三角恒等变换知识点梳理及经典高考例题及解析

三角恒等变换

【考纲说明】

1、 掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.

2、 能运用上述公式进行简单的三角函数化简、求值和恒等式证明.

3、 本部分在高考中约占5-10分.

【趣味链接】

1、 cos(α＋β)有的时候蛮无聊的，把人家好好的α和β硬是弄得分居，结果上去调停的还是她；sin(α＋β)也会做差不

多的事，但他比较懒,不变号.

2、 tan 很寂寞很寂寞，于是数学家看不下去了，创造了cot 陪陪他.

【知识梳理】

1、两角和与差的三角函数

βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±；βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±；

tan tan tan()1tan tan αβ

αβαβ

±±=。

2、二倍角公式

αααcos sin 22sin =；

ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=；

2

2tan tan 21tan α

αα

=-。

3、半角公式

2cos 12sin

αα

-±

= 2

cos 12cos α

α+±=

α

α

αcos 1cos 12tan +-±

= （αααααsin cos 1cos 1sin 2tan -=+=） 4、三角函数式的化简

常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等。（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数。 （1）降幂公式

ααα2sin 21cos sin =

；22cos 1sin 2αα-=；2

2cos 1cos 2αα+=. αα2cos 1sin 22-= αα2cos 1cos 22+=

（2）辅助角公式

()sin cos sin a x b x x ϕ+=+，

sin cos ϕϕ=

=

其中积化和差公式：

[])sin()sin(21

cos sin βαβαβα-++=

[])sin()sin(2

1sin cos βαβαβα--+= [])cos()cos(21

cos cos βαβαβα-++=

()[]βαβαβα--+-=cos )cos(2

1sin sin

和差化积公式： ①2

cos

2

sin

2sin sin β

αβ

αβα-+=+ ②2

sin

2

cos

2sin sin β

αβ

αβα-+=-

③2

cos

2

cos

2cos cos β

αβ

αβα-+=+ ④2

sin

2

sin

2cos cos β

αβ

αβα-+-=-

5、三角函数的求值类型有三类

（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；

（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如

2(),()()ααββααβαβ=+-=++-等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论； （3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。

6、三角恒等式的证明

（1）三角恒等式的证明思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端化“异”为“同”；

（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明。

【经典例题】

【例1】 求证α

β

βαβαβα2

222tan tan 1cos sin )sin()sin(-=-+． 【解析】左边＝

β

αβαβαβαβα22cos sin )

sin cos cos )(sin sin cos cos sin -+

βαβαβα222222cos sin sin cos cos sin -==-=-=α

β

βαβα2

22222tan tan 1cos sin sin cos 1右边 ∴原式成立.

【例2】 已知：sin β＝ｍ·sin(2α＋β)，求证：tan(α＋β)＝

m

m

-+11tan α. 【解析】由sin β＝m sin(2α＋β)

⇒sin[(α＋β)－α]＝m sin[(α＋β)＋α]

⇒sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝m [sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α] ⇒(1－m )·sin(α＋β)cos α＝(1＋m )·cos(α＋β)sin α

⇒tan(α＋β)＝

m

m

-+11tan α． 【例3】求tan70°＋tan50°－3tan50°tan70°的值.

【解析】原式＝tan(70°＋50°)(1－tan70°tan50°)－3tan50°tan70°

＝－3(1－tan70°tan50°)－3tan50°tan70°

＝－3＋3tan70°tan50°－3tan50°tan70°＝－3 ∴ 原式的值为－3．