多自然现象可用正态分布来描述。

例如，工艺误差、测量误差、射击误差、材料特性、应力分布等十分近似于正态分布。

它在误差分析中占有极重要的位置。

正态分布在零、部件的强度和寿命分析中也起着重要的作用。

正态分布的概率密度函数f (x)和累计分布函数F (t )分别为()2221() ()
2x f x e x μσπσ--=-∞<<+∞()2221() ()
2x x
F x e dx x μσπσ---∞=-∞<<+∞⎰（3-29）（3-30）式中，为位置参数，的大小决定了曲线的位置，代表分布的中心倾向；σμ
为形状参数，的大小决定着正态分布的形状，表征
分布的离散程度。

μσ
μμσσ2σ2(,)N μσ和是正态分布的两个重要分布参数。

由于正态分布的主要参数为均值和标准差(或方差)，故正态分布记为，其图形如图3-4所示。

图3-4
正态分布曲线
0,1μσ==2(0,1)N 221() ()
2Z f Z e Z π-=-∞<<+∞2
21() ()
2Z Z
F Z e dZ Z π--∞=-∞<<+∞⎰在式(3-30)中，若时，则对应的正态分布称为标准正
态分布，即
，见图3-5。

其概率密度函数和累计分布函数分别用f (Z)，F (Z)表示，即
（3-31）
（3-32）
F (Z)值可查标准正态分布积
分表(见表3-1)获得。

图3-5标准正态分布密度f (x) 曲线
2(,)N μσx σμ-=x Z ()2
21()2x Z x F x e dZ Z μσμσπ---∞-⎛⎫==Φ=Φ ⎪⎝⎭⎰当遇到非标准的正态分布
时，可将随机变量作一变换，令，代入式(3-30)，得（3-33）μ=x μ=x πσ21正态分布有如下特性：
（1）正态分布具有对称性，曲线对称于的纵轴，并在处达到极大值，等于；
（2）正态分布曲线与轴围成的面积为1。

以为中心区间的概率为68.27％；区间的概率为95.45％；区间的概率为99.73％，如图3-5所示。

这个概率值是很大的，这就是常说的原则，对于可靠性性设计只需考虑范围的情况就可以了。

x μσ±2σ±σ3±3σ±（3）若时，称为标准正态分布，记为，标准正态分布对称于纵坐标轴。

0,1μσ==2
(0,1)N σ3
例3-5有100个某种材料的试件进行抗拉强度试验，今测得试件材料的强度均值，标准差。

求：(1)试件材料的强度均值等于时的存活率、失效概率和失效试件数；
(2)强度落在区间内的失效概率和失效试件数；
(3)失效概率为0.05(存活率为0.95)时材料的强度值。

600MPa μ=50MPa σ=(550450)MPa -解：（1）令600600050
x z μσ--===()0.5F z =(600)1()10.50.5
R x F z ==-=-=1000.550n =⨯=由正态分布积分表3-1，查得失效概率：。

存活率：试件失效数：（件）。

MPa 600
（2）失效概率550600450600(450550)5050 (1)(3)0.158 70.001 30.157 4
P x φφφφ--⎛⎫
⎛⎫
<<=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
=---=-=1000.157416n =⨯≈()0.05F z =试件失效数：(件)。

（3）失效概率，由正态分布积分表3-1查得。

1.64z =-由式，可得。

x Z μσ-=600
1.6450x --=因此，材料的强度值为。

518MPa x =
对数正态分布如果随机变量
的自然对数服从正态分布，则称服
从对数正态分布。

x ln y x x x ()f x 由于随机变量的取值总是大于零，以及概率密度函数的向右倾斜不对称，因此对数正态分布是描述不对称随机变量的一种
常用的分布，如图3-6所示。

图3-6对数正态分布曲线
2121()2y y y y f x e x μσσπ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭=
21201
() (0)2y y y x y F x e dx x x μσσπ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭=>⎰y μy σln y x =对数正态分布的密度函数和累计分布函数分别为
（3-34）（3-35）
式中，和为随机变量的均值和标准差。

22y y x e σμμ⎛⎫ ⎪+ ⎪⎝⎭=21
2(1)y x x e σσμ=-对数正态分布的均值和标准差分别为
（3-36）
（3-37）
ln y x =()F Z ln y y
x Z μσ-=由于呈正态分布，所以有关正态分布的性质和计算方法都可在此使用。

只要令
ln y
y
x Z μσ-=()F Z 便可应用标准正态分布积分表，查出累积概率；反之由亦可查出
在机械零、部件的疲劳寿命、疲劳强度、耐磨寿命以及描述维修时间的分布等研究中，大量应用了对数正态分布。

()1()()x x f x e βγ
βηβγηη
----=()()1x F x e βγ
η--=- 6. 威布尔分布
威布尔分布一种含有三参数和两参数的分布，由于适应性强而得到广泛应用。

三参数威布尔分布的密度函数和累计分布函数分别为
（3-38）（
3-39）βηγ式中:――威布尔分布的形状参数；
――威布尔分布的尺度参数；
――威布尔分布的位置参数。

ββ()f x β()f x 3.5β≈1β=上述三个参数对威布尔分布的影响如下：
威布尔分布的形状参数，它影响分布曲线的形状，
图3-7给出了对概率密度函数的影响情况。

由图可以看出，当形状参数不同时，其曲线的形状不同。

当时，曲线近于正态分布；时曲线为指数分布。

图3-7当不同时对威布尔分布曲线形状的影响
0,1,γηβ==
图3-8当不同时的威布尔分布曲线
0,2,γβη==威布尔分布的尺度参数
，起缩小或放大标尺的作用，但不
影响分布的形状。

图3-8给出了不变而取不同值时的威布尔分布曲线。

由图可见，分布曲线起始位置相同（不变），分布曲线形状相似（不变），曲线只是在横坐标轴方向上离散程度不同。

ηx ,βγηγβ
威布尔分布的位置参数，它只决定分布曲线的起始位置，因此又称起始参数。

的取值可正、可负、可为零。

当
时，曲线由坐标原点
起始。

图3-9给出了不变而取不同值时的威布尔分布曲线，可见当改变时，仅曲线起点的位置改变，而曲线的形状不变。

γγ0γ=,ηβγ
γ图3-9当不同时的威布尔分布曲线
1,2,ηβγ==
0γ=()1()()x x f x e ββηβηη--=()()1x F x e β
η
-=-当时，则称为两参数威布尔分布。

其密度函数和累计分布函数分别为
（3-40）
（3-41）由图3-7可见：
当时，产品的失效曲线随时间的增加而减小，即反映了早期失效的特征；
时，曲线表示了失效率为常数的情况，即描述了偶然失效期；
时，曲线表示失效随时间的增加而递增的情况，即反映了耗损寿命期，老化衰竭现象。

根据试验求得的值可以判定产品失效所处的过程，从而加以控制。

1β<1β=1β>β
所以威布尔分布对产品的三个失效期都适用，而指数分布仅适用于偶然失效期。

综上所述，许多分布都可以看作威布尔分布的特例，由于威布尔分布它具有广泛的适应性，因而许多随机现象，如寿命、强度、磨损等，都可以用威布尔分布来拟合。

2.7
3.7β<< 3.313β=当时，威布尔分布与正态分布非常近似，若，则为正态分布。

第3章可靠性设计(1)
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